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12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-5x+m=0$.
(1)若方程有实数根,求实数 $m$ 的取值范围；
(2)若方程的两个实数根分别为 $x_1,x_2$,且满足 $3x_1-2x_2=5$,求实数 $m$ 的值.
(1)若方程有实数根,求实数 $m$ 的取值范围；
(2)若方程的两个实数根分别为 $x_1,x_2$,且满足 $3x_1-2x_2=5$,求实数 $m$ 的值.
答案
12.解:(1)$\because$方程有实数根,$\therefore b^{2}-4ac=25-4m≥0$,解得$m≤\frac{25}{4}.$
(2)由一元二次方程根与系数的关系可知$x_{1}+x_{2}=5$,
$x_{1}x_{2}=m,\because 3x_{1}-2x_{2}=5,\therefore 3x_{1}+3x_{2}-5x_{2}=5$,
$\therefore -5x_{2}=-10$,解得$x_{2}=2$.把$x=2$代入原方程,得
$2^{2}-5×2+m=0$,解得$m=6.$
(2)由一元二次方程根与系数的关系可知$x_{1}+x_{2}=5$,
$x_{1}x_{2}=m,\because 3x_{1}-2x_{2}=5,\therefore 3x_{1}+3x_{2}-5x_{2}=5$,
$\therefore -5x_{2}=-10$,解得$x_{2}=2$.把$x=2$代入原方程,得
$2^{2}-5×2+m=0$,解得$m=6.$
13. (2025·南充)设$x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^{2}$的两根.
(1)当$x_{1}=-1$时,求$x_{2}$及$m$的值;
(2)求证:$(x_{1}-1)(x_{2}-1)≤ 0.$
(1)当$x_{1}=-1$时,求$x_{2}$及$m$的值;
(2)求证:$(x_{1}-1)(x_{2}-1)≤ 0.$
答案
13.(1)解:把$x_{1}=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^{2}$,得
$m^{2}=6,\therefore m=\pm\sqrt{6},$
$\therefore (x-1)(x-2)=6$,即$x^{2}-3x-4=0$,
$\therefore (x-4)(x+1)=0,$
$\therefore x_{1}=-1,x_{2}=4,\therefore x_{2}=4,m=\pm\sqrt{6}.$
(2)证明:$\because$方程$(x-1)(x-2)=m^{2}$,即$x^{2}-3x+2-m^{2}=0$的两根为$x_{1},x_{2}$,
$\therefore x_{1}+x_{2}=3,x_{1}· x_{2}=2-m^{2},$
$\therefore (x_{1}-1)(x_{2}-1)=x_{1}· x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=2-m^{2}-3+1=-m^{2}.$
$\because m^{2}≥0,\therefore -m^{2}≤0$,即$(x_{1}-1)(x_{2}-1)≤0.$
$m^{2}=6,\therefore m=\pm\sqrt{6},$
$\therefore (x-1)(x-2)=6$,即$x^{2}-3x-4=0$,
$\therefore (x-4)(x+1)=0,$
$\therefore x_{1}=-1,x_{2}=4,\therefore x_{2}=4,m=\pm\sqrt{6}.$
(2)证明:$\because$方程$(x-1)(x-2)=m^{2}$,即$x^{2}-3x+2-m^{2}=0$的两根为$x_{1},x_{2}$,
$\therefore x_{1}+x_{2}=3,x_{1}· x_{2}=2-m^{2},$
$\therefore (x_{1}-1)(x_{2}-1)=x_{1}· x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=2-m^{2}-3+1=-m^{2}.$
$\because m^{2}≥0,\therefore -m^{2}≤0$,即$(x_{1}-1)(x_{2}-1)≤0.$
14. (2025·扬州期末)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(m+5)x+3m+6=0$.
(1)求证:不论实数 $m$ 取何值,方程总有实数根;
(2)若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长,当这个矩形的对角线长为 5 时,求 $m$ 的值.
(1)求证:不论实数 $m$ 取何值,方程总有实数根;
(2)若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长,当这个矩形的对角线长为 5 时,求 $m$ 的值.
答案
14.(1)证明:$\because b^{2}-4ac=[-(m+5)]^{2}-4(3m+6)=m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}≥0,$
$\therefore$不论实数$m$取何值,方程总有实数根.
(2)设矩形的两邻边长为$a,b$,
根据根与系数的关系得$a+b=m+5＞0,ab=3m+6＞0,\therefore m＞-2.$
$\because a^{2}+b^{2}=25,\therefore (a+b)^{2}-2ab=25,$
即$(m+5)^{2}-2(3m+6)=25$,整理,得$m^{2}+4m-12=0$,
解得$m_{1}=-6$(舍去),$m_{2}=2$,$\therefore m$的值为$2.$
$\therefore$不论实数$m$取何值,方程总有实数根.
(2)设矩形的两邻边长为$a,b$,
根据根与系数的关系得$a+b=m+5＞0,ab=3m+6＞0,\therefore m＞-2.$
$\because a^{2}+b^{2}=25,\therefore (a+b)^{2}-2ab=25,$
即$(m+5)^{2}-2(3m+6)=25$,整理,得$m^{2}+4m-12=0$,
解得$m_{1}=-6$(舍去),$m_{2}=2$,$\therefore m$的值为$2.$
15. (2025·苏州期中)如果实数 $m,n$ 满足 $m^2-m-1=0,n^2-n-1=0$, 且 $m≠ n$, 则可利用根的定义构造一元二次方程 $x^2-x-1=0$, 将 $m,n$ 看作是此方程的两个不相等实数根.
请根据上述材料解决下面问题:
(1) 已知实数 $m,n$ 满足 $3m^2-m-2=0,3n^2-n-2=0$, 求 $\dfrac{n}{m}+\dfrac{m}{n}$ 的值;
(2) 已知实数 $a,b,c$ 满足 $a+b=c-5,ab=\dfrac{16}{5-c}$, 且 $c＜5$, 求 $c$ 的最大值.
请根据上述材料解决下面问题:
(1) 已知实数 $m,n$ 满足 $3m^2-m-2=0,3n^2-n-2=0$, 求 $\dfrac{n}{m}+\dfrac{m}{n}$ 的值;
(2) 已知实数 $a,b,c$ 满足 $a+b=c-5,ab=\dfrac{16}{5-c}$, 且 $c＜5$, 求 $c$ 的最大值.
答案
15.解:(1)实数$m,n$满足$3m^{2}-m-2=0,3n^{2}-n-2=0$,
当$m=n$时,$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=1+1=2$;
当$m≠ n$时,$m,n$可看作方程$3x^{2}-x-2=0$的两根,
$\therefore m+n=\frac{1}{3},mn=-\frac{2}{3},$
$\therefore \frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^{2}+n^{2}}{mn}=\frac{(m+n)^{2}-2mn}{mn}=\frac{(\frac{1}{3})^{2}-2×(-\frac{2}{3})}{-\frac{2}{3}}=-\frac{13}{6}.$
综上所述,$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值为$2$或$-\frac{13}{6}.$
(2)把$a,b$看作关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(c-5)x+\frac{16}{5-c}=0$的两根,
$\because (c-5)^{2}-4×\frac{16}{5-c}≥0,c＜5,\therefore (5-c)^{3}-64≥0,$
即$(5-c)^{3}≥64$,即$5-c≥4$,解得$c≤1$,
$\therefore c$的最大值为$1.$
当$m=n$时,$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=1+1=2$;
当$m≠ n$时,$m,n$可看作方程$3x^{2}-x-2=0$的两根,
$\therefore m+n=\frac{1}{3},mn=-\frac{2}{3},$
$\therefore \frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^{2}+n^{2}}{mn}=\frac{(m+n)^{2}-2mn}{mn}=\frac{(\frac{1}{3})^{2}-2×(-\frac{2}{3})}{-\frac{2}{3}}=-\frac{13}{6}.$
综上所述,$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值为$2$或$-\frac{13}{6}.$
(2)把$a,b$看作关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(c-5)x+\frac{16}{5-c}=0$的两根,
$\because (c-5)^{2}-4×\frac{16}{5-c}≥0,c＜5,\therefore (5-c)^{3}-64≥0,$
即$(5-c)^{3}≥64$,即$5-c≥4$,解得$c≤1$,
$\therefore c$的最大值为$1.$
