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6. 如图为一架秋千的示意图，当它静止时，踏板离地0.5 m，将它往前推3 m时，踏板离地1.5 m，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是 （
A.3 m
B.4 m
C.5 m
D.6 m
C
）A.3 m
B.4 m
C.5 m
D.6 m
答案
6. C 解析:设 OA=OB=x m. 由题意,得 BC=DE=3 m,CD=BE=1.5 m,
∴AC=CD−AD=1.5−0.5=1(m),OC=OA−AC=(x−1)m. 在Rt△OCB中,OC²+BC²=OB²,即(x−1)²+3²=x²,解得 x=5,则秋千的长度是 5 m.
∴AC=CD−AD=1.5−0.5=1(m),OC=OA−AC=(x−1)m. 在Rt△OCB中,OC²+BC²=OB²,即(x−1)²+3²=x²,解得 x=5,则秋千的长度是 5 m.
解析
【分析】
本题为勾股定理的实际应用题，解题时需先将秋千场景转化为几何模型：秋千绳索长度固定，向前推3m即水平位移为3m，踏板升高的高度可通过静止和推出后两次离地高度的差值求出，以此构造直角三角形。我们可设秋千绳索长度为未知数，用含未知数的式子表示直角三角形的各边长，再结合勾股定理列方程求解，即可得到秋千长度。
【解析】
设秋千的绳索长度$OA=OB=x\ \mathrm{m}$，
由题意得：推出后水平位移$BC=3\ \mathrm{m}$，推出后踏板离地高度为1.5m，静止时踏板离地高度为0.5m，
因此踏板升高的高度$AC=1.5-0.5=1\ \mathrm{m}$，
则竖直方向上剩余绳索长度$OC=OA-AC=(x-1)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ OCB$中，根据勾股定理可得$OC^2+BC^2=OB^2$，
代入得：$(x-1)^2+3^2=x^2$，
展开得：$x^2-2x+1+9=x^2$，
化简解得：$x=5$。
即秋千的长度为5m。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元一次方程求解；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的典型习题，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，准确梳理各边的数量关系，结合方程思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题为勾股定理的实际应用题，解题时需先将秋千场景转化为几何模型：秋千绳索长度固定，向前推3m即水平位移为3m，踏板升高的高度可通过静止和推出后两次离地高度的差值求出，以此构造直角三角形。我们可设秋千绳索长度为未知数，用含未知数的式子表示直角三角形的各边长，再结合勾股定理列方程求解，即可得到秋千长度。
【解析】
设秋千的绳索长度$OA=OB=x\ \mathrm{m}$，
由题意得：推出后水平位移$BC=3\ \mathrm{m}$，推出后踏板离地高度为1.5m，静止时踏板离地高度为0.5m，
因此踏板升高的高度$AC=1.5-0.5=1\ \mathrm{m}$，
则竖直方向上剩余绳索长度$OC=OA-AC=(x-1)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ OCB$中，根据勾股定理可得$OC^2+BC^2=OB^2$，
代入得：$(x-1)^2+3^2=x^2$，
展开得：$x^2-2x+1+9=x^2$，
化简解得：$x=5$。
即秋千的长度为5m。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元一次方程求解；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的典型习题，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，准确梳理各边的数量关系，结合方程思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在笔直的公路AB旁有一个城市书房C,点C到公路AB的距离$CD=80\ \mathrm{m},AC=100\ \mathrm{m},BC=300\ \mathrm{m}$. 一辆公交车以$3\ \mathrm{m/s}$的速度从A处向B处缓慢行驶.如果公交车鸣笛声会使以公交车为中心$170\ \mathrm{m}$范围内受到噪声影响,那么公交车至少保持
70
$\mathrm{s}$不鸣笛,才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响.答案
7. 70 解析:如图
,由题意可知,CE=170 m.∵∠CDE=90°,CD=80 m,
∴DE=√(CE²−CD²)=√(170²−80²)=150(m). 又
∵CD=80 m,AC=100 m,
∴AD=√(AC²−CD²)=√(100²−80²)=60(m),
∴AE=AD+DE=60+150=210(m),
∴t=210÷3=70(s),即公交车至少保持 70 s 不鸣笛才能使在城市书房 C 看书的读者不受鸣笛声影响.
解析
【分析】
要使城市书房C不受鸣笛声影响，需先确定公交车行驶过程中鸣笛会对C产生影响的路段范围：公交车从A向B行驶，A点到C的距离仅100m，小于170m的噪声影响范围，因此从A点开始就处于影响区内；接下来找到公交车行驶到刚好不影响C的临界位置E（此时CE=170m），通过勾股定理分别算出AD、DE的长度，得到需要不鸣笛的路段AE的总长度，再结合公交车速度即可算出最少不鸣笛的时间。
【解析】
解：由题意可知，当CE=170m时为鸣笛影响的临界位置，且CD⊥AB，即∠CDA=∠CDE=90°。
① 在Rt△ACD中，AC=100m，CD=80m，根据勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{100^2-80^2}=\sqrt{3600}=60\ \mathrm{m}$
② 在Rt△CDE中，CE=170m，CD=80m，根据勾股定理可得：
$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{170^2-80^2}=\sqrt{22500}=150\ \mathrm{m}$
③ 公交车从A到E路段行驶时鸣笛都会影响C，该路段总长度为：
$AE=AD+DE=60+150=210\ \mathrm{m}$
④ 已知公交车行驶速度为3m/s，因此最少不鸣笛的时间为：
$t=\frac{s}{v}=\frac{210}{3}=70\ \mathrm{s}$
【答案】
70
【知识点】
勾股定理，行程问题计算，临界状态分析
【点评】
本题结合生活中的噪声影响场景，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题核心是准确找到鸣笛影响的临界位置，明确需要管控的路段范围，能有效锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
要使城市书房C不受鸣笛声影响，需先确定公交车行驶过程中鸣笛会对C产生影响的路段范围：公交车从A向B行驶，A点到C的距离仅100m，小于170m的噪声影响范围，因此从A点开始就处于影响区内；接下来找到公交车行驶到刚好不影响C的临界位置E（此时CE=170m），通过勾股定理分别算出AD、DE的长度，得到需要不鸣笛的路段AE的总长度，再结合公交车速度即可算出最少不鸣笛的时间。
【解析】
解：由题意可知，当CE=170m时为鸣笛影响的临界位置，且CD⊥AB，即∠CDA=∠CDE=90°。
① 在Rt△ACD中，AC=100m，CD=80m，根据勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{100^2-80^2}=\sqrt{3600}=60\ \mathrm{m}$
② 在Rt△CDE中，CE=170m，CD=80m，根据勾股定理可得：
$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{170^2-80^2}=\sqrt{22500}=150\ \mathrm{m}$
③ 公交车从A到E路段行驶时鸣笛都会影响C，该路段总长度为：
$AE=AD+DE=60+150=210\ \mathrm{m}$
④ 已知公交车行驶速度为3m/s，因此最少不鸣笛的时间为：
$t=\frac{s}{v}=\frac{210}{3}=70\ \mathrm{s}$
【答案】
70
【知识点】
勾股定理，行程问题计算，临界状态分析
【点评】
本题结合生活中的噪声影响场景，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题核心是准确找到鸣笛影响的临界位置，明确需要管控的路段范围，能有效锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
8. 如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD的长分别为4、5、2，蚂蚁从点A出发沿长方体的表面爬行到点M的最短路程的平方是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
8. 61 解析:如图1
,AM²=AB²+BM²=4²+(5+2)²=65;如图2
,AM²=AC²+CM²=(4+5)²+2²=85;如图3
,AM²=5²+(2+4)²=61. 综上所述,蚂蚁从点 A 出发沿长方体的表面爬行到点 M 的最短路程的平方是 61.解析
【分析】
要解决长方体表面蚂蚁爬行的最短路程问题，核心思路是将长方体相邻的两个面展开到同一平面内，把立体路径转化为平面内两点之间的线段距离，根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理计算每种展开方式下的路径长度的平方，再比较所有结果，最小的就是所求的最短路程的平方。因为长方体有三组不同的相邻面组合，所以需要分三种情况分别计算。
【解析】
我们分三种展开方式计算AM的平方：
1. 按图1方式展开：两条直角边长度分别为$AB=4$，$BM=BC+BD=5+2=7$，由勾股定理得：
$\begin{aligned} AM^2 &= AB^2 + BM^2 \\ &= 4^2 + 7^2 \\ &= 16 + 49 = 65 \end{aligned}$
2. 按图2方式展开：两条直角边长度分别为$AC=AB+BC=4+5=9$，$CM=BD=2$，由勾股定理得：
$\begin{aligned} AM^2 &= AC^2 + CM^2 \\ &= 9^2 + 2^2 \\ &= 81 + 4 = 85 \end{aligned}$
3. 按图3方式展开：两条直角边长度分别为$BC=5$，另一条直角边为$AB+BD=4+2=6$，由勾股定理得：
$\begin{aligned} AM^2 &= 5^2 + 6^2 \\ &= 25 + 36 = 61 \end{aligned}$
比较三个结果可知$61＜65＜85$，因此最短路程的平方为61。
【答案】
61
【知识点】
勾股定理；最短路径问题；长方体表面展开
【点评】
本题解题的关键是将立体图形的路径问题转化为平面图形的线段长度问题，需要注意全面考虑所有可能的面展开方式，计算所有可能的路径长度后再比较得到最小值，避免因漏算展开方式导致错误。
【难度系数】
0.6
要解决长方体表面蚂蚁爬行的最短路程问题，核心思路是将长方体相邻的两个面展开到同一平面内，把立体路径转化为平面内两点之间的线段距离，根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理计算每种展开方式下的路径长度的平方，再比较所有结果，最小的就是所求的最短路程的平方。因为长方体有三组不同的相邻面组合，所以需要分三种情况分别计算。
【解析】
我们分三种展开方式计算AM的平方：
1. 按图1方式展开：两条直角边长度分别为$AB=4$，$BM=BC+BD=5+2=7$，由勾股定理得：
$\begin{aligned} AM^2 &= AB^2 + BM^2 \\ &= 4^2 + 7^2 \\ &= 16 + 49 = 65 \end{aligned}$
2. 按图2方式展开：两条直角边长度分别为$AC=AB+BC=4+5=9$，$CM=BD=2$，由勾股定理得：
$\begin{aligned} AM^2 &= AC^2 + CM^2 \\ &= 9^2 + 2^2 \\ &= 81 + 4 = 85 \end{aligned}$
3. 按图3方式展开：两条直角边长度分别为$BC=5$，另一条直角边为$AB+BD=4+2=6$，由勾股定理得：
$\begin{aligned} AM^2 &= 5^2 + 6^2 \\ &= 25 + 36 = 61 \end{aligned}$
比较三个结果可知$61＜65＜85$，因此最短路程的平方为61。
【答案】
61
【知识点】
勾股定理；最短路径问题；长方体表面展开
【点评】
本题解题的关键是将立体图形的路径问题转化为平面图形的线段长度问题，需要注意全面考虑所有可能的面展开方式，计算所有可能的路径长度后再比较得到最小值，避免因漏算展开方式导致错误。
【难度系数】
0.6
9. 由于大风，山坡上的一棵树甲从点 A 处被拦腰折断，如图所示，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部 C 处. 已知 $ AB=4 \ \mathrm{m}, BC=13 \ \mathrm{m} $，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为 $ 12 \ \mathrm{m} $，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度.
答案
9. 如图
,过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D. 由题意可得,BC=13 m,DC=12 m,∴BD=√(BC²−DC²)=√(13²−12²)=5(m),
∴AD=AB+BD=4+5=9(m),则 AC=√(AD²+CD²)=√(9²+12²)=15(m),
∴AC+AB=15+4=19(m). 答:这棵树原来的高度为 19 m.
解析
【分析】
要求这棵树原来的高度，实际就是求未折断部分AB与折断部分AC的长度和，所以核心是计算AC的长度。题中给出了水平距离、BC的长度等条件，需要转化到直角三角形中利用勾股定理计算，因此我们先过点C作AB延长线的垂线CD，构造出两个直角三角形：首先在Rt△BCD中用勾股定理算出BD的长度，得到AD的长度后，再在Rt△ACD中用勾股定理算出AC的长度，最后将AB与AC相加即可得到树的原高。
【解析】
过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D。
由题意得：BC=13m，两棵树的水平距离DC=12m，∠D=90°。
在Rt△BCD中，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{m}$
则$AD=AB+BD=4+5=9\ \mathrm{m}$
在Rt△ACD中，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$
因此树原来的高度为$AC+AB=15+4=19\ \mathrm{m}$
【答案】
9. 如图,过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D. 由题意可得,BC=13 m,DC=12 m,
∴BD=√(BC²−DC²)=√(13²−12²)=5(m),
∴AD=AB+BD=4+5=9(m),则 AC=√(AD²+CD²)=√(9²+12²)=15(m),
∴AC+AB=15+4=19(m). 答:这棵树原来的高度为 19 m.
【知识点】
勾股定理；直角三角形构造；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的典型题型，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将实际场景中的已知条件转化为直角三角形的边长，再分步利用勾股定理计算，考查了几何建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
要求这棵树原来的高度，实际就是求未折断部分AB与折断部分AC的长度和，所以核心是计算AC的长度。题中给出了水平距离、BC的长度等条件，需要转化到直角三角形中利用勾股定理计算，因此我们先过点C作AB延长线的垂线CD，构造出两个直角三角形：首先在Rt△BCD中用勾股定理算出BD的长度，得到AD的长度后，再在Rt△ACD中用勾股定理算出AC的长度，最后将AB与AC相加即可得到树的原高。
【解析】
过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D。
由题意得：BC=13m，两棵树的水平距离DC=12m，∠D=90°。
在Rt△BCD中，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{m}$
则$AD=AB+BD=4+5=9\ \mathrm{m}$
在Rt△ACD中，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$
因此树原来的高度为$AC+AB=15+4=19\ \mathrm{m}$
【答案】
9. 如图
,过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D. 由题意可得,BC=13 m,DC=12 m,∴BD=√(BC²−DC²)=√(13²−12²)=5(m),
∴AD=AB+BD=4+5=9(m),则 AC=√(AD²+CD²)=√(9²+12²)=15(m),
∴AC+AB=15+4=19(m). 答:这棵树原来的高度为 19 m.
【知识点】
勾股定理；直角三角形构造；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的典型题型，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将实际场景中的已知条件转化为直角三角形的边长，再分步利用勾股定理计算，考查了几何建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图,高速公路的同侧有A、B两个村庄,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为$AA_{1}=2\ \mathrm{km},BB_{1}=4\ \mathrm{km},A_{1}B_{1}=8\ \mathrm{km}.$现要在高速公路上$A_{1}B_{1}$之间设一个出口P,使A、B两个村庄到P的距离之和最小,则这个最小距离之和是多少千米？
答案
10. 如图
,作点 B 关于 MN 对称的点 B',连接 AB' 交 A₁B₁ 于点 P,则 B'B₁=BB₁=4 km,AP+BP=AP+B'P=AB',∴P 即为到A、B距离之和最小的点. 过点 A 作 AE⊥BB' 于点 E,则 B₁E=AA₁=2 km,AE=A₁B₁=8 km,
∴B'E=B₁E+B'B₁=2+4=6(km). 在Rt△AEB'中,AB'=√(AE²+B'E²)=√(8²+6²)=10(km),
∴这个最小距离之和是 10 km.
解析
【分析】
本题为最短路径的实际应用问题，解题思路如下：首先根据“两点之间线段最短”的原理，利用轴对称将同侧的A、B两点转化为异侧点：作点B关于直线MN的对称点B'，由轴对称性质可得MN上任意点到B和B'的距离相等，因此BP=B'P，此时AP+BP可转化为AP+B'P，当A、P、B'三点共线时，AP+B'P取得最小值，即为线段AB'的长度。接下来构造直角三角形，利用勾股定理计算AB'的长度即可得到最小距离之和。
【解析】
1. 作点B关于MN对称的点B'，连接AB'交A₁B₁于点P。根据轴对称的性质，B'B₁=BB₁=4km，且BP=B'P，因此AP+BP=AP+B'P=AB'，此时点P就是使A、B两个村庄到P的距离之和最小的点。
2. 过点A作AE⊥BB'，垂足为E，易知四边形AA₁B₁E为矩形，因此B₁E=AA₁=2km，AE=A₁B₁=8km。
3. 计算B'E的长度：B'E = B₁E + B'B₁ = 2 + 4 = 6(km)。
4. 在Rt△AEB'中，根据勾股定理可得：
AB' = √(AE² + B'E²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10(km)。
即A、B两个村庄到P的最小距离之和为10km。
【答案】
如图,作点 B 关于 MN 对称的点 B',连接 AB' 交 A₁B₁ 于点 P,则 B'B₁=BB₁=4 km,AP+BP=AP+B'P=AB',
∴P 即为到A、B距离之和最小的点. 过点 A 作 AE⊥BB' 于点 E,则 B₁E=AA₁=2 km,AE=A₁B₁=8 km,
∴B'E=B₁E+B'B₁=2+4=6(km). 在Rt△AEB'中,AB'=√(AE²+B'E²)=√(8²+6²)=10(km),
∴这个最小距离之和是 10 km.
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用
【点评】
本题将轴对称的最短路径模型与勾股定理相结合，属于常见的几何实际应用题型。解题的核心是通过对称变换完成线段的转化，将动态的线段和最值问题转化为静态的线段长度计算，再构造直角三角形利用勾股定理求解，对学生的知识综合运用能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
本题为最短路径的实际应用问题，解题思路如下：首先根据“两点之间线段最短”的原理，利用轴对称将同侧的A、B两点转化为异侧点：作点B关于直线MN的对称点B'，由轴对称性质可得MN上任意点到B和B'的距离相等，因此BP=B'P，此时AP+BP可转化为AP+B'P，当A、P、B'三点共线时，AP+B'P取得最小值，即为线段AB'的长度。接下来构造直角三角形，利用勾股定理计算AB'的长度即可得到最小距离之和。
【解析】
1. 作点B关于MN对称的点B'，连接AB'交A₁B₁于点P。根据轴对称的性质，B'B₁=BB₁=4km，且BP=B'P，因此AP+BP=AP+B'P=AB'，此时点P就是使A、B两个村庄到P的距离之和最小的点。
2. 过点A作AE⊥BB'，垂足为E，易知四边形AA₁B₁E为矩形，因此B₁E=AA₁=2km，AE=A₁B₁=8km。
3. 计算B'E的长度：B'E = B₁E + B'B₁ = 2 + 4 = 6(km)。
4. 在Rt△AEB'中，根据勾股定理可得：
AB' = √(AE² + B'E²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10(km)。
即A、B两个村庄到P的最小距离之和为10km。
【答案】
如图
,作点 B 关于 MN 对称的点 B',连接 AB' 交 A₁B₁ 于点 P,则 B'B₁=BB₁=4 km,AP+BP=AP+B'P=AB',∴P 即为到A、B距离之和最小的点. 过点 A 作 AE⊥BB' 于点 E,则 B₁E=AA₁=2 km,AE=A₁B₁=8 km,
∴B'E=B₁E+B'B₁=2+4=6(km). 在Rt△AEB'中,AB'=√(AE²+B'E²)=√(8²+6²)=10(km),
∴这个最小距离之和是 10 km.
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用
【点评】
本题将轴对称的最短路径模型与勾股定理相结合，属于常见的几何实际应用题型。解题的核心是通过对称变换完成线段的转化，将动态的线段和最值问题转化为静态的线段长度计算，再构造直角三角形利用勾股定理求解，对学生的知识综合运用能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
