登录
4. 如下左图,在平面直角坐标系$xOy$中,有一个由六个边长为1的正方形组成的图案,其中点$A,B$的坐标分别为$(3,5),(6,1)$.若过原点的直线$l$将这个图案分成面积相等的两部分,则直线$l$的函数解析式为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
4. $y=\dfrac{5}{8}x$
解析
【分析】
要让过原点的直线将图案分成面积相等的两部分，核心思路是：过组合图形几何中心的直线可平分图形面积。因此我们首先需要结合已知点A、B的坐标确定这个由6个正方形组成的图案的几何中心坐标，再利用待定系数法求过原点和该中心的正比例函数解析式即可。
【解析】
解：该图案由6个边长为1的正方形组成，总面积为$6×1×1=6$，平分后每部分面积为3。
结合点A$(3,5)$、B$(6,1)$的坐标，可确定该图案的几何中心坐标为$(4,\dfrac{5}{2})$。
设过原点的直线$l$的解析式为$y=kx\ (k≠0)$，将中心坐标$(4,\dfrac{5}{2})$代入解析式：
$\dfrac{5}{2}=4k$
解得$k=\dfrac{5}{8}$。
【答案】
$y=\dfrac{5}{8}x$
【知识点】
图形面积平分性质，待定系数法求正比例函数，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题考查图形性质与函数知识的综合应用，解题关键是理解平分面积的直线需经过组合图形的几何中心，结合坐标运算即可求出解析式，对学生的图形观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要让过原点的直线将图案分成面积相等的两部分，核心思路是：过组合图形几何中心的直线可平分图形面积。因此我们首先需要结合已知点A、B的坐标确定这个由6个正方形组成的图案的几何中心坐标，再利用待定系数法求过原点和该中心的正比例函数解析式即可。
【解析】
解：该图案由6个边长为1的正方形组成，总面积为$6×1×1=6$，平分后每部分面积为3。
结合点A$(3,5)$、B$(6,1)$的坐标，可确定该图案的几何中心坐标为$(4,\dfrac{5}{2})$。
设过原点的直线$l$的解析式为$y=kx\ (k≠0)$，将中心坐标$(4,\dfrac{5}{2})$代入解析式：
$\dfrac{5}{2}=4k$
解得$k=\dfrac{5}{8}$。
【答案】
$y=\dfrac{5}{8}x$
【知识点】
图形面积平分性质，待定系数法求正比例函数，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题考查图形性质与函数知识的综合应用，解题关键是理解平分面积的直线需经过组合图形的几何中心，结合坐标运算即可求出解析式，对学生的图形观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5. 如上右图,在平面直角坐标系中,点 M 是直线 $ y = -x $ 上的动点,过点 M 作 $ MN ⊥ x $轴,交直线 $ y = x $ 于点 N,当 $ MN ≤ 8 $ 时,设点 M 的横坐标为 m,则 m 的取值范围为
$-4≤m≤4$
.答案
5. $-4≤m≤4$
解析
【分析】
解题时首先根据点M在直线y=-x上，用横坐标m表示出M的坐标；再结合MN⊥x轴的条件，可得N点横坐标与M相同，代入直线y=x即可得到N点坐标；由于MN是垂直于x轴的线段，长度等于两点纵坐标差的绝对值，据此列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵点M在直线y=-x上，且横坐标为m，
∴点M的坐标为$\boldsymbol{(m, -m)}$，
∵MN⊥x轴，交直线y=x于点N，
∴点N的横坐标与点M相等，为m，将x=m代入y=x，得点N的坐标为$\boldsymbol{(m, m)}$，
∵垂直于x轴的线段长度为线段两端点纵坐标差的绝对值，
∴$MN = |m - (-m)| = |2m|$，
根据题意$MN ≤ 8$，可得：
$|2m| ≤ 8$，
化简得$|m| ≤ 4$，
解得$-4 ≤ m ≤ 4$。
【答案】
$-4≤ m≤4$
【知识点】
1. 一次函数点坐标特征
2. 平行于y轴的两点距离计算
3. 绝对值不等式解法
【点评】
本题是一次函数与不等式的综合题，解题核心是准确用含m的代数式表示出MN的长度，注意距离为非负数，计算时要加绝对值符号，避免漏解负数范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据点M在直线y=-x上，用横坐标m表示出M的坐标；再结合MN⊥x轴的条件，可得N点横坐标与M相同，代入直线y=x即可得到N点坐标；由于MN是垂直于x轴的线段，长度等于两点纵坐标差的绝对值，据此列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵点M在直线y=-x上，且横坐标为m，
∴点M的坐标为$\boldsymbol{(m, -m)}$，
∵MN⊥x轴，交直线y=x于点N，
∴点N的横坐标与点M相等，为m，将x=m代入y=x，得点N的坐标为$\boldsymbol{(m, m)}$，
∵垂直于x轴的线段长度为线段两端点纵坐标差的绝对值，
∴$MN = |m - (-m)| = |2m|$，
根据题意$MN ≤ 8$，可得：
$|2m| ≤ 8$，
化简得$|m| ≤ 4$，
解得$-4 ≤ m ≤ 4$。
【答案】
$-4≤ m≤4$
【知识点】
1. 一次函数点坐标特征
2. 平行于y轴的两点距离计算
3. 绝对值不等式解法
【点评】
本题是一次函数与不等式的综合题，解题核心是准确用含m的代数式表示出MN的长度，注意距离为非负数，计算时要加绝对值符号，避免漏解负数范围。
【难度系数】
0.7
三、解答题
在平面直角坐标系 $ xOy $ 中, 一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 的图象由函数 $ y = \frac{1}{2}x $ 的图象向下平移1个单位长度得到.
(1) 求这个一次函数的解析式.
(2) 当 $ x ＞ -2 $ 时, 对于 $ x $ 的每一个值, 函数 $ y = mx(m ≠ 0) $ 的值大于一次函数 $ y = kx + b $ 的值, 直接写出 $ m $ 的取值范围.
在平面直角坐标系 $ xOy $ 中, 一次函数 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 的图象由函数 $ y = \frac{1}{2}x $ 的图象向下平移1个单位长度得到.
(1) 求这个一次函数的解析式.
(2) 当 $ x ＞ -2 $ 时, 对于 $ x $ 的每一个值, 函数 $ y = mx(m ≠ 0) $ 的值大于一次函数 $ y = kx + b $ 的值, 直接写出 $ m $ 的取值范围.
答案
解:(1)$\because$ 一次函数 $y = kx + b( k ≠ 0 )$ 的图象由函数
$y=\dfrac{1}{2}x$ 的图象向下平移 1 个单位长度得到,
$\therefore k=\dfrac{1}{2},b=-1.$
$\therefore$ 这个一次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x-1.$
(2) $\dfrac{1}{2}≤ m≤ 1.$
由题意可先假设函数 $y = mx\ ( m ≠ 0 )$ 与一次函数
$y=kx+b$ 的图象交点横坐标为-2,
则由(1)可得$-2m=\dfrac{1}{2}×(-2)-1$,
解得 $m=1$,
当 $m=\dfrac{1}{2}$ 时,直线 $y=\dfrac{1}{2}x$ 与直线 $y=\dfrac{1}{2}x-1$ 平行.
函数图象如图所示.
$\because$ 当 $x＞-2$ 时, 对于 $x$ 的每一个值, 函数 $y = mx$
$( m ≠ 0 )$ 的值大于一次函数 $y=kx+b$ 的值,
$\therefore$ 结合函数图象可知, 当 $\dfrac{1}{2}≤ m≤ 1$ 时, 符合题意.
$\therefore m$ 的取值范围是 $\dfrac{1}{2}≤ m≤ 1.$
解析
【分析】
(1) 解题思路：回忆一次函数图像平移的规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，函数上下平移时斜率$k$不变，仅改变常数项$b$，向下平移1个单位就是在原函数解析式的基础上常数项减1，即可求出目标一次函数的解析式。
(2) 解题思路：要满足$x＞-2$时$y=mx$的值恒大于一次函数的值，需找到两个临界情况：①两直线平行时，正比例函数永远在一次函数上方，此时$m$等于一次函数的斜率；②两函数的交点横坐标恰好为$-2$，代入$x=-2$求出此时的$m$值，结合函数图像即可确定$m$的取值范围。
【解析】
(1) $\because$ 一次函数 $y = kx + b( k ≠ 0 )$ 的图象由函数$y=\dfrac{1}{2}x$ 的图象向下平移 1 个单位长度得到，
根据一次函数平移规则，平移不改变斜率，向下平移常数项减1，
$\therefore k=\dfrac{1}{2},b=0-1=-1$，
$\therefore$ 这个一次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x-1$。
(2) 先分析两个临界情况：
① 当直线$y=mx$与$y=\dfrac{1}{2}x-1$平行时，$m=\dfrac{1}{2}$，此时$y=\dfrac{1}{2}x$的图象永远在$y=\dfrac{1}{2}x-1$上方，满足对任意$x$，$mx＞\dfrac{1}{2}x-1$，自然符合$x＞-2$的要求。
② 当两函数交点的横坐标为$-2$时，将$x=-2$代入两个函数得：
$-2m=\dfrac{1}{2}×(-2)-1$，
计算得右边为$-2$，即$-2m=-2$，解得$m=1$。
结合函数图象可知，当$\dfrac{1}{2}≤ m≤ 1$时，在$x＞-2$的范围内，$y=mx$的图象始终在一次函数$y=\dfrac{1}{2}x-1$的上方，符合题意。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x-1$
(2) $\dfrac{1}{2}≤ m≤ 1$
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数与不等式；一次函数图象性质
【点评】
本题将一次函数的平移规则、图象性质与不等式相结合，解题的核心是找准临界情况，利用数形结合的思想分析取值范围，是一次函数模块的典型考查题型。
【难度系数】
0.65
(1) 解题思路：回忆一次函数图像平移的规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，函数上下平移时斜率$k$不变，仅改变常数项$b$，向下平移1个单位就是在原函数解析式的基础上常数项减1，即可求出目标一次函数的解析式。
(2) 解题思路：要满足$x＞-2$时$y=mx$的值恒大于一次函数的值，需找到两个临界情况：①两直线平行时，正比例函数永远在一次函数上方，此时$m$等于一次函数的斜率；②两函数的交点横坐标恰好为$-2$，代入$x=-2$求出此时的$m$值，结合函数图像即可确定$m$的取值范围。
【解析】
(1) $\because$ 一次函数 $y = kx + b( k ≠ 0 )$ 的图象由函数$y=\dfrac{1}{2}x$ 的图象向下平移 1 个单位长度得到，
根据一次函数平移规则，平移不改变斜率，向下平移常数项减1，
$\therefore k=\dfrac{1}{2},b=0-1=-1$，
$\therefore$ 这个一次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x-1$。
(2) 先分析两个临界情况：
① 当直线$y=mx$与$y=\dfrac{1}{2}x-1$平行时，$m=\dfrac{1}{2}$，此时$y=\dfrac{1}{2}x$的图象永远在$y=\dfrac{1}{2}x-1$上方，满足对任意$x$，$mx＞\dfrac{1}{2}x-1$，自然符合$x＞-2$的要求。
② 当两函数交点的横坐标为$-2$时，将$x=-2$代入两个函数得：
$-2m=\dfrac{1}{2}×(-2)-1$，
计算得右边为$-2$，即$-2m=-2$，解得$m=1$。
结合函数图象可知，当$\dfrac{1}{2}≤ m≤ 1$时，在$x＞-2$的范围内，$y=mx$的图象始终在一次函数$y=\dfrac{1}{2}x-1$的上方，符合题意。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x-1$
(2) $\dfrac{1}{2}≤ m≤ 1$
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数与不等式；一次函数图象性质
【点评】
本题将一次函数的平移规则、图象性质与不等式相结合，解题的核心是找准临界情况，利用数形结合的思想分析取值范围，是一次函数模块的典型考查题型。
【难度系数】
0.65
