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二、填空题
1. [2023·新乡一模]计算:$\sqrt[3]{8}-\vert 2-\sqrt{2}\vert =$
1. [2023·新乡一模]计算:$\sqrt[3]{8}-\vert 2-\sqrt{2}\vert =$
$\sqrt{2}$
.答案
1.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题是实数的混合运算题，解题思路分三步：①先计算立方根：根据立方根的定义，找到立方等于8的数，得到$\sqrt[3]{8}$的结果；②再化简绝对值：先比较2和$\sqrt{2}$的大小，判断出$2-\sqrt{2}$是正数，根据正数的绝对值等于它本身，去掉绝对值符号；③最后将前两步的结果代入原式，按照去括号、加减运算的规则计算出最终结果。
【解析】
第一步，计算立方根：
∵$2^3=8$，
∴$\sqrt[3]{8}=2$；
第二步，化简绝对值：
∵$\sqrt{2}\approx1.414＜2$，
∴$2-\sqrt{2}＞0$，根据绝对值的性质可得$\vert 2-\sqrt{2}\vert =2-\sqrt{2}$；
第三步，代入原式计算：
$\begin{aligned}\sqrt[3]{8}-\vert 2-\sqrt{2}\vert &=2-(2-\sqrt{2})\\&=2-2+\sqrt{2}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
立方根计算，绝对值化简，实数运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查立方根的定义以及绝对值的性质，只要能准确判断绝对值内代数式的正负，正确去绝对值符号，就能顺利得出结果，是实数运算模块的常见考法。
【难度系数】
0.8
本题是实数的混合运算题，解题思路分三步：①先计算立方根：根据立方根的定义，找到立方等于8的数，得到$\sqrt[3]{8}$的结果；②再化简绝对值：先比较2和$\sqrt{2}$的大小，判断出$2-\sqrt{2}$是正数，根据正数的绝对值等于它本身，去掉绝对值符号；③最后将前两步的结果代入原式，按照去括号、加减运算的规则计算出最终结果。
【解析】
第一步，计算立方根：
∵$2^3=8$，
∴$\sqrt[3]{8}=2$；
第二步，化简绝对值：
∵$\sqrt{2}\approx1.414＜2$，
∴$2-\sqrt{2}＞0$，根据绝对值的性质可得$\vert 2-\sqrt{2}\vert =2-\sqrt{2}$；
第三步，代入原式计算：
$\begin{aligned}\sqrt[3]{8}-\vert 2-\sqrt{2}\vert &=2-(2-\sqrt{2})\\&=2-2+\sqrt{2}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
立方根计算，绝对值化简，实数运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查立方根的定义以及绝对值的性质，只要能准确判断绝对值内代数式的正负，正确去绝对值符号，就能顺利得出结果，是实数运算模块的常见考法。
【难度系数】
0.8
2. 比较大小：$\frac{1}{2}\_\_\_\_\_\_0.73$；$\sqrt{1.96}\_\_\_\_\_\_\frac{π}{2}$；$-\sqrt{5}\_\_\_\_\_\_-\sqrt{6}$.
答案
2. ＜ ＜ ＞
解析
【分析】
这是三组实数大小比较的题目，可根据不同数的类型选择对应比较方法：①分数和小数比较时，先将分数化为小数，统一形式后再比较数值；②含算术平方根和π的数比较时，先算出算术平方根的准确值、π的近似值，再比较两个数的大小；③两个负数比较时，依据“两个负数，绝对值大的数反而小”的规则，先比较绝对值大小，再判断原数的大小。
【解析】
1. 比较$\frac{1}{2}$和$0.73$：
将分数化为小数得$\frac{1}{2}=0.5$，因为$0.5＜0.73$，所以$\frac{1}{2}＜0.73$；
2. 比较$\sqrt{1.96}$和$\frac{π}{2}$：
先计算算术平方根，因为$1.4^2=1.96$，所以$\sqrt{1.96}=1.4$；再计算$\frac{π}{2}$的近似值，取$π\approx3.14$，则$\frac{π}{2}\approx1.57$，因为$1.4＜1.57$，所以$\sqrt{1.96}＜\frac{π}{2}$；
3. 比较$-\sqrt{5}$和$-\sqrt{6}$：
两个均为负数，先比较绝对值：$\vert -\sqrt{5}\vert=\sqrt{5}$，$\vert -\sqrt{6}\vert=\sqrt{6}$，因为$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得$-\sqrt{5}＞-\sqrt{6}$。
【答案】
＜ ＜ ＞
【知识点】
实数大小比较；算术平方根运算；负数比较规则
【点评】
本题是实数章节的基础常规题，考查不同形式实数的大小比较方法，需要熟练掌握分数小数转化、算术平方根运算以及负数比较的规律，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
这是三组实数大小比较的题目，可根据不同数的类型选择对应比较方法：①分数和小数比较时，先将分数化为小数，统一形式后再比较数值；②含算术平方根和π的数比较时，先算出算术平方根的准确值、π的近似值，再比较两个数的大小；③两个负数比较时，依据“两个负数，绝对值大的数反而小”的规则，先比较绝对值大小，再判断原数的大小。
【解析】
1. 比较$\frac{1}{2}$和$0.73$：
将分数化为小数得$\frac{1}{2}=0.5$，因为$0.5＜0.73$，所以$\frac{1}{2}＜0.73$；
2. 比较$\sqrt{1.96}$和$\frac{π}{2}$：
先计算算术平方根，因为$1.4^2=1.96$，所以$\sqrt{1.96}=1.4$；再计算$\frac{π}{2}$的近似值，取$π\approx3.14$，则$\frac{π}{2}\approx1.57$，因为$1.4＜1.57$，所以$\sqrt{1.96}＜\frac{π}{2}$；
3. 比较$-\sqrt{5}$和$-\sqrt{6}$：
两个均为负数，先比较绝对值：$\vert -\sqrt{5}\vert=\sqrt{5}$，$\vert -\sqrt{6}\vert=\sqrt{6}$，因为$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得$-\sqrt{5}＞-\sqrt{6}$。
【答案】
＜ ＜ ＞
【知识点】
实数大小比较；算术平方根运算；负数比较规则
【点评】
本题是实数章节的基础常规题，考查不同形式实数的大小比较方法，需要熟练掌握分数小数转化、算术平方根运算以及负数比较的规律，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 若$ x $的立方根等于$-3$，则$ x $等于
$-27$
.答案
3.$-27$
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。立方运算和开立方运算互为逆运算，已知x的立方根是-3，要求x，只需要对-3进行立方运算即可得到x的值。
【解析】
根据立方根的定义，已知$\sqrt[3]{x}=-3$，因为开立方与立方互为逆运算，因此：
$x=(-3)^3$
计算得：$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$
【答案】
$-27$
【知识点】
立方根的定义,有理数的乘方
【点评】
本题是基础概念题，主要考查立方根与立方运算的互逆关系，掌握相关定义和运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。立方运算和开立方运算互为逆运算，已知x的立方根是-3，要求x，只需要对-3进行立方运算即可得到x的值。
【解析】
根据立方根的定义，已知$\sqrt[3]{x}=-3$，因为开立方与立方互为逆运算，因此：
$x=(-3)^3$
计算得：$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$
【答案】
$-27$
【知识点】
立方根的定义,有理数的乘方
【点评】
本题是基础概念题，主要考查立方根与立方运算的互逆关系，掌握相关定义和运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
三、解答题
1. 求下列各式的值：
(1) $\sqrt{0.25} + \sqrt{0.36}$；
(2) $\sqrt{17^2 - 8^2}$。
1. 求下列各式的值：
(1) $\sqrt{0.25} + \sqrt{0.36}$；
(2) $\sqrt{17^2 - 8^2}$。
答案
1. (1)1.1 (2)15
解析
【分析】
(1) 求解两个算术平方根的和，首先要根据算术平方根的定义，分别求出每个算术平方根的数值，再将两个结果相加即可得到最终答案。
(2) 求解根号下含平方差的式子，要遵循先算被开方数（根号内的部分）的运算顺序，先算出被开方数的最终结果，再求该结果的算术平方根即可。也可以先利用平方差公式简化被开方数的计算，再开方。
【解析】
(1) 分别计算两个算术平方根：
∵$0.5^2=0.25$，
∴$\sqrt{0.25}=0.5$；
∵$0.6^2=0.36$，
∴$\sqrt{0.36}=0.6$；
再求和：$\sqrt{0.25} + \sqrt{0.36}=0.5+0.6=1.1$。
(2) 先计算被开方数的数值：
$17^2=289$，$8^2=64$，则$17^2 - 8^2=289-64=225$；
再求算术平方根：
∵$15^2=225$，
∴$\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{225}=15$。
【答案】
(1)1.1；(2)15
【知识点】
算术平方根计算，有理数乘方运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题型，难度较低，计算时注意遵循运算顺序，先完成根号内的运算再开方，乘方计算时注意不要记错数值即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
(1) 求解两个算术平方根的和，首先要根据算术平方根的定义，分别求出每个算术平方根的数值，再将两个结果相加即可得到最终答案。
(2) 求解根号下含平方差的式子，要遵循先算被开方数（根号内的部分）的运算顺序，先算出被开方数的最终结果，再求该结果的算术平方根即可。也可以先利用平方差公式简化被开方数的计算，再开方。
【解析】
(1) 分别计算两个算术平方根：
∵$0.5^2=0.25$，
∴$\sqrt{0.25}=0.5$；
∵$0.6^2=0.36$，
∴$\sqrt{0.36}=0.6$；
再求和：$\sqrt{0.25} + \sqrt{0.36}=0.5+0.6=1.1$。
(2) 先计算被开方数的数值：
$17^2=289$，$8^2=64$，则$17^2 - 8^2=289-64=225$；
再求算术平方根：
∵$15^2=225$，
∴$\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{225}=15$。
【答案】
(1)1.1；(2)15
【知识点】
算术平方根计算，有理数乘方运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题型，难度较低，计算时注意遵循运算顺序，先完成根号内的运算再开方，乘方计算时注意不要记错数值即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
2. 已知$x-2$的算术平方根是$2$，$2x+y+7$的立方根是$3$，求$x^2+y^2$的平方根.
答案
解:由题意得 $x-2=2^2 ,2x+y+7=3^3$,
$\therefore x=6,y=8.$
$\therefore x^2+y^2=6^2+8^2=100.$
$\therefore x^2+y^2$ 的平方根是$\pm10.$
$\therefore x=6,y=8.$
$\therefore x^2+y^2=6^2+8^2=100.$
$\therefore x^2+y^2$ 的平方根是$\pm10.$
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根和立方根的定义：①若一个非负数a的算术平方根是b，则满足a = b²；②若一个数a的立方根是b，则满足a = b³。我们可以先根据这两个定义分别列出关于x、y的方程，先求解出x的值，再代入第二个方程求出y的值，接着计算x²+y²的结果，最后根据平方根的定义求出它的平方根，注意平方根有两个互为相反数的结果，不要遗漏负数解。
【解析】
解：根据算术平方根的定义，由$x-2$的算术平方根是2可得：
$x-2=2^2=4$
解得$x=6$
再根据立方根的定义，由$2x+y+7$的立方根是3可得：
$2x+y+7=3^3=27$
把$x=6$代入上式：
$2×6 + y +7=27$
$12+y+7=27$
解得$y=8$
接下来计算$x^2+y^2$的值：
$x^2+y^2=6^2+8^2=36+64=100$
最后求100的平方根：因为$(\pm10)^2=100$，所以$x^2+y^2$的平方根是$\pm10$。
【答案】
$\pm10$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题核心是考查根式相关概念的应用，解题的关键是准确区分算术平方根、立方根、平方根的定义，根据概念列方程求解未知数，易错点是求平方根时容易漏写负的结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆算术平方根和立方根的定义：①若一个非负数a的算术平方根是b，则满足a = b²；②若一个数a的立方根是b，则满足a = b³。我们可以先根据这两个定义分别列出关于x、y的方程，先求解出x的值，再代入第二个方程求出y的值，接着计算x²+y²的结果，最后根据平方根的定义求出它的平方根，注意平方根有两个互为相反数的结果，不要遗漏负数解。
【解析】
解：根据算术平方根的定义，由$x-2$的算术平方根是2可得：
$x-2=2^2=4$
解得$x=6$
再根据立方根的定义，由$2x+y+7$的立方根是3可得：
$2x+y+7=3^3=27$
把$x=6$代入上式：
$2×6 + y +7=27$
$12+y+7=27$
解得$y=8$
接下来计算$x^2+y^2$的值：
$x^2+y^2=6^2+8^2=36+64=100$
最后求100的平方根：因为$(\pm10)^2=100$，所以$x^2+y^2$的平方根是$\pm10$。
【答案】
$\pm10$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题核心是考查根式相关概念的应用，解题的关键是准确区分算术平方根、立方根、平方根的定义，根据概念列方程求解未知数，易错点是求平方根时容易漏写负的结果。
【难度系数】
0.7
3. 求值:$(-1)^{2024} + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{8}.$
答案
解:原式$=1+\sqrt{2}-1-2$
$=\sqrt{2}-2.$
$=\sqrt{2}-2.$
解析
【分析】
本题属于实数的混合运算题，解题时可按三步分别计算每一项后再合并结果：第一步计算乘方项$(-1)^{2024}$，根据负数的偶次幂为正数的规则，2024是偶数，因此该项结果为1；第二步化简绝对值$|1-\sqrt{2}|$，先判断绝对值内式子的正负，因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，负数的绝对值是它的相反数，因此该项化简为$\sqrt{2}-1$；第三步计算立方根$\sqrt[3]{8}$，因为$2^3=8$，所以8的立方根为2，最后将三项结果代入原式计算即可。
【解析】
解：分别计算各项：
1. 计算乘方：$(-1)^{2024}=1$；
2. 化简绝对值：$\because \sqrt{2}＞1$，$\therefore |1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；
3. 计算立方根：$\sqrt[3]{8}=2$。
将结果代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=1+(\sqrt{2}-1)-2\\&=1+\sqrt{2}-1-2\\&=\sqrt{2}-2\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}-2$
【知识点】
乘方运算；绝对值化简；立方根计算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查基础运算规则的应用，计算时需注意符号判断，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.8
本题属于实数的混合运算题，解题时可按三步分别计算每一项后再合并结果：第一步计算乘方项$(-1)^{2024}$，根据负数的偶次幂为正数的规则，2024是偶数，因此该项结果为1；第二步化简绝对值$|1-\sqrt{2}|$，先判断绝对值内式子的正负，因为$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，负数的绝对值是它的相反数，因此该项化简为$\sqrt{2}-1$；第三步计算立方根$\sqrt[3]{8}$，因为$2^3=8$，所以8的立方根为2，最后将三项结果代入原式计算即可。
【解析】
解：分别计算各项：
1. 计算乘方：$(-1)^{2024}=1$；
2. 化简绝对值：$\because \sqrt{2}＞1$，$\therefore |1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；
3. 计算立方根：$\sqrt[3]{8}=2$。
将结果代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=1+(\sqrt{2}-1)-2\\&=1+\sqrt{2}-1-2\\&=\sqrt{2}-2\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}-2$
【知识点】
乘方运算；绝对值化简；立方根计算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查基础运算规则的应用，计算时需注意符号判断，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.8
4. 用计算器计算下列各式的值：
(1)$\sqrt{3}+\sqrt[3]{5}-3.073$（精确到$0.01$）；
(2)$\sqrt[3]{6}-π-\sqrt{2}$（精确到$0.01$）。
(1)$\sqrt{3}+\sqrt[3]{5}-3.073$（精确到$0.01$）；
(2)$\sqrt[3]{6}-π-\sqrt{2}$（精确到$0.01$）。
答案
4. (1)0.37 (2)$-2.74$
解析
【分析】
解题时先明确运算顺序为从左到右依次计算，首先使用计算器分别求出各无理数的近似值（为保证最终结果精度，中间近似值可多保留1~2位小数），再进行加减运算，最后根据精确到0.01的要求对结果四舍五入取近似数即可。
【解析】
(1) 先利用计算器得：$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt[3]{5}\approx1.710$
代入原式计算：
$\sqrt{3}+\sqrt[3]{5}-3.073$
$\approx1.732+1.710-3.073$
$=3.442-3.073$
$=0.369$
精确到0.01，四舍五入得0.37。
(2) 先利用计算器得：$\sqrt[3]{6}\approx1.817$，$π\approx3.142$，$\sqrt{2}\approx1.414$
代入原式计算：
$\sqrt[3]{6}-π-\sqrt{2}$
$\approx1.817-3.142-1.414$
$=-1.325-1.414$
$=-2.739$
精确到0.01，四舍五入得$-2.74$。
【答案】
(1)0.37；(2)$-2.74$
【知识点】
计算器开方运算，实数加减运算，近似数取值
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查计算器开方功能的使用，以及按精度要求取近似数的能力，计算时注意中间近似值保留位数足够，避免产生过大的计算误差。
【难度系数】
0.85
解题时先明确运算顺序为从左到右依次计算，首先使用计算器分别求出各无理数的近似值（为保证最终结果精度，中间近似值可多保留1~2位小数），再进行加减运算，最后根据精确到0.01的要求对结果四舍五入取近似数即可。
【解析】
(1) 先利用计算器得：$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt[3]{5}\approx1.710$
代入原式计算：
$\sqrt{3}+\sqrt[3]{5}-3.073$
$\approx1.732+1.710-3.073$
$=3.442-3.073$
$=0.369$
精确到0.01，四舍五入得0.37。
(2) 先利用计算器得：$\sqrt[3]{6}\approx1.817$，$π\approx3.142$，$\sqrt{2}\approx1.414$
代入原式计算：
$\sqrt[3]{6}-π-\sqrt{2}$
$\approx1.817-3.142-1.414$
$=-1.325-1.414$
$=-2.739$
精确到0.01，四舍五入得$-2.74$。
【答案】
(1)0.37；(2)$-2.74$
【知识点】
计算器开方运算，实数加减运算，近似数取值
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查计算器开方功能的使用，以及按精度要求取近似数的能力，计算时注意中间近似值保留位数足够，避免产生过大的计算误差。
【难度系数】
0.85
四、趣味题
5,4,3,2,1.（猜一数学名词）
5,4,3,2,1.（猜一数学名词）
答案
倒数
解析
【分析】
解题时先观察谜面的特征：给出的数字序列是5、4、3、2、1，和日常从小到大计数的顺序相反，属于倒着数数的状态。再结合已学的数学名词做关联匹配，“倒着数”的简化表述刚好对应我们学过的数学名词。
【解析】
首先分析数字排列规律：5,4,3,2,1是从大到小反向排列的连续自然数，含义为“倒着数数”，将表述简化后可对应数学名词“倒数”。
【答案】
倒数
【知识点】
倒数的认识、逻辑推理
【点评】
这是一道趣味数学题，把数字排列规律和数学名词结合，既考察对数学名词的熟悉度，也能锻炼联想能力，能让大家感受到数学学习的趣味性。
【难度系数】
0.7
解题时先观察谜面的特征：给出的数字序列是5、4、3、2、1，和日常从小到大计数的顺序相反，属于倒着数数的状态。再结合已学的数学名词做关联匹配，“倒着数”的简化表述刚好对应我们学过的数学名词。
【解析】
首先分析数字排列规律：5,4,3,2,1是从大到小反向排列的连续自然数，含义为“倒着数数”，将表述简化后可对应数学名词“倒数”。
【答案】
倒数
【知识点】
倒数的认识、逻辑推理
【点评】
这是一道趣味数学题，把数字排列规律和数学名词结合，既考察对数学名词的熟悉度，也能锻炼联想能力，能让大家感受到数学学习的趣味性。
【难度系数】
0.7
