登录
1. 如图,在直线上依次摆放着三个正方形.已知斜放置的正方形的面积是 1,正放置的两个正方形的面积分别是 $ S_1 $、$ S_2 $,则 $ S_1 $、$ S_2 $、1 之间的关系为 （
A.$ S_1 + S_2 = 1 $
B.$ S_1 + S_2 ＞ 1 $
C.$ S_1 + S_2 ＜ 1 $
D.无法确定
A
）A.$ S_1 + S_2 = 1 $
B.$ S_1 + S_2 ＞ 1 $
C.$ S_1 + S_2 ＜ 1 $
D.无法确定
答案
1. A 解析:如图,
∵∠ABC=∠ACE=90°,
∴∠BAC+∠BCA=90°,∠BCA+∠ECD=90°,
∴∠BAC=∠ECD. 在△ABC和△CDE中,
$\begin{cases}∠ABC=∠CDE,\\∠BAC=∠ECD,\\AC=CE,\end{cases}$
∴△ABC≌△CDE(AAS),
∴AB=CD,BC=DE,
∴AC²=AB²+BC²=AB²+DE². 又
∵AB²=S₁,DE²=S₂,AC²=1,
∴S₁+S₂=1.
解析
【分析】
解题时首先结合正方形的性质，可知斜放正方形的边长平方等于其面积1，正放的两个正方形面积分别等于各自边长的平方。接下来观察夹在斜正方形下方的两个直角三角形：首先由直角可推出同角的余角相等，得到一组角相等，再结合斜正方形的边相等、两个直角相等，可证明两个直角三角形全等，从而将两个正放正方形的边长转化为同一个直角三角形的两条直角边，最后利用勾股定理即可得到三者的数量关系。
【解析】
由题意得，∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE，
∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠ECD=180°-∠ACE=90°，
∴∠BAC=∠ECD。
在△ABC和△CDE中：
$\begin{cases}∠ABC=∠CDE \\∠BAC=∠ECD \\AC=CE\end{cases}$
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴AB=CD，BC=DE。
在Rt△ABC中，由勾股定理得$AC^2=AB^2+BC^2$，
将BC替换为DE，得$AC^2=AB^2+DE^2$。
又
∵$AB^2=S_1$，$DE^2=S_2$，$AC^2=1$，
∴$S_1+S_2=1$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是勾股定理应用的经典题型，解题的核心是通过证明三角形全等，将分散的边长关系整合到同一个直角三角形中，再结合勾股定理建立面积之间的关系，能够很好地考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正方形的性质，可知斜放正方形的边长平方等于其面积1，正放的两个正方形面积分别等于各自边长的平方。接下来观察夹在斜正方形下方的两个直角三角形：首先由直角可推出同角的余角相等，得到一组角相等，再结合斜正方形的边相等、两个直角相等，可证明两个直角三角形全等，从而将两个正放正方形的边长转化为同一个直角三角形的两条直角边，最后利用勾股定理即可得到三者的数量关系。
【解析】
由题意得，∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE，
∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠ECD=180°-∠ACE=90°，
∴∠BAC=∠ECD。
在△ABC和△CDE中：
$\begin{cases}∠ABC=∠CDE \\∠BAC=∠ECD \\AC=CE\end{cases}$
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴AB=CD，BC=DE。
在Rt△ABC中，由勾股定理得$AC^2=AB^2+BC^2$，
将BC替换为DE，得$AC^2=AB^2+DE^2$。
又
∵$AB^2=S_1$，$DE^2=S_2$，$AC^2=1$，
∴$S_1+S_2=1$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是勾股定理应用的经典题型，解题的核心是通过证明三角形全等，将分散的边长关系整合到同一个直角三角形中，再结合勾股定理建立面积之间的关系，能够很好地考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=2$,点$D$在$BC$上,$∠ BAD=∠ B$,$AD=\sqrt{5}$,则$BC$的长为
(
A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{3}+1$
C.$\sqrt{5}-1$
D.$\sqrt{5}+1$
(
D
)A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{3}+1$
C.$\sqrt{5}-1$
D.$\sqrt{5}+1$
答案
2. D 解析:
∵∠B=∠BAD,
∴DB=DA=√5. 在Rt△ADC中,DC=√(AD²-AC²)=√(5-4)=1,
∴BC=√5+1.
∵∠B=∠BAD,
∴DB=DA=√5. 在Rt△ADC中,DC=√(AD²-AC²)=√(5-4)=1,
∴BC=√5+1.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC=2；∠BAD=∠B，AD=√5，目标是求BC的长度。首先根据角相等的条件，结合等腰三角形“等角对等边”的性质，可推出BD=AD，得到BD的长度；此时BC可拆分为BD+DC，DC在Rt△ADC中，已知AD和AC两条边，直接用勾股定理即可求出DC的长度，最后将两段长度相加就能得到BC的长。
【解析】
∵∠B=∠BAD，
∴根据等角对等边可得：DB=DA=√5。
在Rt△ADC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AD^2 - AC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2}=\sqrt{5-4}=1$，
∴$BC=BD + DC=\sqrt{5} + 1$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等角对等边，勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是等腰三角形性质与勾股定理的基础综合题，解题的关键是通过角相等的关系转化得到边相等，再结合勾股定理求解未知线段，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC=2；∠BAD=∠B，AD=√5，目标是求BC的长度。首先根据角相等的条件，结合等腰三角形“等角对等边”的性质，可推出BD=AD，得到BD的长度；此时BC可拆分为BD+DC，DC在Rt△ADC中，已知AD和AC两条边，直接用勾股定理即可求出DC的长度，最后将两段长度相加就能得到BC的长。
【解析】
∵∠B=∠BAD，
∴根据等角对等边可得：DB=DA=√5。
在Rt△ADC中，∠C=90°，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AD^2 - AC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2}=\sqrt{5-4}=1$，
∴$BC=BD + DC=\sqrt{5} + 1$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等角对等边，勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是等腰三角形性质与勾股定理的基础综合题，解题的关键是通过角相等的关系转化得到边相等，再结合勾股定理求解未知线段，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,边$AC$的垂直平分线$ED$分别交$AC$于点$D$,交$BC$于点$E$.已知$AB=6$,$AC=10$,则$BE$的长为________.
答案
3. $\frac{7}{4}$ 解析:
∵在Rt△ABC中,AB=6,AC=10,
∴BC=8.
∵ED是AC的垂直平分线,
∴EC=EA. 设BE=x,则AE=CE=8-x. 在Rt△ABE中,AE²=AB²+BE²,
∴(8-x)²=6²+x²,解得x=$\frac{7}{4}$,即BE=$\frac{7}{4}$.
∵在Rt△ABC中,AB=6,AC=10,
∴BC=8.
∵ED是AC的垂直平分线,
∴EC=EA. 设BE=x,则AE=CE=8-x. 在Rt△ABE中,AE²=AB²+BE²,
∴(8-x)²=6²+x²,解得x=$\frac{7}{4}$,即BE=$\frac{7}{4}$.
解析
【分析】
解题时首先根据Rt△ABC的直角边AB和斜边AC，利用勾股定理先求出BC的长度；再结合线段垂直平分线的性质得到EA=EC，将线段EC转化为EA，此时可设BE的长为x，用含x的式子表示出AE的长度；最后在Rt△ABE中再次利用勾股定理列方程，求解即可得到BE的长度。
【解析】
∵ 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=10，
∴ 根据勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
∵ ED是AC的垂直平分线，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，得$EC=EA$。
设$BE=x$，则$AE=CE=BC-BE=8-x$。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AE^2=AB^2+BE^2$，
代入得：$(8-x)^2=6^2+x^2$，
展开整理：$64-16x+x^2=36+x^2$，
消去$x^2$得：$64-16x=36$，
解得：$x=\frac{28}{16}=\frac{7}{4}$。
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
勾股定理；线段垂直平分线的性质；方程法解几何问题
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，核心是结合线段垂直平分线的性质完成相等线段的转化，再通过勾股定理建立方程求解，体现了数形结合和方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据Rt△ABC的直角边AB和斜边AC，利用勾股定理先求出BC的长度；再结合线段垂直平分线的性质得到EA=EC，将线段EC转化为EA，此时可设BE的长为x，用含x的式子表示出AE的长度；最后在Rt△ABE中再次利用勾股定理列方程，求解即可得到BE的长度。
【解析】
∵ 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=10，
∴ 根据勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
∵ ED是AC的垂直平分线，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，得$EC=EA$。
设$BE=x$，则$AE=CE=BC-BE=8-x$。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AE^2=AB^2+BE^2$，
代入得：$(8-x)^2=6^2+x^2$，
展开整理：$64-16x+x^2=36+x^2$，
消去$x^2$得：$64-16x=36$，
解得：$x=\frac{28}{16}=\frac{7}{4}$。
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
勾股定理；线段垂直平分线的性质；方程法解几何问题
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，核心是结合线段垂直平分线的性质完成相等线段的转化，再通过勾股定理建立方程求解，体现了数形结合和方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5$，$BC=4$，$BP$是$△ ABC$的角平分线，则$AP$的长为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
4. $\frac{5}{3}$ 解析:如图,过点P作PH⊥AB于点H. 在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4,
∴AC=√(AB²-BC²)=√(5²-4²)=3.
∵BP平分∠CBA,PH⊥AB,PC⊥CB,
∴PC=PH,设PC=PH=x. 在Rt△PCB和Rt△PHB中,
$\begin{cases}BP=BP,\\PC=PH,\end{cases}$
∴Rt△PCB≌Rt△PHB(HL),
∴BC=BH=4,
∴AH=5-4=1. 在Rt△HAP中,AP²=AH²+PH²,
∴(3-x)²=x²+1²,解得x=$\frac{4}{3}$,
∴AP=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$.
解析
【分析】
遇到直角三角形已知两边的情况，首先利用勾股定理求出第三边AC的长度；题目给出BP是角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点P作PH⊥AB于H，可得PC=PH；接下来可证Rt△PCB和Rt△PHB全等，得到BH=BC，进而求出AH的长度；最后设PC=PH=x，将AP用含x的式子表示，在Rt△AHP中利用勾股定理列方程求解x，即可算出AP的长度。
【解析】
解：过点P作PH⊥AB于点H。
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，
∴由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵BP平分∠CBA，PH⊥AB，PC⊥CB，
∴根据角平分线的性质得$PC=PH$，设$PC=PH=x$。
在Rt△PCB和Rt△PHB中：
$\begin{cases} BP=BP \\ PC=PH \end{cases}$
∴Rt△PCB≌Rt△PHB（HL），
∴$BC=BH=4$，
∴$AH=AB-BH=5-4=1$。
在Rt△HAP中，$AP=AC-PC=3-x$，由勾股定理得$AP^2=AH^2+PH^2$，
代入得$(3-x)^2=x^2+1^2$，
展开整理得$9-6x=1$，
解得$x=\frac{4}{3}$，
∴$AP=3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，直角三角形全等判定
【点评】
本题是几何综合基础题，通过作辅助线构造全等三角形与直角三角形，结合方程思想求解线段长度，解题的关键是熟练运用角平分线的性质添加合适的辅助线，掌握勾股定理在直角三角形边长计算中的应用。
【难度系数】
0.7
遇到直角三角形已知两边的情况，首先利用勾股定理求出第三边AC的长度；题目给出BP是角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点P作PH⊥AB于H，可得PC=PH；接下来可证Rt△PCB和Rt△PHB全等，得到BH=BC，进而求出AH的长度；最后设PC=PH=x，将AP用含x的式子表示，在Rt△AHP中利用勾股定理列方程求解x，即可算出AP的长度。
【解析】
解：过点P作PH⊥AB于点H。
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，
∴由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵BP平分∠CBA，PH⊥AB，PC⊥CB，
∴根据角平分线的性质得$PC=PH$，设$PC=PH=x$。
在Rt△PCB和Rt△PHB中：
$\begin{cases} BP=BP \\ PC=PH \end{cases}$
∴Rt△PCB≌Rt△PHB（HL），
∴$BC=BH=4$，
∴$AH=AB-BH=5-4=1$。
在Rt△HAP中，$AP=AC-PC=3-x$，由勾股定理得$AP^2=AH^2+PH^2$，
代入得$(3-x)^2=x^2+1^2$，
展开整理得$9-6x=1$，
解得$x=\frac{4}{3}$，
∴$AP=3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，直角三角形全等判定
【点评】
本题是几何综合基础题，通过作辅助线构造全等三角形与直角三角形，结合方程思想求解线段长度，解题的关键是熟练运用角平分线的性质添加合适的辅助线，掌握勾股定理在直角三角形边长计算中的应用。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=15$,$BC=14$,$AC=13$. 求这个三角形的面积.
答案
5. 如图,过点A作AD⊥BC于点D,设BD=x,则CD=14-x.
∵△ADB与△ACD均为直角三角形,
∴AB²-BD²=AD²=AC²-CD²,即15²-x²=13²-(14-x)²,解得x=9,
∴AD=√(AB²-BD²)=√(15²-9²)=12,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$ BC·AD=$\frac{1}{2}$×14×12=84.
解析
【分析】
已知三角形三边长度求面积，可选择已知长度的边BC作为底，只需算出BC边上的高即可求解。我们可以过点A作BC的垂线AD，得到两个共直角边AD的直角三角形，借助勾股定理可以分别用BD和CD表示AD的平方，设BD为未知数x，可用含x的式子表示CD，进而建立方程求出x的值，再计算高AD的长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=BC-BD=14-x。
∵△ADB与△ACD均为直角三角形，根据勾股定理可得：
$AD^2=AB^2-BD^2$，$AD^2=AC^2-CD^2$
∴$AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$，代入对应边长得：
$15^2-x^2=13^2-(14-x)^2$
展开计算：$225-x^2=169-(196-28x+x^2)$
化简得：$225=28x-27$，解得$x=9$
将x=9代入$AD^2=AB^2-BD^2$，得$AD^2=15^2-9^2=144$，即$AD=12$（边长为正，舍去负根）
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AD=\frac{1}{2} × 14 × 12=84$
【答案】
84
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，方程思想
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，通过作高构造直角三角形，利用公共边建立等量关系列方程求解，将几何计算转化为代数方程问题，解题的关键是合理设未知数找到两边平方相等的等量关系。
【难度系数】
0.7
已知三角形三边长度求面积，可选择已知长度的边BC作为底，只需算出BC边上的高即可求解。我们可以过点A作BC的垂线AD，得到两个共直角边AD的直角三角形，借助勾股定理可以分别用BD和CD表示AD的平方，设BD为未知数x，可用含x的式子表示CD，进而建立方程求出x的值，再计算高AD的长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=BC-BD=14-x。
∵△ADB与△ACD均为直角三角形，根据勾股定理可得：
$AD^2=AB^2-BD^2$，$AD^2=AC^2-CD^2$
∴$AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$，代入对应边长得：
$15^2-x^2=13^2-(14-x)^2$
展开计算：$225-x^2=169-(196-28x+x^2)$
化简得：$225=28x-27$，解得$x=9$
将x=9代入$AD^2=AB^2-BD^2$，得$AD^2=15^2-9^2=144$，即$AD=12$（边长为正，舍去负根）
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · AD=\frac{1}{2} × 14 × 12=84$
【答案】
84
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，方程思想
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，通过作高构造直角三角形，利用公共边建立等量关系列方程求解，将几何计算转化为代数方程问题，解题的关键是合理设未知数找到两边平方相等的等量关系。
【难度系数】
0.7
6. 如图,将长方形ABCD的边AD折叠,使点D落在边BC上的点F处,折痕为AE.已知$AB=6,BF=8$.
(1)求AF的长.
(2)求$△ EFC$的面积.
(1)求AF的长.
(2)求$△ EFC$的面积.
答案
6. (1)
∵四边形ABCD是长方形,
∴∠B=90°.
∵AB=6,BF=8,
∴AF=√(AB²+BF²)=√(6²+8²)=10.
(2)由折叠可知,AD=AF=10,
∴BC=AD=10,
∴FC=BC-BF=10-8=2. 在Rt△EFC中,FC²+EC²=EF²,
∴2²+EC²=(6-EC)²,解得EC=$\frac{8}{3}$,
∴△EFC的面积为$\frac{1}{2}$ FC·EC=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{3}$=$\frac{8}{3}$.
∵四边形ABCD是长方形,
∴∠B=90°.
∵AB=6,BF=8,
∴AF=√(AB²+BF²)=√(6²+8²)=10.
(2)由折叠可知,AD=AF=10,
∴BC=AD=10,
∴FC=BC-BF=10-8=2. 在Rt△EFC中,FC²+EC²=EF²,
∴2²+EC²=(6-EC)²,解得EC=$\frac{8}{3}$,
∴△EFC的面积为$\frac{1}{2}$ FC·EC=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{3}$=$\frac{8}{3}$.
解析
【分析】
(1)求AF的长时，观察到AF是Rt△ABF的斜边，已知长方形的∠B为直角，且AB、BF的长度已知，直接利用勾股定理即可求出AF的长度。
(2)求△EFC的面积时，首先根据折叠的性质可得折叠后对应边AD=AF，结合长方形对边相等得到BC的长度，进而求出FC的长度；再根据折叠可知EF=DE，而DE+EC=DC=AB=6，因此可设EC的长度为x，将EF用含x的式子表示，在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求出EC的长度，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，
在Rt△ABF中，AB=6，BF=8，
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
(2)由折叠的性质可知，AD=AF=10，
∵四边形ABCD是长方形，
∴BC=AD=10，DC=AB=6，
∴$FC=BC-BF=10-8=2$，
设$EC=x$，则$EF=DE=DC-EC=6-x$，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：$FC^2+EC^2=EF^2$，
代入得：$2^2+x^2=(6-x)^2$，
展开化简解得：$x=\frac{8}{3}$，即$EC=\frac{8}{3}$，
∴△EFC的面积为：$\frac{1}{2}×FC×EC=\frac{1}{2}×2×\frac{8}{3}=\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) $AF=10$
(2) $△ EFC$的面积为$\frac{8}{3}$
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的基础题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，找到直角三角形中边长的数量关系，通过列方程求解未知边长，进而解决面积计算问题，需要学生熟练掌握直角三角形及图形变换的相关性质。
【难度系数】
0.7
(1)求AF的长时，观察到AF是Rt△ABF的斜边，已知长方形的∠B为直角，且AB、BF的长度已知，直接利用勾股定理即可求出AF的长度。
(2)求△EFC的面积时，首先根据折叠的性质可得折叠后对应边AD=AF，结合长方形对边相等得到BC的长度，进而求出FC的长度；再根据折叠可知EF=DE，而DE+EC=DC=AB=6，因此可设EC的长度为x，将EF用含x的式子表示，在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求出EC的长度，最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，
在Rt△ABF中，AB=6，BF=8，
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
(2)由折叠的性质可知，AD=AF=10，
∵四边形ABCD是长方形，
∴BC=AD=10，DC=AB=6，
∴$FC=BC-BF=10-8=2$，
设$EC=x$，则$EF=DE=DC-EC=6-x$，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：$FC^2+EC^2=EF^2$，
代入得：$2^2+x^2=(6-x)^2$，
展开化简解得：$x=\frac{8}{3}$，即$EC=\frac{8}{3}$，
∴△EFC的面积为：$\frac{1}{2}×FC×EC=\frac{1}{2}×2×\frac{8}{3}=\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) $AF=10$
(2) $△ EFC$的面积为$\frac{8}{3}$
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的基础题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，找到直角三角形中边长的数量关系，通过列方程求解未知边长，进而解决面积计算问题，需要学生熟练掌握直角三角形及图形变换的相关性质。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BCA=90°,AB=5$,以直角三角形的三边为直径,向外作半圆,其面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$,则$S_1+S_2+S_3$的值为 （
A.$25π$
B.$9π$
C.$\dfrac{25π}{4}$
D.$\dfrac{25π}{2}$
C
）A.$25π$
B.$9π$
C.$\dfrac{25π}{4}$
D.$\dfrac{25π}{2}$
答案
7. C 解析:设Rt△ABC的三边AB、CA、BC的长分别为c、b、a,则c²=a²+b².
∵S₃=$\frac{1}{8}$ πc²=$\frac{1}{8}$×5²π=$\frac{25π}{8}$,S₁=$\frac{1}{8}$ πa²,S₂=$\frac{1}{8}$ πb²,
∴S₁+S₂=$\frac{1}{8}$ πa²+$\frac{1}{8}$ πb²=$\frac{1}{8}$ πc²=S₃,
∴S₁+S₂+S₃=2S₃=2×$\frac{25π}{8}$=$\frac{25π}{4}$.
∵S₃=$\frac{1}{8}$ πc²=$\frac{1}{8}$×5²π=$\frac{25π}{8}$,S₁=$\frac{1}{8}$ πa²,S₂=$\frac{1}{8}$ πb²,
∴S₁+S₂=$\frac{1}{8}$ πa²+$\frac{1}{8}$ πb²=$\frac{1}{8}$ πc²=S₃,
∴S₁+S₂+S₃=2S₃=2×$\frac{25π}{8}$=$\frac{25π}{4}$.
解析
【分析】
解题时首先回忆半圆的面积计算公式，以及直角三角形的勾股定理。第一步先分别用直角三角形的三边长表示出三个半圆的面积$S_1$、$S_2$、$S_3$；第二步结合勾股定理中直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，推导得出$S_1$与$S_2$的和等于$S_3$；第三步代入斜边$AB$的长度计算出$S_3$，进而求出三个面积的总和即可。
【解析】
设$Rt△ ABC$的三边$BC$、$CA$、$AB$的长分别为$a$、$b$、$c$，由题意得$c=AB=5$，根据勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$。
根据半圆面积公式：
$S_1=\frac{1}{2}π(\frac{a}{2})^2=\frac{1}{8}πa^2$，
$S_2=\frac{1}{2}π(\frac{b}{2})^2=\frac{1}{8}πb^2$，
$S_3=\frac{1}{2}π(\frac{c}{2})^2=\frac{1}{8}πc^2=\frac{1}{8}π×5^2=\frac{25π}{8}$。
则$S_1+S_2=\frac{1}{8}πa^2+\frac{1}{8}πb^2=\frac{1}{8}π(a^2+b^2)=\frac{1}{8}πc^2=S_3$，
因此$S_1+S_2+S_3=S_3+S_3=2S_3=2×\frac{25π}{8}=\frac{25π}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算
【点评】
本题是勾股定理与圆面积公式的综合应用题型，解题的核心是利用勾股定理建立三个半圆面积的等量关系，无需分别求出两条直角边的长度即可计算结果，是勾股定理应用的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆半圆的面积计算公式，以及直角三角形的勾股定理。第一步先分别用直角三角形的三边长表示出三个半圆的面积$S_1$、$S_2$、$S_3$；第二步结合勾股定理中直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，推导得出$S_1$与$S_2$的和等于$S_3$；第三步代入斜边$AB$的长度计算出$S_3$，进而求出三个面积的总和即可。
【解析】
设$Rt△ ABC$的三边$BC$、$CA$、$AB$的长分别为$a$、$b$、$c$，由题意得$c=AB=5$，根据勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$。
根据半圆面积公式：
$S_1=\frac{1}{2}π(\frac{a}{2})^2=\frac{1}{8}πa^2$，
$S_2=\frac{1}{2}π(\frac{b}{2})^2=\frac{1}{8}πb^2$，
$S_3=\frac{1}{2}π(\frac{c}{2})^2=\frac{1}{8}πc^2=\frac{1}{8}π×5^2=\frac{25π}{8}$。
则$S_1+S_2=\frac{1}{8}πa^2+\frac{1}{8}πb^2=\frac{1}{8}π(a^2+b^2)=\frac{1}{8}πc^2=S_3$，
因此$S_1+S_2+S_3=S_3+S_3=2S_3=2×\frac{25π}{8}=\frac{25π}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算
【点评】
本题是勾股定理与圆面积公式的综合应用题型，解题的核心是利用勾股定理建立三个半圆面积的等量关系，无需分别求出两条直角边的长度即可计算结果，是勾股定理应用的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
