1. 如图，$AB// CD$，$∠ E=40°$，$∠ A=110°$，则$∠ C=$°。

1. 70 解析:如图,记AE与CD的交点为F.因为$AB // CD$,所以$∠ A+ ∠ AFD = 180°$.因为$∠ A = 110°$,所以$∠ AFD = 70°$,所以$∠ CFE = ∠ AFD = 70°$.因为$∠ CEF=40°$,所以$∠ C=180° - ∠ CEF - ∠ CFE=180° - 40° - 70°=70°$.
一题多解 如图,过点 E 作 $EG// AB$,
因为 $AB// CD$,$EG// AB$,
所以 $CD// EG$,所以 $∠ GEA=180° - ∠ A=180° - 110°=70°$,
所以 $∠ CEG= ∠ CEA+ ∠ GEA=40°+70°=110°$,
所以 $∠ C=180° - ∠ CEG=180° - 110°=70°$.

2. 如图，$∠ AEC=80°$,在$∠ AEC$的两边上分别过点A和点C向同方向作射线AB和CD,且$AB// CD$,若$∠ EAB$和$∠ ECD$的平分线所在的直线交于点P(P与C不重合),则$∠ APC$的大小为.

2. 40°或140° 解析:①当$∠ EAB$为锐角时,如图①所示,过点E作$EF// AB$,过点 P 作 $PQ// AB$,因为 $AB// CD$,所以 $AB// CD// EF// PQ$.因为 $EF// AB$,$EF// CD$,所以 $∠ EAB+ ∠ AEC+ ∠ CEF=180°$, $∠ CEF+ ∠ ECD=180°$,所以 $∠ EAB+ ∠ AEC= ∠ ECD$,即 $∠ ECD- ∠ EAB= ∠ AEC=80°$.因为 $PQ// AB$,$PQ// CD$,所以 $∠ PAB+ ∠ APC+ ∠ CPQ=180°$, $∠ CPQ+ ∠ PCD=180°$,所以 $∠ PAB+ ∠ APC= ∠ PCD$,即 $∠ PCD - ∠ PAB = ∠ APC$.又因为点 P 为 $∠ EAB$ 和 $∠ ECD$ 的平分线所在的直线的交点,所以 $∠ PAB=\frac{1}{2}∠ EAB$,$∠ PCD=\frac{1}{2}∠ ECD$,所以 $∠ APC=∠ PCD-∠ PAB=\frac{1}{2}∠ ECD-\frac{1}{2}∠ EAB=\frac{1}{2}∠ AEC=40°$.
②当$∠ EAB$为钝角时,如图②所示,过点 E 作 $EF// AB$,过点P作$HQ// AB$,因为 $AB// CD$,所以 $AB// CD// EF// PQ$.因为 $EF// AB$,$EF// CD$,所以 $∠ BAE+ ∠ AEF=180°$, $∠ DCE+ ∠ CEF=180°$,所以 $∠ BAE+ ∠ AEF+ ∠ DCE+ ∠ CEF=360°$.因为 $∠ AEC= ∠ AEF+ ∠ CEF=80°$,所以 $∠ BAE+ ∠ DCE=280°$.因为 $PQ// AB$,$PQ// CD$,所以 $∠ DCP= ∠ HPC$, $∠ BAP= ∠ HPA$.又因为点 P 为 $∠ EAB$ 和 $∠ ECD$ 的平分线所在的直线的交点,所以 $∠ BAP=\frac{1}{2}∠ BAE$,$∠ DCP=\frac{1}{2}∠ DCE$,所以 $∠ BAP+ ∠ DCP=\frac{1}{2}( ∠ BAE+ ∠ DCE)=140°$,所以 $∠ APC= ∠ HPC+ ∠ HPA=140°$.综上所述,$∠ APC=40°$或$140°$.

3. 已知$AB// CD$，$E$是平面内一点，连接$AE$，$CE$.
(1) 如图①，若$∠ A = 160°$，$∠ C = 135°$，求$∠ AEC$的度数；
(2) 如图②，当点$E$在$CD$上方时，猜想$∠ A$，$∠ C$与$∠ AEC$之间的数量关系，并说明理由；
(3) 如图③，$AF$平分$∠ BAE$，连接$CF$，$∠ FCD = \frac{1}{6}∠ ECD$，若$∠ E = 30°$，$∠ AFC = 40°$，求$∠ FCD$的度数.

4. 我国古代观星，并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界现存古代星图中星数较多，年代最早的星图，绘制于唐代.元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿（东南西北各七宿，图①是其中的南方七宿之翼），编制了当时最先进的历法《授时历》.
小明学习了平行线知识，画出了“南方七宿之翼”的上半部分（如图②），$∠ 1 = α$，$∠ 2 = β$，$∠ 3 = \gamma$，$∠ 4 = θ$.
(1) 当$a// b$，$α=70°$，$β=25°$，$\gamma=30°$时，如图②，根据所学知识，可求得$∠ 4=$；
(2) 当$a// b$时，如图②，猜想$∠ 1$，$∠ 2$，$∠ 3$和$∠ 4$的数量关系是；
(3) 小明又发现，当$a$和$b$不平行时，则相交于点$P$，得到$∠ 5$，如图③，如果$m∠ 1 + n∠ 2 + m∠ 3 + n∠ 4 + n∠ 5$为定值，求$\frac{m}{n}$的值.

3. (1) 过点 E 作 $EF// AB$,如图①,所以 $AB// EF// CD$,所以 $∠ A+ ∠ AEF=180°$, $∠ C+ ∠ CEF=180°$.因为 $∠ A = 160°$,$∠ C=135°$,所以 $∠ AEF=180° - ∠ A=180° - 160°=20°$,$∠ CEF=180° - ∠ C=180° - 135°=45°$,所以 $∠ AEC= ∠ AEF+ ∠ CEF=20°+45°=65°$.
(2) $∠ C= ∠ AEC+ ∠ A$.理由如下:
延长 DC 交 AE 于点 F,如图②,因为 $AB// CD$,所以 $∠ CFE= ∠ A$.因为 $∠ DCE=180° - ∠ ECF=180° -(180° - ∠ AEC - ∠ CFE)= ∠ AEC+ ∠ CFE$,所以 $∠ DCE= ∠ AEC+ ∠ A$.
(3) 如图③,令 CD 与 AF 的交点为 M,由条件可得 $∠ DMF=180° - ∠ FMC=180° -(180° - ∠ FCD - ∠ F)= ∠ FCD+ ∠ F$.因为 $AB// CD$,所以 $∠ BAF= ∠ DMF= ∠ FCD+ ∠ F$.因为 AF 平分 $∠ BAE$,所以 $∠ BAE=2 ∠ BAF=2 ∠ FCD+2 ∠ F$.由(2)可得 $∠ DCE= ∠ BAE+ ∠ E$,因为 $∠ FCD=\frac{1}{6}∠ ECD$,所以 $∠ ECD=6 ∠ FCD$,所以 $6 ∠ FCD=2 ∠ FCD+2 ∠ F+ ∠ E$.因为 $∠ E=30°$,$∠ AFC=40°$,所以 $∠ FCD=27.5°$.

4. (1) 75° 解析:如图①,分别过 A,B 两点作 $AC// a$,$BD// a$,因为 $a// b$,所以 $a// AC// BD// b$,所以 $∠ CAB- ∠ 3+ ∠ 4=180°$,$∠ 1= ∠ 2+ ∠ ABD$,$∠ CAB+ ∠ ABD=180°$,所以 $∠ CAB=180°+ ∠ 3- ∠ 4$,$∠ ABD= ∠ 1- ∠ 2$,所以 $180°+ ∠ 3- ∠ 4+ ∠ 1- ∠ 2=180°$,所以 $∠ 1+ ∠ 3= ∠ 2+ ∠ 4$.因为 $∠ 1=α=70°$,$∠ 2=β=25°$,$∠ 3=\gamma=30°$,所以 $∠ 4=70°+30°-25°=75°$.
(2) $∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 4$ 解析:由(1)中解析可知$∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 4$.
(3) 如图②,分别过 A,B,E 作 $AC// a$,$BD// a$,$EF// a$,所以 $a// AC// BD// EF$,所以 $∠ PEF= ∠ 5$,$∠ CAE+ ∠ 4+ ∠ PEF=180°$,$∠ CAE+ ∠ 3+ ∠ ABD=180°$,$∠ 1= ∠ 2+ ∠ ABD$,所以 $∠ CAE=180°- ∠ 4- ∠ 5$,$∠ ABD= ∠ 1- ∠ 2$,所以 $180°- ∠ 4- ∠ 5+ ∠ 3+ ∠ 1- ∠ 2=180°$,即 $(∠ 1+ ∠ 3)-(∠ 2+ ∠ 4+ ∠ 5)=0°$.因为 $m ∠ 1+n ∠ 2+m ∠ 3+n ∠ 4+n ∠ 5$ 为定值,即 $m(∠ 1+∠ 3)+n(∠ 2+∠ 4+∠ 5)$ 为定值,所以 m,n 互为相反数,所以 $\frac{m}{n}=-1$.