7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36^{ \circ }$,$BD$,$CE$分别是$△ ABC$,$△ BCD$的角平分线,则图中的等腰三角形有（）

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

7.A

8. 在$△ ABC$中，$∠ A=80^{\circ }$，当$∠ B=$时，$△ ABC$是等腰三角形.

8.$80°或50°或20°$

9.(2024·东台月考)如图,D为$△ ABC$内一点,CD平分$∠ ACB,BE ⊥ CD$,垂足为D,交AC于点$E$,$∠ A= ∠ ABE$.若$AC=7$,$BC=4$,则$BD$的长为.

9.1.5

10. 如图,$△ ABC$的面积为$\quantity{1}{cm^{2}}$,$AP$垂直于$∠ ABC$的平分线$BP$于点$P$,则$△ PBC$的面积是。

10.$\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}^2$

11. (2024·南通期中)(1)如图①,在$△ ABC$中,$BF,CF$分别平分$∠ ABC,∠ ACB$,过点$F$作直线平行于$BC$,分别交$AB,AC$于点$D,E$,求证:$DE=BD+CE$;
(2)如图②,若$F$是$∠ ABC$的平分线和$△ ABC$的外角$∠ ACG$的平分线的交点,其他条件不变,请猜想线段$DE,DB,EC$之间有何数量关系? 证明你的猜想.

11.(1)证明:如答图.
∵ 在△ABC 中,BF,CF 分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠1=∠2,∠5=∠4.
∵ DE//BC,
∴∠2=∠3,∠4=∠6,
∴∠1=∠3,∠6=∠5,
∴BD=DF,EF=CE,
∴DE=DF+EF=BD+CE.
(2)解:DE+EC=BD.
证明:
∵BF 平分∠ABC,
∴∠DBF=∠FBC.
∵DF//BC,
∴∠DFB=∠FBC,
∴∠ABF=∠DFB,
∴BD=DF.
∵CF 平分∠ACG,
∴∠ACF=∠FCG.
∵DF//BC,
∴∠DFC=∠FCG,
∴∠ACF=∠DFC,
∴CE=EF.
∵EF+DE=DF,
∴DE+EC=BD.

12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°,AB=AC,D$ 是斜边 $BC$ 的中点,点 $E,F$ 分别在线段 $AB,AC$ 上,且$∠ EDF=90°.$
(1)求证:$△ DEF$ 为等腰直角三角形;
(2)求证:$S_{\mathrm{四边形}AEDF}=S_{△ BDE}+S_{△ CDF};$
(3)如果点 $E$ 运动到 $AB$ 的延长线上,点 $F$ 在射线 $CA$ 上且保持$∠ EDF=90°,△ DEF$ 还是等腰直角三角形吗? 请画图并说明理由.

12.(1)证明:如答图①,连接 AD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,D 是斜边 BC 的中点,
∴AD⊥BC,∠B=∠C=∠1=∠6=45°,
∴AD=BD=CD.
∵∠EDF=90°,
∴∠2+∠3=90°.
又∠3+∠4=90°,
∴∠2=∠4.
在△BDE 和△ADF 中,$\begin{cases} ∠B=∠1, \\ BD=AD, \\ ∠4=∠2, \end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF.
又
∵∠EDF=90°,
∴△DEF 为等腰直角三角形.
(2)证明:由(1)可知△BDE≌△ADF,DE=DF,∠C=∠6=45°,
∴$S_{△ BDE}=S_{△ ADF}$.
又∠2+∠3=90°,∠2+∠5=90°,
∴∠3=∠5. 又 AD=CD,
∴△ADE≌△CDF,
∴$S_{\mathrm{四边形}AEDF}=S_{△ ADF}+S_{△ ADE}=S_{△ BDE}+S_{△ CDF}$.
(3)解:是. 如答图②,连接 AD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,D 是斜边 BC 的中点,
∴AD⊥BC,∠1=∠BAD=∠ABD=45°,
∴∠DAF=∠DBE=135°,AD=BD.
∵∠EDF=90°,
∴∠3+∠4=90°.
又∠2+∠3=90°,
∴∠2=∠4.
在△ADF 和△BDE 中,$\begin{cases} ∠2=∠4, \\ AD=BD, \\ ∠DAF=∠DBE, \end{cases}$
∴△ADF≌△BDE(ASA),
∴DF=DE.
又∠EDF=90°,
∴△DEF 为等腰直角三角形.