7. $△ ABC,△ DEF,△ HIG$ 的相关数据如图所示,则 （）

A.$△ ABC≌△ DEF$
B.$△ DEF≌△ HIG$
C.$AB=DE$
D.$HI=BC$

7.B

【分析】
解题时首先利用三角形内角和为180°，计算出三个三角形的未知内角，再结合已知的边长，找到每个长度为6的边对应的角，之后根据全等三角形的判定定理逐一验证每个选项，同时判断对应边是否相等即可。
【解析】
第一步：计算各三角形的未知内角
根据三角形内角和为180°：
1. 在$△ ABC$中，$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-80°=70°$，已知$AB=6$，$AB$是$∠ C$的对边；
2. 在$△ DEF$中，$∠ D=180°-∠ E-∠ F=180°-30°-80°=70°$，已知$EF=6$，$EF$是$∠ D$的对边；
3. 在$△ HIG$中，$∠ G=180°-∠ H-∠ I=180°-70°-30°=80°$，已知$GI=6$，$GI$是$∠ H$的对边。
第二步：逐一分析选项
选项A：$△ ABC$和$△ DEF$三个角对应相等，但长度为6的边对应的角不相等，无对应相等的边，故两个三角形不全等，A错误；
选项B：$△ DEF$和$△ HIG$中，$∠ D=∠ H=70°$，$∠ E=∠ I=30°$，$∠ D$的对边$EF=∠ H$的对边$GI=6$，满足AAS全等判定条件，故$△ DEF≌△ HIG$，B正确；
选项C：$AB=6$，$DE$是$△ DEF$中$∠ F=80°$的对边，长度不等于6，故$AB≠ DE$，C错误；
选项D：$BC$是$△ ABC$中$∠ A=70°$的对边，$HI$是$△ HIG$中$∠ G=80°$的对边，二者长度不相等，D错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，全等三角形的判定
【点评】
本题重点考查三角形内角和的应用与全等三角形的判定，解题的核心是准确找到边对应的角，避免因对应关系混淆出错，熟练掌握全等判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7

8.如图,在$△ ABC$中,$BD=AD$,F是高AD和BE的交点,若$FD=4,AF=2$,则线段BC的长度为________.

8.10

【分析】
要计算BC的长度，可将其拆分为BD和CD两段分别求解。首先AD、BE是△ABC的高，可得多个直角，根据同角的余角相等可推出∠FBD=∠CAD；再结合已知BD=AD，可通过ASA证明△BDF≌△ADC，利用全等三角形对应边相等，得到FD=CD、BD=AD，最后代入已知线段长度求和即可得到BC的长。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠FBD + ∠C = 90°，∠CAD + ∠C = 90°，
∴∠FBD = ∠CAD（同角的余角相等）。
在△BDF和△ADC中：
$\begin{cases}∠FBD=∠CAD \\BD=AD \\∠BDF=∠ADC\end{cases}$
∴△BDF≌△ADC（ASA）。
∴FD=CD，BD=AD。
∵AF=2，FD=4，
∴AD=AF+FD=2+4=6，
∴BD=AD=6，CD=FD=4，
∴BC=BD+CD=6+4=10。
【答案】
10
【知识点】
ASA判定三角形全等、全等三角形的性质、余角的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的常规题型，解题核心是借助高的性质推导等角，进而证明三角形全等，实现未知线段向已知线段的转化，能很好地考查学生对全等三角形判定及性质的运用能力。
【难度系数】
0.7

9.(2025·苏州)如图,C是线段AB的中点,∠A=∠ECB,CD//BE.
(1)求证:△DAC≌△ECB;
(2)连接DE,若AB=16,求DE的长.

9.(1)证明:$\because CD// BE,\therefore ∠DCA=∠B.$
$\because C$是线段$AB$的中点,$\therefore AC=CB=\frac{1}{2}AB.$
在$△DAC$和$△ECB$中,$\begin{cases}∠A=∠ECB,\\AC=CB,\\∠DCA=∠B,\end{cases}$
$\therefore △DAC≌△ECB(\mathrm{ASA}).$
(2)解:$\because AB=16,\therefore AC=CB=\frac{1}{2}AB=8.$
由(1)可知$△DAC≌△ECB,\therefore CD=BE.$
又$\because CD// BE,\therefore ∠DCE=∠BEC.$
在$△DEC$和$△BCE$中,$\begin{cases}CD=EB,\\∠DCE=∠BEC,\\CE=EC,\end{cases}$
$\therefore △DEC≌△BCE(\mathrm{SAS}),\therefore DE=BC=8.$

【分析】
（1）要证明△DAC≌△ECB，先梳理已知条件：由C是AB中点可得AC=CB，题目已给出∠A=∠ECB，再结合CD//BE，根据平行线的性质可得到一组同位角相等，即∠DCA=∠B，三组条件刚好满足角边角（ASA）的全等判定条件，即可完成证明。
（2）要求DE的长，首先由AB的长度结合中点性质可求出BC的长为8；再利用（1）的全等结论可得CD=BE，结合CD//BE可推出∠DCE=∠BEC，加上公共边CE=EC，可通过边角边（SAS）证明△DEC≌△BCE，从而得到DE=BC，即可求出DE的长度。
【解析】
(1)证明：$\because CD// BE,\therefore ∠ DCA=∠ B.$
$\because C$是线段$AB$的中点,$\therefore AC=CB=\frac{1}{2}AB.$
在$△ DAC$和$△ ECB$中,$\begin{cases}∠ A=∠ ECB,\\AC=CB,\\∠ DCA=∠ B,\end{cases}$
$\therefore △ DAC≌ △ ECB(\mathrm{ASA}).$
(2)解：$\because AB=16,\therefore AC=CB=\frac{1}{2}AB=8.$
由(1)可知$△ DAC≌ △ ECB,\therefore CD=BE.$
又$\because CD// BE,\therefore ∠ DCE=∠ BEC.$
在$△ DEC$和$△ BCE$中,$\begin{cases}CD=EB,\\∠ DCE=∠ BEC,\\CE=EC,\end{cases}$
$\therefore △ DEC≌ △ BCE(\mathrm{SAS}),\therefore DE=BC=8.$
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{DE=8}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，线段中点的定义
【点评】
本题属于几何基础题，解题的关键是结合已知条件找准全等三角形对应的边、角相等关系，灵活运用全等三角形的判定定理推导结论。
【难度系数】
0.7

10.(2025·苏州一模)如图，$CB⊥AD$，$AE⊥DC$，垂足分别为$B$，$E$，$AE$，$BC$相交于点$F$，且$AB=BC$.
(1)求证：$△ ABF≌△ CBD$；
(2)已知$AD=7$，$BF=2$，求$CF$的长度.

10.(1)证明:$\because CB⊥AD,AE⊥DC,$
$\therefore ∠ABF=∠CBD=90^{\circ },∠CEF=90^{\circ },$
$\therefore ∠A+∠AFB=90^{\circ },∠C+∠CFE=90^{\circ }.$
又$\because ∠AFB=∠CFE,\therefore ∠A=∠C.$
在$△ABF$和$△CBD$中,$\begin{cases}∠ABF=∠CBD,\\AB=CB,\\∠A=∠C,\end{cases}$
$\therefore △ABF≌△CBD(\mathrm{ASA}).$
(2)解:由(1)可知$△ABF≌△CBD$,
$\therefore AB=CB,BF=BD,$
$\therefore AD=AB+BD=AB+BF,\therefore AB=AD-BF.$
$\because AD=7,BF=2,\therefore AB=AD-BF=7-2=5,$
$\therefore CB=5,\therefore CF=CB-BF=5-2=3.$

【分析】
（1）要证明△ABF≌△CBD，先梳理已知条件：由CB⊥AD、AE⊥DC可得两个三角形都有直角，即∠ABF=∠CBD=90°；再根据直角三角形两锐角互余，结合对顶角∠AFB=∠CFE，可推出∠A=∠C；此时已知AB=BC，三个条件满足角边角（ASA）的全等判定依据，即可完成证明。
（2）要求CF的长度，已知BF=2，只需先求出BC的长度。由（1）的全等结论可得对应边相等：BF=BD，AB=BC；结合AD=AB+BD，将BD替换为BF，代入AD和BF的数值即可求出AB的长度，也就是BC的长度，最后用BC减去BF即可得到CF的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because CB⊥AD,AE⊥DC,$
$\therefore ∠ABF=∠CBD=90^{\circ },∠CEF=90^{\circ },$
$\therefore ∠A+∠AFB=90^{\circ },∠C+∠CFE=90^{\circ }.$
又$\because ∠AFB=∠CFE$（对顶角相等），
$\therefore ∠A=∠C.$
在$△ABF$和$△CBD$中：
$\begin{cases}∠ABF=∠CBD,\\AB=CB,\\∠A=∠C,\end{cases}$
$\therefore △ABF≌△CBD(\mathrm{ASA}).$
(2) 解：由(1)中△ABF≌△CBD，根据全等三角形对应边相等可得：
$AB=CB,BF=BD,$
$\because AD=AB+BD$，
$\therefore AD=AB+BF$，即$AB=AD-BF.$
代入$AD=7,BF=2$得：
$AB=7-2=5$，
$\therefore CB=AB=5,$
$\therefore CF=CB-BF=5-2=3.$
【答案】
(1) △ABF≌△CBD得证；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
全等三角形ASA判定；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，解题核心是熟练掌握全等的判定定理和性质，先通过角的互余和对顶角关系推导相等的角，结合已知边判定全等，再利用全等的性质转化线段关系求解，侧重考察基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.75

11.(2025·扬州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,在BD上取两点E,F,使DF=BE,连接AE,CF.
(1)若AE//CF,求证:△ABE≌△CDF;
(2)在(1)的条件下,连接AF,CE,试判断AF与CE有怎样的数量关系,并说明理由.

11.(1)证明:$\because AB// CD,\therefore ∠ABE=∠CDF.$
$\because AE// CF,\therefore ∠AEB=∠CFD.$
在$△ABE$和$△CDF$中,$\begin{cases}∠ABE=∠CDF,\\BE=DF,\\∠AEB=∠CFD,\end{cases}$
$\therefore △ABE≌△CDF(\mathrm{ASA}).$
(2)解:$AF=CE$,理由:如答图,连接$AF,CE.$
$\because △ABE≌△CDF,\therefore AB=CD.$
$\because DF=BE,\therefore DF-EF=BE-EF,\therefore DE=BF.$
在$△ABF$和$△CDE$中,$\begin{cases}AB=CD,\\∠ABF=∠CDE,\\BF=DE,\end{cases}$
$\therefore △ABF≌△CDE(\mathrm{SAS}),\therefore AF=CE.$

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CDF，首先从已知平行条件推导等角：由AB//CD可得内错角∠ABE=∠CDF，由AE//CF可得内错角∠AEB=∠CFD，再结合已知的BE=DF，刚好满足ASA全等判定条件，即可完成证明。
(2) 判断AF和CE的数量关系，可通过证明二者所在的三角形全等推导：由(1)的全等结论可得AB=CD，再由DF=BE，两边同时减去公共线段EF得到DE=BF，结合AB//CD得到的∠ABF=∠CDE，用SAS判定△ABF≌△CDE，即可得到AF与CE的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//CD，根据两直线平行，内错角相等，
∴ ∠ABE=∠CDF。
∵ AE//CF，根据两直线平行，内错角相等，
∴ ∠AEB=∠CFD。
在△ABE和△CDF中：
$\begin{cases}∠ABE=∠CDF,\\BE=DF,\\∠AEB=∠CFD,\end{cases}$
∴ △ABE≌△CDF（ASA）。
(2) AF=CE，理由如下：
连接AF、CE，
∵ △ABE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等，
∴ AB=CD。
∵ DF=BE，
∴ DF-EF=BE-EF，即DE=BF。
在△ABF和△CDE中：
$\begin{cases}AB=CD,\\∠ABF=∠CDE,\\BF=DE,\end{cases}$
∴ △ABF≌△CDE（SAS），根据全等三角形对应边相等，
∴ AF=CE。
【答案】
11.(1)证明:$\because AB// CD,\therefore ∠ABE=∠CDF.$
$\because AE// CF,\therefore ∠AEB=∠CFD.$
在$△ABE$和$△CDF$中,$\begin{cases}∠ABE=∠CDF,\\BE=DF,\\∠AEB=∠CFD,\end{cases}$
$\therefore △ABE≌△CDF(\mathrm{ASA}).$
(2)解:$AF=CE$,理由:如答图,连接$AF,CE.$
$\because △ABE≌△CDF,\therefore AB=CD.$
$\because DF=BE,\therefore DF-EF=BE-EF,\therefore DE=BF.$
在$△ABF$和$△CDE$中,$\begin{cases}AB=CD,\\∠ABF=∠CDE,\\BF=DE,\end{cases}$
$\therefore △ABF≌△CDE(\mathrm{SAS}),\therefore AF=CE.$

【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题核心是通过平行关系得到等角，结合已知边相等的条件判定三角形全等，再利用全等的性质推导对应边相等，思路连贯清晰，是几何证明的常规题型。
【难度系数】
0.7