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4.（1）如图甲，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，过点$A$有一条直线$l$，且点$B$，$C$在$AE$的同侧，作$BD ⊥ AE$于点$D$，$CE ⊥ AE$于点$E$，则$DE=BD+CE$.请说明理由.
（2）若将直线$l$绕点$A$旋转到图乙的位置，此时$BD＞CE$，其余条件不变，则$DE$，$BD$，$CE$之间显然还满足$DE=BD+CE$的关系.若将直线$l$绕点$A$继续旋转到图丙的位置，其余条件不变，上述关系还成立吗？从图形直观来看，是不成立的，那么$DE$，$BD$，$CE$三条线段之间又有怎样的关系呢？请你试着写出成立的关系式.
（2）若将直线$l$绕点$A$旋转到图乙的位置，此时$BD＞CE$，其余条件不变，则$DE$，$BD$，$CE$之间显然还满足$DE=BD+CE$的关系.若将直线$l$绕点$A$继续旋转到图丙的位置，其余条件不变，上述关系还成立吗？从图形直观来看，是不成立的，那么$DE$，$BD$，$CE$三条线段之间又有怎样的关系呢？请你试着写出成立的关系式.
答案
（1）理由如上所述，可证得DE=BD+CE；
（2）原关系不成立，新的关系式为$\boldsymbol{DE=BD-CE}$。
（2）原关系不成立，新的关系式为$\boldsymbol{DE=BD-CE}$。
解析
（1）证明：
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，
∵ BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB = ∠CEA = 90°，
∴ ∠BAD + ∠ABD = 90°，
∴ ∠ABD = ∠CAE。
在△ABD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠ABD = ∠CAE \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS），
∴ BD = AE，AD = CE，
又∵ DE = AD + AE，
∴ DE = CE + BD，即DE = BD + CE，得证。
（2）原DE=BD+CE的关系不成立，推导如下：
同理可证△ABD ≌ △CAE（AAS），可得BD = AE，AD = CE，
∵ AE = DE + AD，
∴ BD = DE + CE，整理得到新的线段关系。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，
∵ BD⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠ADB = ∠CEA = 90°，
∴ ∠BAD + ∠ABD = 90°，
∴ ∠ABD = ∠CAE。
在△ABD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CEA \\∠ABD = ∠CAE \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS），
∴ BD = AE，AD = CE，
又∵ DE = AD + AE，
∴ DE = CE + BD，即DE = BD + CE，得证。
（2）原DE=BD+CE的关系不成立，推导如下：
同理可证△ABD ≌ △CAE（AAS），可得BD = AE，AD = CE，
∵ AE = DE + AD，
∴ BD = DE + CE，整理得到新的线段关系。
1. 判断题（对的在括号内画“√”，错的在括号内画“×”）：
（1）一个等腰三角形必定能分成两个全等的直角三角形。 （）
（2）一个直角三角形必定能分成两个等腰三角形。 （）
（3）有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。 （）
（4）斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等。 （）
（1）一个等腰三角形必定能分成两个全等的直角三角形。 （）
（2）一个直角三角形必定能分成两个等腰三角形。 （）
（3）有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。 （）
（4）斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等。 （）
答案
（1）√；（2）√；（3）×；（4）√
解析
我们逐个分析各小题：
（1）任意等腰三角形作底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，这条高将原三角形分成两个直角三角形，二者共用这条高，斜边为等腰三角形的两条相等的腰，依据HL全等判定定理可证两个直角三角形全等，该说法正确。
（2）任意直角三角形作出斜边的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，分出的两个三角形都存在两条边相等，都属于等腰三角形，该说法正确。
（3）两个锐角对应相等的直角三角形仅能判定三个角对应相等，满足相似条件，但没有对应边相等的条件，无法判定全等，该说法错误。
（4）等腰直角三角形的两个锐角均为45°，若两个等腰直角三角形斜边对应相等，结合45°的锐角条件，可通过ASA或HL判定二者全等，该说法正确。
（1）任意等腰三角形作底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，这条高将原三角形分成两个直角三角形，二者共用这条高，斜边为等腰三角形的两条相等的腰，依据HL全等判定定理可证两个直角三角形全等，该说法正确。
（2）任意直角三角形作出斜边的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，分出的两个三角形都存在两条边相等，都属于等腰三角形，该说法正确。
（3）两个锐角对应相等的直角三角形仅能判定三个角对应相等，满足相似条件，但没有对应边相等的条件，无法判定全等，该说法错误。
（4）等腰直角三角形的两个锐角均为45°，若两个等腰直角三角形斜边对应相等，结合45°的锐角条件，可通过ASA或HL判定二者全等，该说法正确。
2. 请写出一个原命题是真命题,逆命题是假命题的命题:
.
.
答案
对顶角相等；如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等（答案不唯一，合理即可）
解析
命题由题设和结论两部分构成，将原命题的题设和结论互换，就得到它的逆命题。我们只需要构造一个本身为真命题，但是题设和结论互换后得到的新命题为假命题的命题即可，这类命题答案不唯一，例如符合要求的常见命题有“对顶角相等”、“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”等。
3. 在 $\mathrm{Rt } △ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$BC=3$，则下面各图中的直角三角形与 $\mathrm{Rt } △ ABC$ 全等的是（ ）。
答案
C
解析
首先计算已知$\mathrm{Rt}△ ABC$的边角参数：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，因此$∠ A=90°-30°=60°$。
由$\tan B=\frac{AC}{BC}$，代入$BC=3$，得$AC=BC·\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，即该直角三角形两条直角边长分别为$\sqrt{3}$和$3$，三个内角为$30°$、$60°$、$90°$。
逐一分析选项：
1. 选项A：$60°$角的邻边长为$3$，计算得对边长为$3\sqrt{3}$，两直角边为$3$和$3\sqrt{3}$，与已知三角形边长不对应，不全等。
2. 选项B：$60°$角的对边长为$\sqrt{3}$，计算得邻边长为$1$，两直角边为$1$和$\sqrt{3}$，与已知三角形边长不对应，不全等。
3. 选项C：$60°$角的对边长为$3$，计算得邻边长为$\sqrt{3}$，两直角边为$\sqrt{3}$和$3$，与已知三角形的两条直角边对应相等，根据SAS可判定两直角三角形全等。
4. 选项D：$60°$角的邻边长为$3$，计算得对边长为$3\sqrt{3}$，两直角边为$3$和$3\sqrt{3}$，与已知三角形边长不对应，不全等。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，因此$∠ A=90°-30°=60°$。
由$\tan B=\frac{AC}{BC}$，代入$BC=3$，得$AC=BC·\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，即该直角三角形两条直角边长分别为$\sqrt{3}$和$3$，三个内角为$30°$、$60°$、$90°$。
逐一分析选项：
1. 选项A：$60°$角的邻边长为$3$，计算得对边长为$3\sqrt{3}$，两直角边为$3$和$3\sqrt{3}$，与已知三角形边长不对应，不全等。
2. 选项B：$60°$角的对边长为$\sqrt{3}$，计算得邻边长为$1$，两直角边为$1$和$\sqrt{3}$，与已知三角形边长不对应，不全等。
3. 选项C：$60°$角的对边长为$3$，计算得邻边长为$\sqrt{3}$，两直角边为$\sqrt{3}$和$3$，与已知三角形的两条直角边对应相等，根据SAS可判定两直角三角形全等。
4. 选项D：$60°$角的邻边长为$3$，计算得对边长为$3\sqrt{3}$，两直角边为$3$和$3\sqrt{3}$，与已知三角形边长不对应，不全等。
