1. 填一填。
(1) 把一个分数化成同它()，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分。
(2) $\frac{3}{5}$的分子和分母只有公因数()，这样的分数叫作()分数。
(3) 在$\frac{4}{11}$，$\frac{3}{12}$，$\frac{9}{15}$，$\frac{10}{7}$，$\frac{13}{51}$，$1\frac{10}{15}$，$\frac{18}{4}$，$2\frac{5}{6}$中，最简分数有()。

相等
1
最简
$\frac{4}{11},\frac{10}{7},\frac{13}{51},2\frac{5}{6}$

【分析】
本题主要考查约分和最简分数的相关概念，解题思路如下：
1. 第(1)题：回忆约分的定义，约分的核心是保证分数大小不变，只是简化分子分母，因此需填写与原分数相等的内容。
2. 第(2)题：先找出$\frac{3}{5}$分子分母的公因数，再结合最简分数的定义填空，分子分母只有公因数1的分数即为最简分数。
3. 第(3)题：逐个分析每个分数的分子和分母是否只有公因数1，带分数只需判断其分数部分的分子分母是否互质，以此确定最简分数。
【解析】
(1) 根据约分的定义：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分，所以此处填“相等”。
(2) 3的因数为1、3，5的因数为1、5，它们的公因数只有1；根据最简分数的定义，分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数，所以依次填“1”和“最简”。
(3) 对每个分数逐一判断：
$\frac{4}{11}$：4和11互质（只有公因数1），是最简分数；
$\frac{3}{12}$：3和12的最大公因数是3，不是最简分数；
$\frac{9}{15}$：9和15的最大公因数是3，不是最简分数；
$\frac{10}{7}$：10和7互质，是最简分数；
$\frac{13}{51}$：13是质数，51=3×17，13与51无除1外的公因数，是最简分数；
$1\frac{10}{15}$：分数部分$\frac{10}{15}$的分子分母有公因数5，不是最简分数；
$\frac{18}{4}$：18和4的最大公因数是2，不是最简分数；
$2\frac{5}{6}$：5和6互质，是最简分数；
因此最简分数有$\frac{4}{11},\frac{10}{7},\frac{13}{51},2\frac{5}{6}$。
【答案】
相等；1；最简；$\frac{4}{11},\frac{10}{7},\frac{13}{51},2\frac{5}{6}$
【知识点】
约分的定义、最简分数的概念、最简分数的判断
【点评】
本题围绕约分和最简分数的核心概念展开，既考查了基础定义的记忆，又考查了对最简分数的实际判断能力，是分数运算的基础内容，掌握这些知识有助于后续分数的通分、加减乘除等运算的学习。
【难度系数】
0.8

2. 选一选。
(1) 下面的分数中，与$\frac{8}{9}$相等的是()。
A. $\frac{9}{8}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{56}{63}$
(2) 分数单位是$\frac{1}{9}$的最简真分数一共有()个。
A. 6
B. 7
C. 8
(3) 一个最简真分数，它的分子与分母的乘积是 18。这个分数可能是()。
A. $\frac{9}{2}$
B. $\frac{2}{9}$
C. $\frac{3}{6}$

C
A
B

【分析】
1. 第(1)题：要找出与$\frac{8}{9}$相等的分数，需依据分数的基本性质，将选项中的分数约分后与$\frac{8}{9}$对比，通过判断大小或约分结果排除不符合的选项。
2. 第(2)题：先明确分数单位、最简真分数的定义，分数单位是$\frac{1}{9}$则分母为9，最简真分数要求分子小于分母且分子与分母互质，据此统计符合条件的分子个数。
3. 第(3)题：结合最简真分数的定义（分子小于分母、分子分母互质），以及分子分母乘积为18的条件，逐一分析选项是否满足要求。
【解析】
(1) 对各选项分析如下：
选项A：$\frac{9}{8}$是$\frac{8}{9}$的倒数，与$\frac{8}{9}$不相等；
选项B：$\frac{4}{3}＞1$，$\frac{8}{9}＜1$，两者大小不同，不相等；
选项C：根据分数的基本性质，$\frac{56}{63}=\frac{56÷7}{63÷7}=\frac{8}{9}$，与$\frac{8}{9}$相等，故选C。
(2) 分数单位是$\frac{1}{9}$的分数分母为9，最简真分数需满足分子小于分母且分子与9互质（即分子不是3的倍数）。符合条件的分子有1、2、4、5、7、8，共6个，故选A。
(3) 逐一分析选项：
选项A：$\frac{9}{2}$分子大于分母，属于假分数，不符合最简真分数的要求；
选项B：$\frac{2}{9}$分子小于分母，且2和9互质，同时$2×9=18$，完全符合条件；
选项C：$\frac{3}{6}$的分子分母有公因数3，不是最简分数，不符合要求，故选B。
【答案】
C；A；B
【知识点】
1. 分数的基本性质
2. 最简真分数定义
3. 分数单位概念
【点评】
本题围绕分数的基础概念与性质展开，考查了分数相等的判断、最简真分数的识别等内容，需要准确理解相关定义，灵活运用约分、互质等知识解题，侧重对基础知识点的掌握与运用。
【难度系数】
0.6

3. 把没有约成最简分数的约成最简分数。
$\frac{24}{80}=\frac{6}{20}$ $\frac{25}{175}=\frac{5}{35}$
$\frac{18}{27}=\frac{6}{9}$ $\frac{72}{120}=\frac{24}{40}$

$\frac{24}{80}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$
$\frac{25}{175}=\frac{5}{35}=\frac{1}{7}$
$\frac{18}{27}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
$\frac{72}{120}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}$

【分析】
首先明确最简分数的定义：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。题目中给出的分数都是经过一次约分但未达到最简的，我们需要找到当前分子和分母的最大公因数，然后将分子分母同时除以这个最大公因数，直到分子分母互质，得到最简分数。具体思考步骤：
1. 观察每个已约分后的分数，找出分子分母的公因数；
2. 用分子分母同时除以它们的最大公因数，完成约分；
3. 检查最终分数的分子分母是否只有公因数1，确认是否为最简分数。
【解析】
1. 对于$\frac{24}{80}=\frac{6}{20}$：
6和20的最大公因数是2，将分子分母同时除以2：
$\frac{6÷2}{20÷2}=\frac{3}{10}$，此时3和10只有公因数1，是最简分数；
2. 对于$\frac{25}{175}=\frac{5}{35}$：
5和35的最大公因数是5，将分子分母同时除以5：
$\frac{5÷5}{35÷5}=\frac{1}{7}$，此时1和7只有公因数1，是最简分数；
3. 对于$\frac{18}{27}=\frac{6}{9}$：
6和9的最大公因数是3，将分子分母同时除以3：
$\frac{6÷3}{9÷3}=\frac{2}{3}$，此时2和3只有公因数1，是最简分数；
4. 对于$\frac{72}{120}=\frac{24}{40}$：
24和40的最大公因数是8，将分子分母同时除以8：
$\frac{24÷8}{40÷8}=\frac{3}{5}$，此时3和5只有公因数1，是最简分数。
【答案】
$\frac{24}{80}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$
$\frac{25}{175}=\frac{5}{35}=\frac{1}{7}$
$\frac{18}{27}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
$\frac{72}{120}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}$
【知识点】
约分、最简分数
【点评】
本题考查约分的基本操作，关键是要牢记最简分数的定义，约分需持续到分子分母互质为止。解题时要准确找出分子分母的最大公因数，确保约分一步到位，提升解题效率。
【难度系数】
0.8

4. 修一条长 15 千米的水渠，20 天修完。
(1) 平均每天修这条水渠的几分之几？
(2) 平均每天修多少千米？

$1÷20=\frac{1}{20}$
答：平均每天修这条水渠的$\frac{1}{20}$。
$15÷20=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}（$千米）
答：平均每天修$\frac{3}{4}$千米。

【分析】
对于第(1)问，我们把这条水渠的全长看作单位“1”，20天修完相当于将单位“1”平均分成20份，求平均每天修的占比，就是求其中1份对应的分率，用单位“1”除以总天数即可。
对于第(2)问，求平均每天修的具体长度，属于求实际工作量，用水渠的总长度除以修完的天数，得到的结果就是每天修的千米数，最后要将分数约分至最简形式。
【解析】
(1) 将这条水渠全长看作单位“1”，计算平均每天修的占比：
$1÷20=\frac{1}{20}$
答：平均每天修这条水渠的$\frac{1}{20}$。
(2) 计算平均每天修的具体长度：
$15÷20=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$（千米）
答：平均每天修$\frac{3}{4}$千米。
【答案】
(1) $\frac{1}{20}$；(2) $\frac{3}{4}$千米
【知识点】
分数的意义、平均分的应用、分数与除法的关系
【点评】
本题核心是区分分率与具体数量的计算逻辑：第(1)问求分率，需以整体为单位“1”进行平均分；第(2)问求具体长度，用总长度除以总天数即可，计算后要注意将分数化简为最简形式，帮助学生理清分数在不同场景下的应用差异。
【难度系数】
0.8

5. 学校合唱队共有 80 人，其中男生有 32 人。男生人数占合唱队总人数的几分之几？

$32÷80=\frac{32}{80}=\frac{2}{5}$
答：男生人数占合唱队总人数的$\frac{2}{5}$。

【分析】
要解决“男生人数占合唱队总人数的几分之几”这个问题，核心思路是明确“求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算”。具体来说，就是用男生的人数作为被除数，合唱队总人数作为除数，得到的商转化为分数后，再化简成最简分数即可。首先确定已知条件：男生32人，总人数80人，接下来用男生人数除以总人数，再约分得到结果。
【解析】
求男生人数占合唱队总人数的几分之几，用男生人数除以总人数：
$32÷80=\frac{32}{80}$
将$\frac{32}{80}$约分，分子分母同时除以它们的最大公因数16：
$\frac{32÷16}{80÷16}=\frac{2}{5}$
答：男生人数占合唱队总人数的$\frac{2}{5}$。
【答案】
男生人数占合唱队总人数的$\frac{2}{5}$。
【知识点】
求一个数是另一个数的几分之几；约分（最简分数）；分数与除法的关系
【点评】
本题是分数意义的基础应用题型，重点考查分数与除法的关系以及约分的方法。解题关键是理解“占比”的含义，掌握求一个数是另一个数几分之几的计算方法，只要理清数量关系就能轻松解答。
【难度系数】
0.9

6. 已知$x＞0$，$\frac{x+8}{15}$是分母为 15 的最简真分数。$x$可能是哪些数？

答： x可能是3，5，6。

【分析】
要解决这个问题，需分两步梳理思路：
1. 先根据“真分数”的定义确定分子的范围，进而得到x的初步取值范围；
2. 再依据“最简分数”的定义，从初步范围内筛选出能让分子与分母互质的x值。
【解析】
1. 确定x的初步取值范围：
因为$\frac{x+8}{15}$是真分数，所以分子必须小于分母，即$x+8 ＜ 15$，解得$x ＜ 7$；
又因为$x＞0$且x为整数（分数分子应为整数，故x需为整数），所以x的初步可能取值为1、2、3、4、5、6。
2. 筛选符合最简分数条件的x：
分母15的因数是3和5，因此分子$x+8$不能是3或5的倍数（否则分子与15不互质）：
当x=1时，分子$1+8=9$，9是3的倍数，与15的最大公因数是3，不是最简分数，排除；
当x=2时，分子$2+8=10$，10是5的倍数，与15的最大公因数是5，不是最简分数，排除；
当x=3时，分子$3+8=11$，11与15互质（最大公因数为1），符合条件；
当x=4时，分子$4+8=12$，12是3的倍数，与15的最大公因数是3，不是最简分数，排除；
当x=5时，分子$5+8=13$，13与15互质，符合条件；
当x=6时，分子$6+8=14$，14与15互质，符合条件。
综上，x的可能取值为3、5、6。
【答案】
x可能是3，5，6。
【知识点】
最简真分数定义、互质概念、不等式应用
【点评】
本题核心考查最简真分数的双重概念，需同时满足“分子小于分母（真分数）”和“分子分母互质（最简分数）”两个条件，解题时需分步筛选，避免因忽略任一条件导致错误。
【难度系数】
0.6