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21. （12分）如图，已知点$O$在直线$AB$上，$CO ⊥ AB$，$OE$是$∠ BOD$的平分线，$OF ⊥ OE$。
（1）找出图中与$∠ BOF$相等的角，并说明理由；
（2）若$∠ 2 - ∠ 1 = 20^{\circ}$，求$∠ BOE$的度数。
（1）找出图中与$∠ BOF$相等的角，并说明理由；
（2）若$∠ 2 - ∠ 1 = 20^{\circ}$，求$∠ BOE$的度数。
答案
21. 解：(1) $ ∠ COE = ∠ BOF $。理由：
因为 $ CO ⊥ AB $，$ OF ⊥ OE $，所以 $ ∠ COB = ∠ EOF = 90^{\circ} $。
所以 $ ∠ COB - ∠ BOE = ∠ EOF - ∠ BOE $，
即 $ ∠ COE = ∠ BOF $。
(2) 设 $ ∠ 1 = x $。
因为 $ ∠ 2 - ∠ 1 = 20^{\circ} $，所以 $ ∠ 2 = 20^{\circ} + x $。
因为 $ CO ⊥ AB $，所以 $ ∠ COA = ∠ COB = 90^{\circ} $。
所以 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 90^{\circ} $，即 $ x + 20^{\circ} + x = 90^{\circ} $，
解得 $ x = 35^{\circ} $，所以 $ ∠ 1 = 35^{\circ} $，
所以 $ ∠ BOD = ∠ 1 + ∠ COB = 35^{\circ} + 90^{\circ} = 125^{\circ} $。
因为 $ OE $ 是 $ ∠ BOD $ 的平分线，
所以 $ ∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOD = 62.5^{\circ} $。
因为 $ CO ⊥ AB $，$ OF ⊥ OE $，所以 $ ∠ COB = ∠ EOF = 90^{\circ} $。
所以 $ ∠ COB - ∠ BOE = ∠ EOF - ∠ BOE $，
即 $ ∠ COE = ∠ BOF $。
(2) 设 $ ∠ 1 = x $。
因为 $ ∠ 2 - ∠ 1 = 20^{\circ} $，所以 $ ∠ 2 = 20^{\circ} + x $。
因为 $ CO ⊥ AB $，所以 $ ∠ COA = ∠ COB = 90^{\circ} $。
所以 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 90^{\circ} $，即 $ x + 20^{\circ} + x = 90^{\circ} $，
解得 $ x = 35^{\circ} $，所以 $ ∠ 1 = 35^{\circ} $，
所以 $ ∠ BOD = ∠ 1 + ∠ COB = 35^{\circ} + 90^{\circ} = 125^{\circ} $。
因为 $ OE $ 是 $ ∠ BOD $ 的平分线，
所以 $ ∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOD = 62.5^{\circ} $。
解析
【分析】
这道题可以分两小问逐步思考：
1. 第一问要找出和∠BOF相等的角，首先观察已知的垂直条件：CO⊥AB、OF⊥OE，能得到∠COB和∠EOF都是90°，这两个直角都包含公共角∠BOE，根据等式性质，两个直角同时减去公共的∠BOE，剩余的部分必然相等，就能直接推导出对应的等角。
2. 第二问求∠BOE的度数，已知∠2和∠1的差为20°，又因为CO⊥AB，所以∠1+∠2=90°，可以设∠1为未知数，通过两个角度的和差关系列方程先解出∠1，接着算出∠BOD的总度数，最后利用OE是∠BOD的角平分线，取∠BOD的一半就能得到∠BOE的度数。
【解析】
(1) 与∠BOF相等的角是∠COE，理由如下：
∵ CO ⊥ AB，OF ⊥ OE，
∴ ∠COB = ∠EOF = 90°，
将两个等式同时减去公共角∠BOE，可得：
∠COB - ∠BOE = ∠EOF - ∠BOE，
即 ∠COE = ∠BOF。
(2) 设∠1 = x，
∵ ∠2 - ∠1 = 20°，
∴ ∠2 = x + 20°，
又
∵ CO ⊥ AB，
∴ ∠AOC = 90°，即∠1 + ∠2 = 90°，
代入得：x + (x + 20°) = 90°，
解得：x = 35°，即∠1 = 35°，
∴ ∠BOD = ∠1 + ∠COB = 35° + 90° = 125°，
∵ OE是∠BOD的平分线，
∴ ∠BOE = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$ × 125° = 62.5°。
【答案】
(1) 与∠BOF相等的角为∠COE，理由见解析；(2) ∠BOE的度数为62.5°
【知识点】
垂直的定义，角平分线定义，余角性质
【点评】
本题是初中几何角度计算的基础题型，重点考察垂直、角平分线的核心性质，第一问利用同角的余角相等快速推导等角，第二问通过方程思想将角度的和差关系转化为等式求解，大幅降低了计算难度，解题时注意不要混淆∠BOD的组成部分，避免出现角度计算错误。
【难度系数】
0.7
这道题可以分两小问逐步思考：
1. 第一问要找出和∠BOF相等的角，首先观察已知的垂直条件：CO⊥AB、OF⊥OE，能得到∠COB和∠EOF都是90°，这两个直角都包含公共角∠BOE，根据等式性质，两个直角同时减去公共的∠BOE，剩余的部分必然相等，就能直接推导出对应的等角。
2. 第二问求∠BOE的度数，已知∠2和∠1的差为20°，又因为CO⊥AB，所以∠1+∠2=90°，可以设∠1为未知数，通过两个角度的和差关系列方程先解出∠1，接着算出∠BOD的总度数，最后利用OE是∠BOD的角平分线，取∠BOD的一半就能得到∠BOE的度数。
【解析】
(1) 与∠BOF相等的角是∠COE，理由如下：
∵ CO ⊥ AB，OF ⊥ OE，
∴ ∠COB = ∠EOF = 90°，
将两个等式同时减去公共角∠BOE，可得：
∠COB - ∠BOE = ∠EOF - ∠BOE，
即 ∠COE = ∠BOF。
(2) 设∠1 = x，
∵ ∠2 - ∠1 = 20°，
∴ ∠2 = x + 20°，
又
∵ CO ⊥ AB，
∴ ∠AOC = 90°，即∠1 + ∠2 = 90°，
代入得：x + (x + 20°) = 90°，
解得：x = 35°，即∠1 = 35°，
∴ ∠BOD = ∠1 + ∠COB = 35° + 90° = 125°，
∵ OE是∠BOD的平分线，
∴ ∠BOE = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$ × 125° = 62.5°。
【答案】
(1) 与∠BOF相等的角为∠COE，理由见解析；(2) ∠BOE的度数为62.5°
【知识点】
垂直的定义，角平分线定义，余角性质
【点评】
本题是初中几何角度计算的基础题型，重点考察垂直、角平分线的核心性质，第一问利用同角的余角相等快速推导等角，第二问通过方程思想将角度的和差关系转化为等式求解，大幅降低了计算难度，解题时注意不要混淆∠BOD的组成部分，避免出现角度计算错误。
【难度系数】
0.7
22. (14分)点$O$为直线$AB$上一点，过点$O$作射线$OC$，使$∠ BOC = 65^{\circ}$，将一直角三角板的直角顶点放在点$O$处。
(1)如图①，将三角板$MON$的一边$ON$与射线$OB$重合时，则$∠ MOC =$
(2)如图②，将三角板$MON$绕点$O$逆时针旋转一定角度，此时$OC$是$∠ MOB$的角平分线，求旋转角$∠ BON$的度数；
(3)将三角板$MON$绕点$O$逆时针旋转至图③时，$∠ NOC = 5^{\circ}$，求$∠ AOM$的度数。
(1)如图①，将三角板$MON$的一边$ON$与射线$OB$重合时，则$∠ MOC =$
$ 25^{\circ} $
。(2)如图②，将三角板$MON$绕点$O$逆时针旋转一定角度，此时$OC$是$∠ MOB$的角平分线，求旋转角$∠ BON$的度数；
(3)将三角板$MON$绕点$O$逆时针旋转至图③时，$∠ NOC = 5^{\circ}$，求$∠ AOM$的度数。
答案
22. 解：(1) $ 25^{\circ} $ 提示：因为 $ ∠ MON = 90^{\circ} $，$ ∠ BOC = 65^{\circ} $，
所以 $ ∠ MOC = ∠ MON - ∠ BOC = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} $。
(2) 因为 $ OC $ 是 $ ∠ MOB $ 的角平分线，
所以 $ ∠ MOB = 2∠ BOC = 2×65^{\circ} = 130^{\circ} $。
所以 $ ∠ BON = ∠ MOB - ∠ MON = 130^{\circ} - 90^{\circ} = 40^{\circ} $。
(3) 因为 $ ∠ NOC = 5^{\circ} $，$ ∠ BOC = 65^{\circ} $，
所以 $ ∠ BON = ∠ NOC + ∠ BOC = 70^{\circ} $。
因为点 $ O $ 为直线 $ AB $ 上一点，所以 $ ∠ AOB = 180^{\circ} $。
因为 $ ∠ MON = 90^{\circ} $，
所以 $ ∠ AOM = ∠ AOB - ∠ MON - ∠ BON = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ} $。
所以 $ ∠ MOC = ∠ MON - ∠ BOC = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} $。
(2) 因为 $ OC $ 是 $ ∠ MOB $ 的角平分线，
所以 $ ∠ MOB = 2∠ BOC = 2×65^{\circ} = 130^{\circ} $。
所以 $ ∠ BON = ∠ MOB - ∠ MON = 130^{\circ} - 90^{\circ} = 40^{\circ} $。
(3) 因为 $ ∠ NOC = 5^{\circ} $，$ ∠ BOC = 65^{\circ} $，
所以 $ ∠ BON = ∠ NOC + ∠ BOC = 70^{\circ} $。
因为点 $ O $ 为直线 $ AB $ 上一点，所以 $ ∠ AOB = 180^{\circ} $。
因为 $ ∠ MON = 90^{\circ} $，
所以 $ ∠ AOM = ∠ AOB - ∠ MON - ∠ BON = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ} $。
解析
【分析】
这是三角板旋转背景下的基础角度计算问题，解题思路可分三小问逐步梳理：
1. 第一问：已知ON与OB重合，三角板的直角∠MON=90°，结合已知的∠BOC=65°，直接用直角减去∠BOC即可得到∠MOC的度数。
2. 第二问：已知OC是∠MOB的角平分线，根据角平分线性质，∠MOB是∠BOC的2倍，算出∠MOB总度数后，用∠MOB减去直角∠MON，即可得到旋转角∠BON。
3. 第三问：先通过已知的∠NOC和∠BOC相加算出∠BON的度数，再利用AB是直线得到平角∠AOB=180°，用平角依次减去直角∠MON和∠BON，就能求出∠AOM，全程只需理清各角的和差关系即可。
【解析】
(1) 已知∠MON=90°，∠BOC=65°，此时ON与OB重合，因此：
$∠ MOC = ∠ MON - ∠ BOC = 90° - 65° = 25°$
(2) 因为OC是∠MOB的角平分线，根据角平分线定义：
$∠ MOB = 2∠ BOC = 2×65° = 130°$
又因为∠MON=90°，因此旋转角：
$∠ BON = ∠ MOB - ∠ MON = 130° - 90° = 40°$
(3) 已知∠NOC=5°，∠BOC=65°，因此：
$∠ BON = ∠ NOC + ∠ BOC = 5° + 65° = 70°$
因为点O在直线AB上，所以∠AOB=180°，又∠MON=90°，因此：
$∠ AOM = ∠ AOB - ∠ MON - ∠ BON = 180° - 90° - 70° = 20°$
【答案】
(1) $25°$；(2) $40°$；(3) $20°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线性质，平角定义
【点评】
本题是七年级几何入门的典型三角板旋转题型，整体难度偏低，核心考察学生在动态场景下识别角度和差关系的能力，只要牢记直角、平角的固定度数，结合角平分线性质逐步推导即可，适合巩固基础角度运算能力。
【难度系数】
0.7
这是三角板旋转背景下的基础角度计算问题，解题思路可分三小问逐步梳理：
1. 第一问：已知ON与OB重合，三角板的直角∠MON=90°，结合已知的∠BOC=65°，直接用直角减去∠BOC即可得到∠MOC的度数。
2. 第二问：已知OC是∠MOB的角平分线，根据角平分线性质，∠MOB是∠BOC的2倍，算出∠MOB总度数后，用∠MOB减去直角∠MON，即可得到旋转角∠BON。
3. 第三问：先通过已知的∠NOC和∠BOC相加算出∠BON的度数，再利用AB是直线得到平角∠AOB=180°，用平角依次减去直角∠MON和∠BON，就能求出∠AOM，全程只需理清各角的和差关系即可。
【解析】
(1) 已知∠MON=90°，∠BOC=65°，此时ON与OB重合，因此：
$∠ MOC = ∠ MON - ∠ BOC = 90° - 65° = 25°$
(2) 因为OC是∠MOB的角平分线，根据角平分线定义：
$∠ MOB = 2∠ BOC = 2×65° = 130°$
又因为∠MON=90°，因此旋转角：
$∠ BON = ∠ MOB - ∠ MON = 130° - 90° = 40°$
(3) 已知∠NOC=5°，∠BOC=65°，因此：
$∠ BON = ∠ NOC + ∠ BOC = 5° + 65° = 70°$
因为点O在直线AB上，所以∠AOB=180°，又∠MON=90°，因此：
$∠ AOM = ∠ AOB - ∠ MON - ∠ BON = 180° - 90° - 70° = 20°$
【答案】
(1) $25°$；(2) $40°$；(3) $20°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线性质，平角定义
【点评】
本题是七年级几何入门的典型三角板旋转题型，整体难度偏低，核心考察学生在动态场景下识别角度和差关系的能力，只要牢记直角、平角的固定度数，结合角平分线性质逐步推导即可，适合巩固基础角度运算能力。
【难度系数】
0.7
