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9.如图,在$△ ABC$中,$AB=20\ \mathrm{cm}$,$AC=12\ \mathrm{cm}$,点$D$在$BC$边上,作$DE⊥ AB$于点$E$,$DF⊥ AC$于点$F$,若$DE=5\ \mathrm{cm}$,$△ ABC$的面积为$122\ \mathrm{cm}^2$,则$DF$的长为 （
A.$9\ \mathrm{cm}$
B.$10\ \mathrm{cm}$
C.$11\ \mathrm{cm}$
D.$12\ \mathrm{cm}$
D
）A.$9\ \mathrm{cm}$
B.$10\ \mathrm{cm}$
C.$11\ \mathrm{cm}$
D.$12\ \mathrm{cm}$
答案
9.D
解析
【分析】
解题时首先观察图形，可将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积之和。已知DE是△ABD中AB边上的高，DF是△ACD中AC边上的高，结合已知的AB、AC长度，DE长度和△ABC的总面积，代入三角形面积公式建立等式，即可求解DF的长度。
【解析】
连接AD，
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · AB · DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · AC · DF$，
又
∵ $S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=122\ \mathrm{cm}^2$，
将AB=20 cm，AC=12 cm，DE=5 cm代入得：
$\frac{1}{2} × 20 × 5 + \frac{1}{2} × 12 × DF = 122$，
计算得：$50 + 6DF = 122$，
移项解得：$6DF=72$，$DF=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
三角形面积计算；割补法求面积；三角形的高
【点评】
本题通过拆分三角形面积建立等量关系求解未知线段长度，解题关键是明确两个小三角形的面积和等于大三角形的面积，熟练掌握三角形面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，可将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积之和。已知DE是△ABD中AB边上的高，DF是△ACD中AC边上的高，结合已知的AB、AC长度，DE长度和△ABC的总面积，代入三角形面积公式建立等式，即可求解DF的长度。
【解析】
连接AD，
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · AB · DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · AC · DF$，
又
∵ $S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=122\ \mathrm{cm}^2$，
将AB=20 cm，AC=12 cm，DE=5 cm代入得：
$\frac{1}{2} × 20 × 5 + \frac{1}{2} × 12 × DF = 122$，
计算得：$50 + 6DF = 122$，
移项解得：$6DF=72$，$DF=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
三角形面积计算；割补法求面积；三角形的高
【点评】
本题通过拆分三角形面积建立等量关系求解未知线段长度，解题关键是明确两个小三角形的面积和等于大三角形的面积，熟练掌握三角形面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10.已知AD是$△ ABC$的一条高,如果$∠ BAD=70°,∠ CAD=25°$,则$∠ BAC=$
95°或45°
.答案
10.95°或45°
解析
【分析】
本题需要结合三角形高的位置不确定性进行分类讨论。三角形的高不一定都在三角形内部：锐角三角形的高都在内部，钝角三角形有两条高在外部，题目没有明确△ABC的形状，因此要分高AD在△ABC内部、高AD在△ABC外部两种情况，分别计算∠BAC的度数。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC的内部时：
∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 70° + 25° = 95°
② 当高AD在△ABC的外部时（此时△ABC为钝角三角形）：
∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 70° - 25° = 45°
综上，∠BAC的度数为95°或45°。
【答案】
95°或45°
【知识点】
三角形高的性质，分类讨论思想，角度计算
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况，仅计算出95°的结果导致漏解。解题时若题目没有明确三角形形状，需结合高的位置特点分情况讨论，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.6
本题需要结合三角形高的位置不确定性进行分类讨论。三角形的高不一定都在三角形内部：锐角三角形的高都在内部，钝角三角形有两条高在外部，题目没有明确△ABC的形状，因此要分高AD在△ABC内部、高AD在△ABC外部两种情况，分别计算∠BAC的度数。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC的内部时：
∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 70° + 25° = 95°
② 当高AD在△ABC的外部时（此时△ABC为钝角三角形）：
∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 70° - 25° = 45°
综上，∠BAC的度数为95°或45°。
【答案】
95°或45°
【知识点】
三角形高的性质，分类讨论思想，角度计算
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况，仅计算出95°的结果导致漏解。解题时若题目没有明确三角形形状，需结合高的位置特点分情况讨论，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.6
11.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD$为边$AC$上的中线，$BD$把$△ ABC$的周长分成12和10两部分，则底边$BC$的长为________.
答案
11.6或$\dfrac{26}{3}$
解析
【分析】
首先明确已知条件：△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD是AC边上的中线，因此AD=DC=$\frac{1}{2}$AC。BD将△ABC的周长分为12和10两部分，这里的两部分是指AB+AD和BC+CD（不含公共边BD），由于题目未说明哪部分周长为12、哪部分为10，因此需要分类讨论两种情况，计算出边长后还需验证是否满足三角形三边关系，舍去不符合的结果，最终得到底边BC的长度。
【解析】
设AB=AC=2x，
∵BD是AC的中线，
∴AD=CD=x。
分两种情况讨论：
1. 当AB+AD=12时：
$2x + x = 12$，解得$x=4$，
∴CD=4，AB=AC=8，
又
∵BC+CD=10，
∴BC=10-4=6，
此时三边长为8、8、6，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），结果有效。
2. 当AB+AD=10时：
$2x + x =10$，解得$x=\frac{10}{3}$，
∴CD=$\frac{10}{3}$，AB=AC=$\frac{20}{3}$，
又
∵BC+CD=12，
∴BC=$12-\frac{10}{3}=\frac{26}{3}$，
此时三边长为$\frac{20}{3}$、$\frac{20}{3}$、$\frac{26}{3}$，满足三角形三边关系，结果有效。
综上，BC的长为6或$\frac{26}{3}$。
【答案】
6或$\dfrac{26}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形中线的定义；三角形三边关系
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时需注意未明确两部分周长对应情况时要分类讨论，最后必须验证三边是否满足三角形构成条件，避免出现不符合实际的增根。
【难度系数】
0.6
首先明确已知条件：△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD是AC边上的中线，因此AD=DC=$\frac{1}{2}$AC。BD将△ABC的周长分为12和10两部分，这里的两部分是指AB+AD和BC+CD（不含公共边BD），由于题目未说明哪部分周长为12、哪部分为10，因此需要分类讨论两种情况，计算出边长后还需验证是否满足三角形三边关系，舍去不符合的结果，最终得到底边BC的长度。
【解析】
设AB=AC=2x，
∵BD是AC的中线，
∴AD=CD=x。
分两种情况讨论：
1. 当AB+AD=12时：
$2x + x = 12$，解得$x=4$，
∴CD=4，AB=AC=8，
又
∵BC+CD=10，
∴BC=10-4=6，
此时三边长为8、8、6，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），结果有效。
2. 当AB+AD=10时：
$2x + x =10$，解得$x=\frac{10}{3}$，
∴CD=$\frac{10}{3}$，AB=AC=$\frac{20}{3}$，
又
∵BC+CD=12，
∴BC=$12-\frac{10}{3}=\frac{26}{3}$，
此时三边长为$\frac{20}{3}$、$\frac{20}{3}$、$\frac{26}{3}$，满足三角形三边关系，结果有效。
综上，BC的长为6或$\frac{26}{3}$。
【答案】
6或$\dfrac{26}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形中线的定义；三角形三边关系
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时需注意未明确两部分周长对应情况时要分类讨论，最后必须验证三边是否满足三角形构成条件，避免出现不符合实际的增根。
【难度系数】
0.6
12.(2025·工业园区期末)如图，BD是$△ ABC$的边AC上的中线，AE是$△ ABD$的边BD上的中线，BF是$△ ABE$的边AE上的中线，连接CE，CF.若$△ ABC$的面积是16，则阴影部分的面积是________.
答案
12.6
解析
【分析】
本题可利用三角形中线的面积性质求解，解题思路如下：首先明确核心性质：三角形的中线将三角形分为两个等底同高、面积相等的小三角形。第一步先根据BD是AC的中线，计算△ABD和△CBD的面积；第二步根据AE是△ABD的BD边上的中线，得到E是BD中点，依次计算△ABE、△CBE的面积，再求出△AEC的面积；第三步根据BF是△ABE的AE边上的中线，得到F是AE中点，计算两块阴影部分的面积，最后求和即可得到结果。
【解析】
根据“三角形的中线平分三角形的面积”逐步计算：
1. 已知BD是△ABC的AC边上的中线，因此：
$S_{△ ABD}=S_{△ CBD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×16=8$。
2. 已知AE是△ABD的BD边上的中线，即E为BD中点，因此：
$S_{△ ABE}=S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×8=4$；
同时E是BD中点，△CBE和△CDE等底同高，因此：
$S_{△ CBE}=\frac{1}{2}S_{△ CBD}=\frac{1}{2}×8=4$。
3. 计算$△ AEC$的面积：
$S_{△ AEC}=S_{△ ABC}-S_{△ ABE}-S_{△ CBE}=16-4-4=8$。
4. 已知BF是△ABE的AE边上的中线，即F为AE中点，因此：
阴影部分的$△ BEF$面积：$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×4=2$；
同时F是AE中点，△CEF和△CAF等底同高，阴影部分的$△ CEF$面积：$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}S_{△ AEC}=\frac{1}{2}×8=4$。
5. 阴影部分总面积：$S_{阴影}=S_{△ BEF}+S_{△ CEF}=2+4=6$。
【答案】
6
【知识点】
三角形中线的性质
【点评】
本题的核心是掌握三角形中线平分三角形面积的性质，多次运用该性质逐步推导各部分面积即可求解，解题时要准确识别中线对应的两个等面积三角形，避免混淆对应关系。
【难度系数】
0.65
本题可利用三角形中线的面积性质求解，解题思路如下：首先明确核心性质：三角形的中线将三角形分为两个等底同高、面积相等的小三角形。第一步先根据BD是AC的中线，计算△ABD和△CBD的面积；第二步根据AE是△ABD的BD边上的中线，得到E是BD中点，依次计算△ABE、△CBE的面积，再求出△AEC的面积；第三步根据BF是△ABE的AE边上的中线，得到F是AE中点，计算两块阴影部分的面积，最后求和即可得到结果。
【解析】
根据“三角形的中线平分三角形的面积”逐步计算：
1. 已知BD是△ABC的AC边上的中线，因此：
$S_{△ ABD}=S_{△ CBD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×16=8$。
2. 已知AE是△ABD的BD边上的中线，即E为BD中点，因此：
$S_{△ ABE}=S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×8=4$；
同时E是BD中点，△CBE和△CDE等底同高，因此：
$S_{△ CBE}=\frac{1}{2}S_{△ CBD}=\frac{1}{2}×8=4$。
3. 计算$△ AEC$的面积：
$S_{△ AEC}=S_{△ ABC}-S_{△ ABE}-S_{△ CBE}=16-4-4=8$。
4. 已知BF是△ABE的AE边上的中线，即F为AE中点，因此：
阴影部分的$△ BEF$面积：$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×4=2$；
同时F是AE中点，△CEF和△CAF等底同高，阴影部分的$△ CEF$面积：$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}S_{△ AEC}=\frac{1}{2}×8=4$。
5. 阴影部分总面积：$S_{阴影}=S_{△ BEF}+S_{△ CEF}=2+4=6$。
【答案】
6
【知识点】
三角形中线的性质
【点评】
本题的核心是掌握三角形中线平分三角形面积的性质，多次运用该性质逐步推导各部分面积即可求解，解题时要准确识别中线对应的两个等面积三角形，避免混淆对应关系。
【难度系数】
0.65
13. 如图,在$△ ACB$中,$∠ ACB=90°,∠ 1=∠ B$.
(1)试说明:$CD$是$△ ABC$的高;
(2)如果$AC=8,BC=6,AB=10$,求$CD$的长.
(1)试说明:$CD$是$△ ABC$的高;
(2)如果$AC=8,BC=6,AB=10$,求$CD$的长.
答案
13.解:(1)因为∠ACB=90°,所以∠1+∠BCD=90°.
又因为∠1=∠B，
所以∠B+∠BCD=90°,
所以∠BDC=180°-(∠B+∠BCD)=180°-90°=90°,
所以CD⊥AB,
所以CD是△ABC的高.
(2)因为∠ACB=∠CDB=90°,
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$.
因为AC=8,BC=6,AB=10,
所以$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8× 6}{10}=\frac{24}{5}$.
又因为∠1=∠B，
所以∠B+∠BCD=90°,
所以∠BDC=180°-(∠B+∠BCD)=180°-90°=90°,
所以CD⊥AB,
所以CD是△ABC的高.
(2)因为∠ACB=∠CDB=90°,
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$.
因为AC=8,BC=6,AB=10,
所以$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8× 6}{10}=\frac{24}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明CD是△ABC的高，只需证明CD⊥AB，即∠CDB=90°。已知∠ACB=90°，可得∠1+∠BCD=90°，结合已知∠1=∠B，将∠1替换为∠B，即可推导出∠B+∠BCD=90°，再根据三角形内角和为180°就能求出∠CDB=90°，得到垂直关系。
(2) 要求CD的长，可利用△ABC的面积的两种计算方式：一是用两条直角边AC、BC乘积的一半计算，二是用底边AB和斜边上的高CD乘积的一半计算，根据面积相等列等式，代入已知边长即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠1 + ∠BCD = 90°，
又
∵ ∠1 = ∠B，
∴ ∠B + ∠BCD = 90°，
在△BCD中，∠BDC = 180° - (∠B + ∠BCD) = 180° - 90° = 90°，
∴ CD⊥AB，
∴ CD是△ABC的高。
(2) 解：
∵ ∠ACB = ∠CDB = 90°，
∴ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}AC·BC$，同时$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·CD$，
∴ $\frac{1}{2}AC·BC = \frac{1}{2}AB·CD$，即$AC·BC = AB·CD$，
将AC=8，BC=6，AB=10代入得：
$CD = \frac{AC·BC}{AB} = \frac{8×6}{10} = \frac{24}{5}$。
【答案】
(1) CD是△ABC的高，证明见解析；
(2) CD的长为$\frac{24}{5}$。
【知识点】
三角形高的定义、直角三角形的性质、等面积法求线段长
【点评】
本题是三角形相关的基础题型，第一问通过角度转化证明垂直，考察了直角三角形两锐角互余和三角形内角和的应用；第二问利用等面积法计算斜边上的高，是求三角形高线长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明CD是△ABC的高，只需证明CD⊥AB，即∠CDB=90°。已知∠ACB=90°，可得∠1+∠BCD=90°，结合已知∠1=∠B，将∠1替换为∠B，即可推导出∠B+∠BCD=90°，再根据三角形内角和为180°就能求出∠CDB=90°，得到垂直关系。
(2) 要求CD的长，可利用△ABC的面积的两种计算方式：一是用两条直角边AC、BC乘积的一半计算，二是用底边AB和斜边上的高CD乘积的一半计算，根据面积相等列等式，代入已知边长即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠1 + ∠BCD = 90°，
又
∵ ∠1 = ∠B，
∴ ∠B + ∠BCD = 90°，
在△BCD中，∠BDC = 180° - (∠B + ∠BCD) = 180° - 90° = 90°，
∴ CD⊥AB，
∴ CD是△ABC的高。
(2) 解：
∵ ∠ACB = ∠CDB = 90°，
∴ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}AC·BC$，同时$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·CD$，
∴ $\frac{1}{2}AC·BC = \frac{1}{2}AB·CD$，即$AC·BC = AB·CD$，
将AC=8，BC=6，AB=10代入得：
$CD = \frac{AC·BC}{AB} = \frac{8×6}{10} = \frac{24}{5}$。
【答案】
(1) CD是△ABC的高，证明见解析；
(2) CD的长为$\frac{24}{5}$。
【知识点】
三角形高的定义、直角三角形的性质、等面积法求线段长
【点评】
本题是三角形相关的基础题型，第一问通过角度转化证明垂直，考察了直角三角形两锐角互余和三角形内角和的应用；第二问利用等面积法计算斜边上的高，是求三角形高线长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
14.三角形的中线、角平分线、高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点.请应用这个结论解决以下问题：
(1)如图①,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,则$△ ABC$的三条高所在的直线交于点
(2)如图②,在$△ ABC$中,$∠ ACB＞90°$,已知两条高$CD,AE$,请你画出$△ ABC$的第三条高$BF$,请仅用无刻度的直尺按要求画图,不写画法,保留画图痕迹(用虚线表示画图过程,实线表示画图结果).
(1)如图①,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,则$△ ABC$的三条高所在的直线交于点
A
；(2)如图②,在$△ ABC$中,$∠ ACB＞90°$,已知两条高$CD,AE$,请你画出$△ ABC$的第三条高$BF$,请仅用无刻度的直尺按要求画图,不写画法,保留画图痕迹(用虚线表示画图过程,实线表示画图结果).
答案
14.(1)A
(2)解:如答图,BF即为所求。
解析
【分析】
(1) 解决第一问时，先回忆直角三角形高的特点：直角三角形的两条直角边本身就是对应边上的高，两条直角边的交点是直角顶点，而斜边的高也经过该直角顶点，因此可直接得到三条高的交点。
(2) 解决第二问时，利用题干给出的“三角形的3条高所在直线交于同一点”的结论：首先找到已知的两条高AE、CD的交点，第三条高一定经过这个交点和顶点B，因此连接该交点与B并延长交AC于F，即可得到所求的高BF。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠A=90°，则AB是AC边上的高，AC是AB边上的高，BC边上的高也过点A，因此△ABC的三条高所在直线交于点A。
(2) 根据三角形三条高所在直线交于同一点的性质，先找到高AE和高CD的交点，连接该交点与点B并延长，交AC于点F，BF就是△ABC的第三条高。
【答案】
(1) $\boldsymbol{A}$
(2) 如答图，BF即为所求。
【知识点】
三角形的高的概念；直角三角形的高的特征；三角形三条高共点的性质
【点评】
本题围绕三角形的高的性质设计，第一问是基础概念的直接应用，第二问是性质的实操应用，需要学生结合已知结论完成无刻度作图，能很好地考查学生对知识点的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问时，先回忆直角三角形高的特点：直角三角形的两条直角边本身就是对应边上的高，两条直角边的交点是直角顶点，而斜边的高也经过该直角顶点，因此可直接得到三条高的交点。
(2) 解决第二问时，利用题干给出的“三角形的3条高所在直线交于同一点”的结论：首先找到已知的两条高AE、CD的交点，第三条高一定经过这个交点和顶点B，因此连接该交点与B并延长交AC于F，即可得到所求的高BF。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠A=90°，则AB是AC边上的高，AC是AB边上的高，BC边上的高也过点A，因此△ABC的三条高所在直线交于点A。
(2) 根据三角形三条高所在直线交于同一点的性质，先找到高AE和高CD的交点，连接该交点与点B并延长，交AC于点F，BF就是△ABC的第三条高。
【答案】
(1) $\boldsymbol{A}$
(2) 如答图，BF即为所求。
【知识点】
三角形的高的概念；直角三角形的高的特征；三角形三条高共点的性质
【点评】
本题围绕三角形的高的性质设计，第一问是基础概念的直接应用，第二问是性质的实操应用，需要学生结合已知结论完成无刻度作图，能很好地考查学生对知识点的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
