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1 下面4个几何体都是用棱长为1 cm的小正方体摆成的。
(1)下面是小明从左面看到的图形,它们分别对应的是哪个几何体？(填序号)
(2)几何体( $\quad$ )从前面和左面看到的图形相同。
(3)几何体①②③④的体积依次是( $\quad$ )$\mathrm{cm}^3$、( $\quad$ )$\mathrm{cm}^3$、( $\quad$ )$\mathrm{cm}^3$、( $\quad$ )$\mathrm{cm}^3$。几何体①的体积是几何体④的$\boldsymbol{\frac{(\quad)}{(\quad)}}$。
(4)要把几何体③继续补搭成一个大正方体,至少还需要( $\quad$ )个棱长为1 cm的小正方体。
(5)几何体②的表面积是( $\quad$ )$\mathrm{cm}^2$。如果给几何体④的表面涂上蓝色,那么三面涂蓝色的小正方体有( $\quad$ )个。
(1)下面是小明从左面看到的图形,它们分别对应的是哪个几何体？(填序号)
(2)几何体( $\quad$ )从前面和左面看到的图形相同。
(3)几何体①②③④的体积依次是( $\quad$ )$\mathrm{cm}^3$、( $\quad$ )$\mathrm{cm}^3$、( $\quad$ )$\mathrm{cm}^3$、( $\quad$ )$\mathrm{cm}^3$。几何体①的体积是几何体④的$\boldsymbol{\frac{(\quad)}{(\quad)}}$。
(4)要把几何体③继续补搭成一个大正方体,至少还需要( $\quad$ )个棱长为1 cm的小正方体。
(5)几何体②的表面积是( $\quad$ )$\mathrm{cm}^2$。如果给几何体④的表面涂上蓝色,那么三面涂蓝色的小正方体有( $\quad$ )个。
答案
1. (1)④ ① ③ ② (2)④
(3)6 11 11 18 $\frac{1}{3}$
(4)53 (5)40 7
解析(1)(2)可以通过挤压的方式，想象着从一边将几何体压扁，得到平面图形。
(3)几何体的体积等于几何体中小正方体个数乘每个小正方体的体积，而本题中每个小正方体的体积为$1×1×1 = 1(\mathrm{cm}^3)$。根据分数与除法的关系，可知几何体①的体积是几何体④的$6÷18 = \frac{1}{3}$。
(4)补搭成的大正方体棱长等于原几何体的最大宽度，也就是4cm，因此至少还需要$4×4×4 - 11 = 53$(个)小正方体。
(5)$\mathrm{表面积}=(6 + 5 + 9)×2 = 40(\mathrm{cm}^2)$
找三面涂色的小正方体要先看顶点位置(有4个)，再看其他位置(有3个)，如下图。
解析
【分析】
1. 第(1)问：解题核心是掌握从左面观察几何体的方法，想象将每个几何体从左面“压扁”得到平面视图，再与给出的左面图形逐一对比，匹配对应几何体序号。
2. 第(2)问：需分别想象每个几何体的前面和左面视图，通过对比视图的形状、小正方体排列，找出两者完全相同的几何体。
3. 第(3)问：因每个小正方体体积为$1\mathrm{cm}^3$，几何体体积等于小正方体个数，数出个数即可得体积；求体积占比用除法，即①的体积除以④的体积。
4. 第(4)问：先确定补搭大正方体的棱长（以几何体③的最大棱长4cm为准），计算大正方体总小正方体数，减去现有个数就是还需的数量。
5. 第(5)问：计算表面积用三视图法，将前面、左面、上面的面积求和后乘2；找三面涂蓝的小正方体，先数顶点位置的，再找其他符合条件的位置。
【解析】
(1) 通过从左面观察各几何体，将其“压扁”得到平面视图，对比给出的左面图形，得出对应关系为④、①、③、②。
(2) 逐一观察四个几何体的前面和左面视图：
①②③的前面与左面视图均不相同，只有④的前面和左面视图一致，故填④。
(3) 每个小正方体体积：$1×1×1=1(\mathrm{cm}^3)$，数出各几何体小正方体个数：
①有6个，体积为$6×1=6(\mathrm{cm}^3)$；
②有11个，体积为$11×1=11(\mathrm{cm}^3)$；
③有11个，体积为$11×1=11(\mathrm{cm}^3)$；
④有18个，体积为$18×1=18(\mathrm{cm}^3)$；
几何体①体积是几何体④的：$6÷18=\frac{1}{3}$。
(4) 几何体③最大棱长为4cm，大正方体总小正方体数：$4×4×4=64$（个），还需：$64-11=53$（个）。
(5) 几何体②表面积：前面面积$6\mathrm{cm}^2$、左面面积$5\mathrm{cm}^2$、上面面积$9\mathrm{cm}^2$，表面积为$(6+5+9)×2=40(\mathrm{cm}^2)$；
几何体④中三面涂蓝的小正方体：顶点处4个，其他符合条件的3个，共$4+3=7$个。
【答案】
(1)④ ① ③ ② (2)④
(3)6 11 11 18 $\frac{1}{3}$
(4)53 (5)40 7
【知识点】
观察物体、正方体体积与表面积、分数的意义
【点评】
本题综合考查观察物体的视图识别、正方体体积与表面积计算及分数应用，对学生空间想象能力和基础运算能力要求较高，全面覆盖相关知识点的应用场景。
【难度系数】
0.3
1. 第(1)问：解题核心是掌握从左面观察几何体的方法，想象将每个几何体从左面“压扁”得到平面视图，再与给出的左面图形逐一对比，匹配对应几何体序号。
2. 第(2)问：需分别想象每个几何体的前面和左面视图，通过对比视图的形状、小正方体排列，找出两者完全相同的几何体。
3. 第(3)问：因每个小正方体体积为$1\mathrm{cm}^3$，几何体体积等于小正方体个数，数出个数即可得体积；求体积占比用除法，即①的体积除以④的体积。
4. 第(4)问：先确定补搭大正方体的棱长（以几何体③的最大棱长4cm为准），计算大正方体总小正方体数，减去现有个数就是还需的数量。
5. 第(5)问：计算表面积用三视图法，将前面、左面、上面的面积求和后乘2；找三面涂蓝的小正方体，先数顶点位置的，再找其他符合条件的位置。
【解析】
(1) 通过从左面观察各几何体，将其“压扁”得到平面视图，对比给出的左面图形，得出对应关系为④、①、③、②。
(2) 逐一观察四个几何体的前面和左面视图：
①②③的前面与左面视图均不相同，只有④的前面和左面视图一致，故填④。
(3) 每个小正方体体积：$1×1×1=1(\mathrm{cm}^3)$，数出各几何体小正方体个数：
①有6个，体积为$6×1=6(\mathrm{cm}^3)$；
②有11个，体积为$11×1=11(\mathrm{cm}^3)$；
③有11个，体积为$11×1=11(\mathrm{cm}^3)$；
④有18个，体积为$18×1=18(\mathrm{cm}^3)$；
几何体①体积是几何体④的：$6÷18=\frac{1}{3}$。
(4) 几何体③最大棱长为4cm，大正方体总小正方体数：$4×4×4=64$（个），还需：$64-11=53$（个）。
(5) 几何体②表面积：前面面积$6\mathrm{cm}^2$、左面面积$5\mathrm{cm}^2$、上面面积$9\mathrm{cm}^2$，表面积为$(6+5+9)×2=40(\mathrm{cm}^2)$；
几何体④中三面涂蓝的小正方体：顶点处4个，其他符合条件的3个，共$4+3=7$个。
【答案】
(1)④ ① ③ ② (2)④
(3)6 11 11 18 $\frac{1}{3}$
(4)53 (5)40 7
【知识点】
观察物体、正方体体积与表面积、分数的意义
【点评】
本题综合考查观察物体的视图识别、正方体体积与表面积计算及分数应用，对学生空间想象能力和基础运算能力要求较高，全面覆盖相关知识点的应用场景。
【难度系数】
0.3
2 小亮在看小锦和乐乐下象棋。小锦把“吃掉”的棋子摆放在棋盘边,小亮从三个方向看到的图形如图,小锦至少“吃掉”了( $\quad$ )枚棋子。
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
答案
2. B
解析 先找确定的，再分析不确定的。
不确定:每个位置最多2枚棋子，最少1枚棋子。所以最少时，炮的位置只有1枚棋子，小锦至少“吃掉”了$3 + 2 + 1 = 6$(枚)棋子。
解析
【分析】
我们可以通过三个视图逐步分析棋子数量：首先从俯视图确定存在“马”“炮”“卒”三堆棋子；接着结合主视图与左视图确定每堆棋子的最少数量，“马”的位置从视图中可确定有3枚，“卒”的位置可确定有2枚；“炮”的位置要算最少数量时，最少为1枚，最后将三堆最少数量相加即可得到结果。
【解析】
先找确定的，再分析不确定的。
不确定:每个位置最多2枚棋子，最少1枚棋子。所以最少时，炮的位置只有1枚棋子，小锦至少“吃掉”了$3 + 2 + 1 = 6$(枚)棋子。
【答案】
B
【知识点】
三视图的应用
【点评】
本题考查三视图的实际应用，需要结合主视图、俯视图、左视图确定每堆棋子的数量，重点考查空间想象能力，解题关键是先明确已知数量的棋子堆，再分析不确定堆的最少数量。
【难度系数】
0.6
我们可以通过三个视图逐步分析棋子数量：首先从俯视图确定存在“马”“炮”“卒”三堆棋子；接着结合主视图与左视图确定每堆棋子的最少数量，“马”的位置从视图中可确定有3枚，“卒”的位置可确定有2枚；“炮”的位置要算最少数量时，最少为1枚，最后将三堆最少数量相加即可得到结果。
【解析】
先找确定的，再分析不确定的。
不确定:每个位置最多2枚棋子，最少1枚棋子。所以最少时，炮的位置只有1枚棋子，小锦至少“吃掉”了$3 + 2 + 1 = 6$(枚)棋子。
【答案】
B
【知识点】
三视图的应用
【点评】
本题考查三视图的实际应用，需要结合主视图、俯视图、左视图确定每堆棋子的数量，重点考查空间想象能力，解题关键是先明确已知数量的棋子堆，再分析不确定堆的最少数量。
【难度系数】
0.6
3 (1)将梯形1绕点B逆时针旋转$90°$,得到梯形2。
(2)将梯形1绕点C顺时针旋转$90°$,得到梯形3。
(3)梯形1如何运动得到梯形4？请你描述一下。
(2)将梯形1绕点C顺时针旋转$90°$,得到梯形3。
(3)梯形1如何运动得到梯形4？请你描述一下。
答案
3. (1)(2)题答案如下图。
(3)示例:先把梯形1绕点C逆时针旋转$90°$，再向下平移2格，得到梯形4。
解析 本题考查了旋转和平移的知识，注意看清旋转中心和旋转方向。
解析
【分析】
对于(1)(2)的旋转操作，需明确旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。先定位梯形1的各个顶点，分别将这些顶点绕指定点（B点逆时针、C点顺时针）旋转90°，确定旋转后的对应点，再依次连接这些点即可得到旋转后的梯形。对于(3)，观察梯形1和梯形4的位置关系，先通过图形方向变化判断旋转方式，再根据位置的上下变化确定平移的方向和格数，组合起来就是完整的运动过程。
【解析】
(1) 找出梯形1的四个顶点，将每个顶点绕点B逆时针旋转90°，得到对应顶点后依次连接，画出梯形2；
(2) 找出梯形1的四个顶点，将每个顶点绕点C顺时针旋转90°，得到对应顶点后依次连接，画出梯形3；
(3) 观察图形位置可知，先把梯形1绕点C逆时针旋转$90°$，使图形方向与梯形4一致，再向下平移2格，即可得到梯形4（答案不唯一，也可先平移再旋转）。
【答案】
(1)(2)题答案如下图。
(3)示例:先把梯形1绕点C逆时针旋转$90°$，再向下平移2格，得到梯形4。
【知识点】
图形的旋转、图形的平移
【点评】
本题重点考查图形的旋转和平移操作，解题核心是准确掌握旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）和平移的两大要素（平移方向、平移格数），操作时需先确定关键点的对应位置，再完成图形绘制或运动描述。
【难度系数】
0.8
对于(1)(2)的旋转操作，需明确旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。先定位梯形1的各个顶点，分别将这些顶点绕指定点（B点逆时针、C点顺时针）旋转90°，确定旋转后的对应点，再依次连接这些点即可得到旋转后的梯形。对于(3)，观察梯形1和梯形4的位置关系，先通过图形方向变化判断旋转方式，再根据位置的上下变化确定平移的方向和格数，组合起来就是完整的运动过程。
【解析】
(1) 找出梯形1的四个顶点，将每个顶点绕点B逆时针旋转90°，得到对应顶点后依次连接，画出梯形2；
(2) 找出梯形1的四个顶点，将每个顶点绕点C顺时针旋转90°，得到对应顶点后依次连接，画出梯形3；
(3) 观察图形位置可知，先把梯形1绕点C逆时针旋转$90°$，使图形方向与梯形4一致，再向下平移2格，即可得到梯形4（答案不唯一，也可先平移再旋转）。
【答案】
(1)(2)题答案如下图。
(3)示例:先把梯形1绕点C逆时针旋转$90°$，再向下平移2格，得到梯形4。
【知识点】
图形的旋转、图形的平移
【点评】
本题重点考查图形的旋转和平移操作，解题核心是准确掌握旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）和平移的两大要素（平移方向、平移格数），操作时需先确定关键点的对应位置，再完成图形绘制或运动描述。
【难度系数】
0.8
4 观察图中的几何体,并完成下面问题。
(1)摆这个几何体一共用了( $\quad$ )个同样的小正方体。
(2)取走一个小正方体后,从右面看到的图形变了,从前面和上面看到的图形都不变。取走的可能是哪个小正方体？圈一圈。
(3)在原几何体的基础上再添几个同样的小正方体,要使从前面、上面、右面看到的图形都不变,最多能添几个？添在什么位置？
(1)摆这个几何体一共用了( $\quad$ )个同样的小正方体。
(2)取走一个小正方体后,从右面看到的图形变了,从前面和上面看到的图形都不变。取走的可能是哪个小正方体？圈一圈。
(3)在原几何体的基础上再添几个同样的小正方体,要使从前面、上面、右面看到的图形都不变,最多能添几个？添在什么位置？
答案
4. (1)20
(2)圈出2号和4号小正方体。
(3)答:最多能添3个，在5号、8号、9号小正方体的上方各添一个。
解析 (1)从上往下每层用的小正方体数量依次是1个、3个、6个和10个，相加即可。
(2)第一步 从右面看到的图形变了，取走的是从右面看处于边缘位置的小正方体，即1号、2号、4号或7号。
第二步 从前面看到的图形不变，排除1号。
第三步 从上面看到的图形不变，排除7号。
(3)下面是从各个方向上看到的图形不变时，小正方体不能添加的位置。
方向 不能添加的位置
从上面看 最底层
从前面看 1、3、6、10号所在行
从右面看 1、2、4、7号所在列
所以可以在5号、8号、9号小正方体的上方各添一个。需要注意的是，在这些位置上添的小正方体数量超过一个时，不能使从三个方向看到的图形都不变。
(2)圈出2号和4号小正方体。
(3)答:最多能添3个，在5号、8号、9号小正方体的上方各添一个。
解析 (1)从上往下每层用的小正方体数量依次是1个、3个、6个和10个，相加即可。
(2)第一步 从右面看到的图形变了，取走的是从右面看处于边缘位置的小正方体，即1号、2号、4号或7号。
第二步 从前面看到的图形不变，排除1号。
第三步 从上面看到的图形不变，排除7号。
(3)下面是从各个方向上看到的图形不变时，小正方体不能添加的位置。
方向 不能添加的位置
从上面看 最底层
从前面看 1、3、6、10号所在行
从右面看 1、2、4、7号所在列
所以可以在5号、8号、9号小正方体的上方各添一个。需要注意的是，在这些位置上添的小正方体数量超过一个时，不能使从三个方向看到的图形都不变。
解析
【分析】
1. 第(1)题：要计算小正方体总数，采用分层计数法最清晰，从上到下依次统计每层的小正方体数量，再求和，避免重复或遗漏。
2. 第(2)题：需结合三个视图的变化条件分析：先确定取走后会改变右面视图的小正方体（即右面视图的边缘位置），再根据“前面、上面视图不变”的条件，排除会影响这两个视图的小正方体，最终确定符合要求的正方体。
3. 第(3)题：要保证添加正方体后三个视图均不变，需分别分析每个视图不允许添加的位置，找到三个视图都允许添加的区域，再确定最多可添加的数量和位置。
【解析】
(1) 分层统计小正方体数量：最上层（第一层）有1个，第二层有3个，第三层有6个，最底层（第四层）有10个。将各层数量相加：$1+3+6+10=20$（个）。
(2) ① 从右面观察，取走处于边缘位置的小正方体（1号、2号、4号、7号）会改变右面看到的图形；
② 从前面观察，取走1号会使前面视图缺失上层的一个正方体，因此排除1号；
③ 从上面观察，取走7号会使上面视图缺失左下角的正方体，因此排除7号；
综上，取走的可能是2号和4号小正方体。
(3) 分析各视图的限制条件：
从上面看：最底层不能添加小正方体，否则上面视图会改变；
从前面看：1、3、6、10号所在的行不能添加，否则前面视图会改变；
从右面看：1、2、4、7号所在的列不能添加，否则右面视图会改变；
因此，可添加的位置为5号、8号、9号小正方体的上方，每个位置仅能添加1个，最多能添3个。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20}$
(2) 圈出2号和4号小正方体。
(3) 最多能添3个，在5号、8号、9号小正方体的上方各添一个。
【知识点】
三视图的应用、正方体组合计数、空间想象能力
【点评】
本题重点考查几何体三视图的理解与空间想象能力，通过分层计数、视图条件分析等方式解决问题，要求学生能准确把握不同方向观察几何体的特征，逐步筛选符合条件的正方体位置，培养严谨的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.4
1. 第(1)题：要计算小正方体总数，采用分层计数法最清晰，从上到下依次统计每层的小正方体数量，再求和，避免重复或遗漏。
2. 第(2)题：需结合三个视图的变化条件分析：先确定取走后会改变右面视图的小正方体（即右面视图的边缘位置），再根据“前面、上面视图不变”的条件，排除会影响这两个视图的小正方体，最终确定符合要求的正方体。
3. 第(3)题：要保证添加正方体后三个视图均不变，需分别分析每个视图不允许添加的位置，找到三个视图都允许添加的区域，再确定最多可添加的数量和位置。
【解析】
(1) 分层统计小正方体数量：最上层（第一层）有1个，第二层有3个，第三层有6个，最底层（第四层）有10个。将各层数量相加：$1+3+6+10=20$（个）。
(2) ① 从右面观察，取走处于边缘位置的小正方体（1号、2号、4号、7号）会改变右面看到的图形；
② 从前面观察，取走1号会使前面视图缺失上层的一个正方体，因此排除1号；
③ 从上面观察，取走7号会使上面视图缺失左下角的正方体，因此排除7号；
综上，取走的可能是2号和4号小正方体。
(3) 分析各视图的限制条件：
从上面看：最底层不能添加小正方体，否则上面视图会改变；
从前面看：1、3、6、10号所在的行不能添加，否则前面视图会改变；
从右面看：1、2、4、7号所在的列不能添加，否则右面视图会改变；
因此，可添加的位置为5号、8号、9号小正方体的上方，每个位置仅能添加1个，最多能添3个。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20}$
(2) 圈出2号和4号小正方体。
(3) 最多能添3个，在5号、8号、9号小正方体的上方各添一个。
【知识点】
三视图的应用、正方体组合计数、空间想象能力
【点评】
本题重点考查几何体三视图的理解与空间想象能力，通过分层计数、视图条件分析等方式解决问题，要求学生能准确把握不同方向观察几何体的特征，逐步筛选符合条件的正方体位置，培养严谨的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.4
