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1. (教材练习变式)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,三个正方形中的两个面积分别为25和44,则第三个正方形的面积为 （
A.69
B.18
C.19
D.20
C
）A.69
B.18
C.19
D.20
答案
1. C 解析:由题意,得$AB^2=BC^2+AC^2$,即$44=BC^2+25$,
$\therefore BC^2=19$,即第三个正方形的面积为19.
$\therefore BC^2=19$,即第三个正方形的面积为19.
解析
【分析】
解题时首先要明确正方形的面积等于其边长的平方，结合题中△ABC是直角三角形的条件，想到可以用勾股定理建立三个正方形面积之间的关系：两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。观察已知的两个面积，判断出44是斜边对应正方形的面积，25是其中一条直角边对应正方形的面积，代入关系即可求出第三个正方形的面积。
【解析】
设面积为25的正方形边长为AC，面积为44的正方形边长为AB，第三个正方形的边长为BC。
∵△ABC中，∠ACB=90°，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
又
∵正方形的面积等于边长的平方，即$AC^2=25$，$AB^2=44$，代入上式得：
$25 + BC^2 = 44$
解得$BC^2=44-25=19$，即第三个正方形的面积为19。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 勾股定理
2. 正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是将正方形的面积和直角三角形三边的平方建立对应关系，无需计算边长，直接利用勾股定理的平方关系求解即可，是勾股定理章节的常见基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确正方形的面积等于其边长的平方，结合题中△ABC是直角三角形的条件，想到可以用勾股定理建立三个正方形面积之间的关系：两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。观察已知的两个面积，判断出44是斜边对应正方形的面积，25是其中一条直角边对应正方形的面积，代入关系即可求出第三个正方形的面积。
【解析】
设面积为25的正方形边长为AC，面积为44的正方形边长为AB，第三个正方形的边长为BC。
∵△ABC中，∠ACB=90°，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
又
∵正方形的面积等于边长的平方，即$AC^2=25$，$AB^2=44$，代入上式得：
$25 + BC^2 = 44$
解得$BC^2=44-25=19$，即第三个正方形的面积为19。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 勾股定理
2. 正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是将正方形的面积和直角三角形三边的平方建立对应关系，无需计算边长，直接利用勾股定理的平方关系求解即可，是勾股定理章节的常见基础题。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$中,已知$AB=AC=5\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,则边$AB$上的高为 （
A.$2.4\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$3.6\ \mathrm{cm}$
D.$4.8\ \mathrm{cm}$
D
）A.$2.4\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$3.6\ \mathrm{cm}$
D.$4.8\ \mathrm{cm}$
答案
2. D 解析:如图,过点 A 作$AD⊥ BC$于点 D,过点 C 作$CE⊥ BA$交 BA 的延长线于点 E.$\because AB=AC=5\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm},AD⊥ BC,\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=4\ \mathrm{cm},\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{cm}).$
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}AB· CE,\therefore CE=\frac{BC· AD}{AB}=\frac{8× 3}{5}=\frac{24}{5}=4.8(\mathrm{cm}).$
解析
【分析】
本题要求AB边上的高，首先观察到△ABC是等腰三角形，可先利用等腰三角形三线合一的性质作出BC边上的高AD，结合勾股定理求出AD的长度，得到△ABC的面积；再利用三角形面积的两种计算方式（分别以BC、AB为底计算面积），通过等面积法即可求出AB边上的高CE的长度。
【解析】
解：如图，过点A作$AD⊥ BC$于点D，过点C作$CE⊥ BA$交BA的延长线于点E。
$\because AB=AC=5\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm},AD⊥ BC$，
$\therefore$ 由等腰三角形三线合一的性质可得 $BD=CD=\frac{1}{2}BC=4\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{cm})$。
$\because$ 三角形面积可表示为 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，也可表示为 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CE$，
$\therefore \frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}AB· CE$，
化简得 $CE=\frac{BC· AD}{AB}=\frac{8× 3}{5}=\frac{24}{5}=4.8(\mathrm{cm})$，即边AB上的高为4.8cm。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、等面积法求高
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查学生对等腰三角形性质、勾股定理的掌握情况，以及对等面积法的灵活运用能力，解题关键是通过面积的两种表达形式建立待求高与已知线段的关系。
【难度系数】
0.7
本题要求AB边上的高，首先观察到△ABC是等腰三角形，可先利用等腰三角形三线合一的性质作出BC边上的高AD，结合勾股定理求出AD的长度，得到△ABC的面积；再利用三角形面积的两种计算方式（分别以BC、AB为底计算面积），通过等面积法即可求出AB边上的高CE的长度。
【解析】
解：如图，过点A作$AD⊥ BC$于点D，过点C作$CE⊥ BA$交BA的延长线于点E。
$\because AB=AC=5\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm},AD⊥ BC$，
$\therefore$ 由等腰三角形三线合一的性质可得 $BD=CD=\frac{1}{2}BC=4\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{cm})$。
$\because$ 三角形面积可表示为 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，也可表示为 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CE$，
$\therefore \frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}AB· CE$，
化简得 $CE=\frac{BC· AD}{AB}=\frac{8× 3}{5}=\frac{24}{5}=4.8(\mathrm{cm})$，即边AB上的高为4.8cm。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、等面积法求高
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查学生对等腰三角形性质、勾股定理的掌握情况，以及对等面积法的灵活运用能力，解题关键是通过面积的两种表达形式建立待求高与已知线段的关系。
【难度系数】
0.7
3. (1)在$△ ABC$中，$∠ C=90°$. 若$c=13$，$b=12$，则$a=$
5
.答案
3.(1)5 解析:由题意,得$a^2+b^2=c^2$,$\therefore a^2=c^2-b^2=13^2-12^2=25$,$\therefore a=5$(负值已舍去).
解析
【分析】
首先观察题目，已知△ABC是直角三角形，且∠C=90°，因此∠C所对的边c是斜边，已知斜边c和直角边b，要求另一条直角边a，可直接运用勾股定理求解。解题步骤为：第一步明确直角三角形的斜边和直角边，第二步代入勾股定理公式变形求a²，第三步结合边长为正数的实际意义，开方取正值得到a的结果。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ △ABC是直角三角形，c为斜边，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$，
将c=13，b=12代入，得：
$a^2 = c^2 - b^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$，
∵ a是三角形的边长，为正数，
∴ $a = \sqrt{25} = 5$（负值舍去）。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，主要考查直角三角形中已知两边求第三边的计算，解题时需先确定斜边，避免公式套用错误，同时要结合实际意义舍去不合理的负根。
【难度系数】
0.9
首先观察题目，已知△ABC是直角三角形，且∠C=90°，因此∠C所对的边c是斜边，已知斜边c和直角边b，要求另一条直角边a，可直接运用勾股定理求解。解题步骤为：第一步明确直角三角形的斜边和直角边，第二步代入勾股定理公式变形求a²，第三步结合边长为正数的实际意义，开方取正值得到a的结果。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ △ABC是直角三角形，c为斜边，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$，
将c=13，b=12代入，得：
$a^2 = c^2 - b^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$，
∵ a是三角形的边长，为正数，
∴ $a = \sqrt{25} = 5$（负值舍去）。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，主要考查直角三角形中已知两边求第三边的计算，解题时需先确定斜边，避免公式套用错误，同时要结合实际意义舍去不合理的负根。
【难度系数】
0.9
(2)一个直角三角形的两边长分别是1和$\sqrt{3}$，则第三边长为
2或$\sqrt{2}$
.答案
3.(2)2或$\sqrt{2}$ 解析:分两种情况讨论:①当斜边长为$\sqrt{3}$时,第三边长为$\sqrt{(\sqrt{3})^2-1^2}=\sqrt{2}$;②当两条直角边长分别为 1 和$\sqrt{3}$时,第三边长为$\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$.综上所述,第三边长为 2 或$\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题是直角三角形边长求解问题，应用勾股定理解题时，首先要注意题目未明确已知的两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①已知的$\sqrt{3}$为斜边长，此时第三边为直角边；②已知的1和$\sqrt{3}$均为直角边，此时第三边为斜边长。分别根据勾股定理列式计算即可得到第三边的长度，注意不要漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
①当斜边长为$\sqrt{3}$时，第三边为直角边，根据勾股定理，第三边长为$\sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2}$；
②当两条直角边长分别为1和$\sqrt{3}$时，第三边为斜边，根据勾股定理，第三边长为$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$。
综上所述，第三边长为2或$\sqrt{2}$。
【答案】
2或$\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略未明确边长的属性，只计算一种情况导致漏解，解题时可结合直角三角形斜边最长的特点判断分类的合理性，能有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
本题是直角三角形边长求解问题，应用勾股定理解题时，首先要注意题目未明确已知的两条边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①已知的$\sqrt{3}$为斜边长，此时第三边为直角边；②已知的1和$\sqrt{3}$均为直角边，此时第三边为斜边长。分别根据勾股定理列式计算即可得到第三边的长度，注意不要漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
①当斜边长为$\sqrt{3}$时，第三边为直角边，根据勾股定理，第三边长为$\sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2}$；
②当两条直角边长分别为1和$\sqrt{3}$时，第三边为斜边，根据勾股定理，第三边长为$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$。
综上所述，第三边长为2或$\sqrt{2}$。
【答案】
2或$\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略未明确边长的属性，只计算一种情况导致漏解，解题时可结合直角三角形斜边最长的特点判断分类的合理性，能有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
4. 若一直角三角形三边长的平方和为1800，则它的斜边长为
30
.答案
4. 30 解析:设直角三角形的两直角边长分别为$a$、$b$,斜边长为$c$,则有$a^2+b^2=c^2$.$\because a^2+b^2+c^2=1\ 800$,$\therefore 2c^2=1\ 800$,即$c^2=900$,$\therefore c=30$(负值已舍去).
解析
【分析】
遇到直角三角形边长相关的问题，首先联想到勾股定理。本题已知直角三角形三边长的平方和，我们可以先设出两直角边和斜边的长度，先写出勾股定理的关系式，再将其代入三边长平方和的条件中，通过等量替换消去两直角边的平方项，得到仅含有斜边平方的方程，求解后舍去不符合边长为正的解，即可得到斜边长。
【解析】
设直角三角形的两直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
已知三边长的平方和为1800，即$a^2 + b^2 + c^2 = 1800$，将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式得：
$c^2 + c^2 = 1800$
即$2c^2 = 1800$，化简得$c^2 = 900$。
因为三角形边长为正数，所以$c = 30$（负值已舍去）。
【答案】
30
【知识点】
勾股定理，代入求值
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题目，解题核心是利用勾股定理完成等量替换，将未知量统一为斜边，降低计算难度，属于对基础概念的考查，熟练掌握勾股定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
遇到直角三角形边长相关的问题，首先联想到勾股定理。本题已知直角三角形三边长的平方和，我们可以先设出两直角边和斜边的长度，先写出勾股定理的关系式，再将其代入三边长平方和的条件中，通过等量替换消去两直角边的平方项，得到仅含有斜边平方的方程，求解后舍去不符合边长为正的解，即可得到斜边长。
【解析】
设直角三角形的两直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
已知三边长的平方和为1800，即$a^2 + b^2 + c^2 = 1800$，将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式得：
$c^2 + c^2 = 1800$
即$2c^2 = 1800$，化简得$c^2 = 900$。
因为三角形边长为正数，所以$c = 30$（负值已舍去）。
【答案】
30
【知识点】
勾股定理，代入求值
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题目，解题核心是利用勾股定理完成等量替换，将未知量统一为斜边，降低计算难度，属于对基础概念的考查，熟练掌握勾股定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 在一个直角三角形中,已知一条直角边的长是 3 cm,斜边上的中线长为 2.5 cm,则这个直角三角形的面积为 $\underline{\hspace{5em}}$ cm².
答案
5. 6 解析:$\because$直角三角形斜边上的中线长为 2.5 cm,$\therefore$斜边长为$2× 2.5=5(\mathrm{cm})$.$\because$一条直角边的长为 3 cm,$\therefore$可得另一条直角边的长为$\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{cm})$,$\therefore$这个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}× 3× 4=6(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“直角三角形、斜边上的中线长为2.5cm”入手，回忆直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，先求出斜边的长度；要求直角三角形的面积，已知一条直角边的长度，还需要求出另一条直角边的长度，此时结合已求出的斜边长度，利用勾股定理即可算出另一条直角边的长度；最后代入直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 直角三角形斜边上的中线长为2.5 cm，
∴ 斜边长为 $2×2.5=5\ \mathrm{cm}$。
已知一条直角边长为3 cm，根据勾股定理，另一条直角边的长为：
$\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$
则这个直角三角形的面积为：
$\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
6
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形性质应用的基础题型，将斜边中线性质与勾股定理结合考查，解题时只要理顺条件对应的定理，按步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“直角三角形、斜边上的中线长为2.5cm”入手，回忆直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，先求出斜边的长度；要求直角三角形的面积，已知一条直角边的长度，还需要求出另一条直角边的长度，此时结合已求出的斜边长度，利用勾股定理即可算出另一条直角边的长度；最后代入直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 直角三角形斜边上的中线长为2.5 cm，
∴ 斜边长为 $2×2.5=5\ \mathrm{cm}$。
已知一条直角边长为3 cm，根据勾股定理，另一条直角边的长为：
$\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$
则这个直角三角形的面积为：
$\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
6
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形性质应用的基础题型，将斜边中线性质与勾股定理结合考查，解题时只要理顺条件对应的定理，按步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$AC=9$,$BC=12$,则点 $C$ 到 $AB$ 的距离 $CD=$ ______.
答案
6. $\frac{36}{5}$ 解析:$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°,BC=12,AC=9$,$\therefore AB^2=AC^2+BC^2=9^2+12^2=225$,$\therefore AB=15$(负值已舍去).又$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$,$\therefore CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{9× 12}{15}=\frac{36}{5}$.
解析
【分析】
要计算点C到AB的距离CD，本质是求Rt△ABC斜边AB上的高。解题思路可分为两步：第一步，已知直角三角形两条直角边AC、BC的长度，先用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步，直角三角形的面积有两种计算方式，一是两直角边乘积的一半，二是斜边乘斜边上高的一半，两种方式计算的面积相等，据此列等式即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=9$，$BC=12$，
∴由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225$，
∴$AB=15$（线段长度为正，舍去负值）。
∵三角形面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$，
∴$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，约去$\frac{1}{2}$可得$AC· BC=AB· CD$，
代入数值计算得：$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{9× 12}{15}=\frac{36}{5}$。
【答案】
$\frac{36}{5}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积公式，点到直线的距离
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题型，核心考查面积法的灵活运用，通过同一三角形面积的两种不同表达形式建立等量关系，是求直角三角形斜边上高的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要计算点C到AB的距离CD，本质是求Rt△ABC斜边AB上的高。解题思路可分为两步：第一步，已知直角三角形两条直角边AC、BC的长度，先用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步，直角三角形的面积有两种计算方式，一是两直角边乘积的一半，二是斜边乘斜边上高的一半，两种方式计算的面积相等，据此列等式即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=9$，$BC=12$，
∴由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225$，
∴$AB=15$（线段长度为正，舍去负值）。
∵三角形面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$，
∴$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，约去$\frac{1}{2}$可得$AC· BC=AB· CD$，
代入数值计算得：$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{9× 12}{15}=\frac{36}{5}$。
【答案】
$\frac{36}{5}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积公式，点到直线的距离
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题型，核心考查面积法的灵活运用，通过同一三角形面积的两种不同表达形式建立等量关系，是求直角三角形斜边上高的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在$△ ABC$中,$AD\bot BC$,交$BC$于点$D$,$AB=17$,$AC=10$.
(1)若$CD=6$,则$AD=$
(2)若$BC=20$,求$CD$的长.
(1)若$CD=6$,则$AD=$
8
,$BD=$15
.(2)若$BC=20$,求$CD$的长.
答案
7.(1)8 15 解析:$\because AD⊥ BC$,$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$.$\because AB=17,AC=10,CD=6$,$\therefore AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15$.
(2)设$CD=x$,则$BD=20-x$.$\because AC^2-CD^2=AD^2$,$AB^2-BD^2=AD^2$,$\therefore AC^2-CD^2=AB^2-BD^2$,即$10^2-x^2=17^2-(20-x)^2$,解得$x=\frac{211}{40}$,$\therefore CD=\frac{211}{40}$.
(2)设$CD=x$,则$BD=20-x$.$\because AC^2-CD^2=AD^2$,$AB^2-BD^2=AD^2$,$\therefore AC^2-CD^2=AB^2-BD^2$,即$10^2-x^2=17^2-(20-x)^2$,解得$x=\frac{211}{40}$,$\therefore CD=\frac{211}{40}$.
解析
【分析】
（1）由$AD\bot BC$可得$△ ADB$和$△ ADC$都是直角三角形，先在$Rt△ ADC$中，已知斜边$AC$和直角边$CD$，用勾股定理求出$AD$的长度，再在$Rt△ ADB$中，已知斜边$AB$和求出的直角边$AD$，再次用勾股定理求出$BD$的长度。
（2）已知$BC$总长为20，设$CD$的长为$x$，则$BD$的长为$20-x$，$AD$是两个直角三角形的公共边，因此根据勾股定理，分别用两个直角三角形的边长表示$AD^2$，两者相等即可列出关于$x$的一元一次方程，解方程即可得到$CD$的长度。
【解析】
(1) $\because AD\bot BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ ADC$中，$AC=10$，$CD=6$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
在$Rt△ ADB$中，$AB=17$，$AD=8$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15$。
(2) 设$CD=x$，则$BD=BC-CD=20-x$。
$\because$ 在$Rt△ ADC$中，$AD^2=AC^2-CD^2$，在$Rt△ ADB$中，$AD^2=AB^2-BD^2$，
$\therefore AC^2-CD^2=AB^2-BD^2$，
代入数据得：$10^2-x^2=17^2-(20-x)^2$，
展开计算：$100-x^2=289-(400-40x+x^2)$，
化简得：$100=-111+40x$，
解得：$x=\frac{211}{40}$，即$CD$的长为$\frac{211}{40}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{15}$；(2) $\boldsymbol{\frac{211}{40}}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 等量代换
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，既考查了直角三角形中直接利用勾股定理求边长的能力，也考查了数形结合思想，通过公共边建立等量关系列方程求解未知边长的方法，掌握勾股定理的公式和方程思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）由$AD\bot BC$可得$△ ADB$和$△ ADC$都是直角三角形，先在$Rt△ ADC$中，已知斜边$AC$和直角边$CD$，用勾股定理求出$AD$的长度，再在$Rt△ ADB$中，已知斜边$AB$和求出的直角边$AD$，再次用勾股定理求出$BD$的长度。
（2）已知$BC$总长为20，设$CD$的长为$x$，则$BD$的长为$20-x$，$AD$是两个直角三角形的公共边，因此根据勾股定理，分别用两个直角三角形的边长表示$AD^2$，两者相等即可列出关于$x$的一元一次方程，解方程即可得到$CD$的长度。
【解析】
(1) $\because AD\bot BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$Rt△ ADC$中，$AC=10$，$CD=6$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
在$Rt△ ADB$中，$AB=17$，$AD=8$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15$。
(2) 设$CD=x$，则$BD=BC-CD=20-x$。
$\because$ 在$Rt△ ADC$中，$AD^2=AC^2-CD^2$，在$Rt△ ADB$中，$AD^2=AB^2-BD^2$，
$\therefore AC^2-CD^2=AB^2-BD^2$，
代入数据得：$10^2-x^2=17^2-(20-x)^2$，
展开计算：$100-x^2=289-(400-40x+x^2)$，
化简得：$100=-111+40x$，
解得：$x=\frac{211}{40}$，即$CD$的长为$\frac{211}{40}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{15}$；(2) $\boldsymbol{\frac{211}{40}}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 等量代换
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，既考查了直角三角形中直接利用勾股定理求边长的能力，也考查了数形结合思想，通过公共边建立等量关系列方程求解未知边长的方法，掌握勾股定理的公式和方程思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
