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17. （9分）如图，$∠ AOD = ∠ BOC = 90^{\circ}$，$∠ COD = 42^{\circ}$，求$∠ AOC$，$∠ AOB$的度数。
答案
17. $ ∠ AOC = 132^{\circ} $，$ ∠ AOB = 138^{\circ} $。
解析
解：
因为 $∠AOD = 90°$，$∠COD = 42°$，
所以 $∠AOC = ∠AOD + ∠COD = 90° + 42° = 132°$。
因为 $∠BOC = 90°$，周角为 $360°$，
所以 $∠AOB = 360° - ∠AOC - ∠BOC = 360° - 132° - 90° = 138°$。
$∠AOC = 132°$，$∠AOB = 138°$。
因为 $∠AOD = 90°$，$∠COD = 42°$，
所以 $∠AOC = ∠AOD + ∠COD = 90° + 42° = 132°$。
因为 $∠BOC = 90°$，周角为 $360°$，
所以 $∠AOB = 360° - ∠AOC - ∠BOC = 360° - 132° - 90° = 138°$。
$∠AOC = 132°$，$∠AOB = 138°$。
18. （10分）如图，已知线段$AB$和$CD$的公共部分$BD = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{4}CD$，线段$AB$的中点$E$与$CD$的中点$F$之间的距离是$10$，求$AB$，$CD$的长。
答案
18. 解：因为 $ BD = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{4}CD $，
所以可以设 $ BD = x $，则 $ AB = 3x $，$ CD = 4x $。
又因为线段 $ AB $，$ CD $ 的中点分别为 $ E $，$ F $，
所以 $ AE = BE = 1.5x $，$ DF = FC = 2x $。
因为 $ DE = BE - DB = 1.5x - x = 0.5x $，
所以 $ EF = DF + DE = 2x + 0.5x = 10 $，
解得 $ x = 4 $。
所以 $ AB = 3x = 12 $，$ CD = 4x = 16 $。
所以可以设 $ BD = x $，则 $ AB = 3x $，$ CD = 4x $。
又因为线段 $ AB $，$ CD $ 的中点分别为 $ E $，$ F $，
所以 $ AE = BE = 1.5x $，$ DF = FC = 2x $。
因为 $ DE = BE - DB = 1.5x - x = 0.5x $，
所以 $ EF = DF + DE = 2x + 0.5x = 10 $，
解得 $ x = 4 $。
所以 $ AB = 3x = 12 $，$ CD = 4x = 16 $。
解析
【分析】
这道题给出了公共部分BD和AB、CD的比例关系，我们可以用设参数的思路简化计算：第一步先设BD的长度为x，根据题目的比例关系就能直接用x表示出AB和CD的总长度；第二步利用中点的定义，分别算出AB的一半BE、CD的一半DF的长度，也用x表示；第三步观察线段EF的组成，EF可以拆分为DE和DF两段，其中DE是BE减去BD，把各段用x代入后就能得到关于x的一元一次方程，解方程求出x之后，就能反算出AB和CD的长度了。
【解析】
解：设$BD = x$，
由题意$BD = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{4}CD$，可得：
$AB = 3x$，$CD = 4x$，
∵ E是AB的中点，F是CD的中点，
∴ $BE = \frac{1}{2}AB = \frac{3}{2}x$，$DF = \frac{1}{2}CD = 2x$，
∴ $DE = BE - BD = \frac{3}{2}x - x = \frac{1}{2}x$，
又
∵ $EF = DE + DF$，且$EF=10$，
代入得：$\frac{1}{2}x + 2x = 10$，
合并同类项得：$\frac{5}{2}x = 10$，
解得：$x = 4$，
∴ $AB = 3x = 3×4 = 12$，$CD = 4x = 4×4 = 16$。
【答案】
AB的长为12，CD的长为16。
【知识点】
线段中点定义，线段的和差，一元一次方程应用
【点评】
本题是线段长度计算的典型基础题，通过设公共部分BD为参数x，将所有相关线段都用同一个变量表示，把几何线段长度问题转化为代数方程求解，思路清晰计算简便，能帮助学生巩固线段中点性质、线段和差运算的知识点，掌握参数法解线段问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
这道题给出了公共部分BD和AB、CD的比例关系，我们可以用设参数的思路简化计算：第一步先设BD的长度为x，根据题目的比例关系就能直接用x表示出AB和CD的总长度；第二步利用中点的定义，分别算出AB的一半BE、CD的一半DF的长度，也用x表示；第三步观察线段EF的组成，EF可以拆分为DE和DF两段，其中DE是BE减去BD，把各段用x代入后就能得到关于x的一元一次方程，解方程求出x之后，就能反算出AB和CD的长度了。
【解析】
解：设$BD = x$，
由题意$BD = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{4}CD$，可得：
$AB = 3x$，$CD = 4x$，
∵ E是AB的中点，F是CD的中点，
∴ $BE = \frac{1}{2}AB = \frac{3}{2}x$，$DF = \frac{1}{2}CD = 2x$，
∴ $DE = BE - BD = \frac{3}{2}x - x = \frac{1}{2}x$，
又
∵ $EF = DE + DF$，且$EF=10$，
代入得：$\frac{1}{2}x + 2x = 10$，
合并同类项得：$\frac{5}{2}x = 10$，
解得：$x = 4$，
∴ $AB = 3x = 3×4 = 12$，$CD = 4x = 4×4 = 16$。
【答案】
AB的长为12，CD的长为16。
【知识点】
线段中点定义，线段的和差，一元一次方程应用
【点评】
本题是线段长度计算的典型基础题，通过设公共部分BD为参数x，将所有相关线段都用同一个变量表示，把几何线段长度问题转化为代数方程求解，思路清晰计算简便，能帮助学生巩固线段中点性质、线段和差运算的知识点，掌握参数法解线段问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
19. （10分）某车间有$16$名工人，每人每天可加工甲种零件$5$个或乙种零件$4$个。在这$16$名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件。已知每加工一个甲种零件可获利$16$元，每加工一个乙种零件可获利$24$元。若此车间一共获利$1440$元，则这一天有几名工人加工甲种零件？
答案
19. 解：设这一天有 $ x $ 名工人加工甲种零件。
依题意，得 $ 16×5x + 24×4(16 - x) = 1440 $，
解得 $ x = 6 $。
因此，这一天有 6 名工人加工甲种零件。
依题意，得 $ 16×5x + 24×4(16 - x) = 1440 $，
解得 $ x = 6 $。
因此，这一天有 6 名工人加工甲种零件。
解析
【分析】
这是典型的一元一次方程利润类应用题，解题思路如下：第一步，先明确题干的未知量，题目要求加工甲种零件的工人数，我们直接设该未知量为x；第二步，根据总工人数量是16，可推出加工乙种零件的工人数为(16-x)；第三步，分别计算两类零件的总获利：加工甲的总零件数是每人每天5个乘以人数x，总获利就是单件甲的利润16元乘甲的总零件数，同理算出乙的总获利；第四步，利用“甲总获利+乙总获利=总获利1440元”的等量关系列出一元一次方程，求解得到x的值即可。
【解析】
解：设这一天有$x$名工人加工甲种零件，则加工乙种零件的工人数量为$(16-x)$名。
根据总获利的等量关系列方程：
甲种零件总获利为$16×5x$元，乙种零件总获利为$24×4(16-x)$元，结合总获利1440元可得：
$16×5x + 24×4(16-x) = 1440$
化简计算：
$80x + 96×(16-x) = 1440$
$80x + 1536 - 96x = 1440$
$-16x = -96$
解得：$x=6$
答：这一天有6名工人加工甲种零件。
【答案】
这一天有6名工人加工甲种零件。
【知识点】
一元一次方程应用，总利润计算
【点评】
本题属于人员分配型的基础利润应用题，解题核心是先利用总人数得到两类岗位的人数关系，再分别计算两类产品的总利润，依托总利润的等量关系列方程求解，计算难度低，解题时注意不要混淆单件利润、单人日产量、对应人数的对应关系即可，是一元一次方程实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
这是典型的一元一次方程利润类应用题，解题思路如下：第一步，先明确题干的未知量，题目要求加工甲种零件的工人数，我们直接设该未知量为x；第二步，根据总工人数量是16，可推出加工乙种零件的工人数为(16-x)；第三步，分别计算两类零件的总获利：加工甲的总零件数是每人每天5个乘以人数x，总获利就是单件甲的利润16元乘甲的总零件数，同理算出乙的总获利；第四步，利用“甲总获利+乙总获利=总获利1440元”的等量关系列出一元一次方程，求解得到x的值即可。
【解析】
解：设这一天有$x$名工人加工甲种零件，则加工乙种零件的工人数量为$(16-x)$名。
根据总获利的等量关系列方程：
甲种零件总获利为$16×5x$元，乙种零件总获利为$24×4(16-x)$元，结合总获利1440元可得：
$16×5x + 24×4(16-x) = 1440$
化简计算：
$80x + 96×(16-x) = 1440$
$80x + 1536 - 96x = 1440$
$-16x = -96$
解得：$x=6$
答：这一天有6名工人加工甲种零件。
【答案】
这一天有6名工人加工甲种零件。
【知识点】
一元一次方程应用，总利润计算
【点评】
本题属于人员分配型的基础利润应用题，解题核心是先利用总人数得到两类岗位的人数关系，再分别计算两类产品的总利润，依托总利润的等量关系列方程求解，计算难度低，解题时注意不要混淆单件利润、单人日产量、对应人数的对应关系即可，是一元一次方程实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
20. （12分）根据下列问题，设未知数，并列出方程：
（1）一件商品按成本价提高$20\%$后标价，又以九折销售，售价为$270$元，求这件商品的成本价；
（2）如图所示，某人靠墙用篱笆围成一块梯形菜地，这块梯形菜地的下底比上底长$4\ \mathrm{m}$，这块菜地的面积是$72\ \mathrm{m}^2$，求梯形菜地的上底长。
（1）一件商品按成本价提高$20\%$后标价，又以九折销售，售价为$270$元，求这件商品的成本价；
（2）如图所示，某人靠墙用篱笆围成一块梯形菜地，这块梯形菜地的下底比上底长$4\ \mathrm{m}$，这块菜地的面积是$72\ \mathrm{m}^2$，求梯形菜地的上底长。
答案
20. 解：(1) 设这件商品的成本价为 $ x $ 元。
根据题意，得 $ (1 + 20\%)x×0.9 = 270 $。
(2) 设梯形菜地的上底长为 $ x $ m。
根据题意，得 $ \frac{1}{2}(x + x + 4)×6 = 72 $。
根据题意，得 $ (1 + 20\%)x×0.9 = 270 $。
(2) 设梯形菜地的上底长为 $ x $ m。
根据题意，得 $ \frac{1}{2}(x + x + 4)×6 = 72 $。
解析
【分析】
我们分两小问梳理解题思路：
1. 第一问是销售类问题，核心抓住售价的形成逻辑：成本价先提高20%得到标价，标价再打九折就得到最终售价270元。先设成本价为未知数x，先表示出提价20%后的标价为(1+20%)x，再对标价乘0.9得到实际售价，让该表达式等于已知售价270，即可列出对应方程。
2. 第二问是几何类应用题，图中是直角梯形，已知梯形的高为6m，菜地面积为72m²，且下底比上底长4m。设上底长为x m，那么下底长可表示为(x+4)m，直接代入梯形面积公式：面积=1/2×(上底+下底)×高，把已知数值和含x的表达式代入，就能得到对应方程。
【解析】
(1) 设这件商品的成本价为$x$元。
成本价提高20%后的标价为$(1+20\%)x$元，
标价打九折后的实际售价为$(1+20\%)x × 0.9$元，
已知实际售价为270元，因此可列方程：
$(1+20\%)x × 0.9 = 270$
(2) 设梯形菜地的上底长为$x\ \mathrm{m}$，
根据“下底比上底长4m”，可得下底长为$(x+4)\ \mathrm{m}$，
由图可知该直角梯形的高为6m，已知菜地面积为$72\ \mathrm{m}^2$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$（$a$为上底，$b$为下底，$h$为高），代入数值可得方程：
$\frac{1}{2}(x + x + 4) × 6 = 72$
【答案】
(1) 设这件商品的成本价为 $ x $ 元，列方程得 $ (1 + 20\%)x×0.9 = 270 $；
(2) 设梯形菜地的上底长为 $ x $ m，列方程得 $ \frac{1}{2}(x + x + 4)×6 = 72 $。
【知识点】
列一元一次方程，销售数量关系，梯形面积计算
【点评】
本题是一元一次方程章节的基础应用题，分别选取了常见的商品销售场景和靠墙围菜地的几何场景，引导学生掌握从实际问题中提取等量关系、设未知数列方程的基本方法，两个小问的等量关系都很直观，适合刚接触方程应用的学生巩固基础解题逻辑。
【难度系数】
0.8
我们分两小问梳理解题思路：
1. 第一问是销售类问题，核心抓住售价的形成逻辑：成本价先提高20%得到标价，标价再打九折就得到最终售价270元。先设成本价为未知数x，先表示出提价20%后的标价为(1+20%)x，再对标价乘0.9得到实际售价，让该表达式等于已知售价270，即可列出对应方程。
2. 第二问是几何类应用题，图中是直角梯形，已知梯形的高为6m，菜地面积为72m²，且下底比上底长4m。设上底长为x m，那么下底长可表示为(x+4)m，直接代入梯形面积公式：面积=1/2×(上底+下底)×高，把已知数值和含x的表达式代入，就能得到对应方程。
【解析】
(1) 设这件商品的成本价为$x$元。
成本价提高20%后的标价为$(1+20\%)x$元，
标价打九折后的实际售价为$(1+20\%)x × 0.9$元，
已知实际售价为270元，因此可列方程：
$(1+20\%)x × 0.9 = 270$
(2) 设梯形菜地的上底长为$x\ \mathrm{m}$，
根据“下底比上底长4m”，可得下底长为$(x+4)\ \mathrm{m}$，
由图可知该直角梯形的高为6m，已知菜地面积为$72\ \mathrm{m}^2$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$（$a$为上底，$b$为下底，$h$为高），代入数值可得方程：
$\frac{1}{2}(x + x + 4) × 6 = 72$
【答案】
(1) 设这件商品的成本价为 $ x $ 元，列方程得 $ (1 + 20\%)x×0.9 = 270 $；
(2) 设梯形菜地的上底长为 $ x $ m，列方程得 $ \frac{1}{2}(x + x + 4)×6 = 72 $。
【知识点】
列一元一次方程，销售数量关系，梯形面积计算
【点评】
本题是一元一次方程章节的基础应用题，分别选取了常见的商品销售场景和靠墙围菜地的几何场景，引导学生掌握从实际问题中提取等量关系、设未知数列方程的基本方法，两个小问的等量关系都很直观，适合刚接触方程应用的学生巩固基础解题逻辑。
【难度系数】
0.8
