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10. (1)已知关于$x,y$的多项式$mx^3+3nxy^2-2x^3-xy^2+y$中不含三次项,则式子$2m+3n$的值是
(2)关于$x$的多项式$(a-2)x^2+2x^{a+1}+3x^3 -a+4$($a＞0$)合并后是三项式,则$a$的值为
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.(2)关于$x$的多项式$(a-2)x^2+2x^{a+1}+3x^3 -a+4$($a＞0$)合并后是三项式,则$a$的值为
1或4
.答案
10. (1)5 解析:因为 $mx^3+3nxy^2-2x^3-xy^2+y = (m-2)x^3+(3n-1)xy^2+y$ 中不含三次项,所以 $m-2=0$ 且 $3n-1=0$,解得 $m=2,n=\frac{1}{3}$,则 $2m+3n=4+1=5$.
(2)1 或 4 解析:当 $a+1=2$,即 $a=1$ 时,原式 $=x^2+3x^3+3$,符合题意;当 $a+1=3$,即 $a=2$ 时,原式 $=5x^3+2$,不符合题意;当 $-a+4=0$,即 $a=4$ 时,原式 $=2x^2+2x^5+3x^3$,符合题意;当 $a-2=0$,即 $a=2$ 时,原式 $=5x^3+2$,不符合题意.综上,$a$ 的值为 1 或 4.
(2)1 或 4 解析:当 $a+1=2$,即 $a=1$ 时,原式 $=x^2+3x^3+3$,符合题意;当 $a+1=3$,即 $a=2$ 时,原式 $=5x^3+2$,不符合题意;当 $-a+4=0$,即 $a=4$ 时,原式 $=2x^2+2x^5+3x^3$,符合题意;当 $a-2=0$,即 $a=2$ 时,原式 $=5x^3+2$,不符合题意.综上,$a$ 的值为 1 或 4.
11. (2025·上海期中)如果一个多项式的各个项的次数都相同，那么我们就称这个多项式为齐次多项式.例如：$x^2+2xy+y^2$，它各个项的次数都是二次的，我们就说这个多项式是齐次多项式.已知多项式$A=x^2-xy+2$，若多项式A与一个三次整式B的和为齐次多项式，那么这个三次整式B可以是
$x^3+y^3-x^2+xy-2$(答案不唯一)
(写出一个符合要求的即可).答案
11. $x^3+y^3-x^2+xy-2$(答案不唯一) 解析:根据题意,多项式 $A=x^2-xy+2$ 不是齐次多项式,其最高次数为 2,而整式 B 为三次整式,故只需 B 含有多项式 $-x^2+xy-2$ 让其与 A 合并相消,且其余各项次数为 3 即可.所以三次整式 B 可以为 $x^3+y^3-x^2+xy-2$.(答案不唯一)
12. (1)有这样一道题:“当$a=2025, b=-2026$时,求多项式$8a^3 -5a^3b +3a^2b +4a^3 +5a^3b -3a^2b -12a^3 +2026$的值.”小明认为:本题中$a=2025, b=-2026$是多余的条件.小强反对说:“这不可能,多项式中含有$a$和$b$,如果不给出$a,b$的值,那么就不能求出多项式的值.”你同意谁的观点?请说明理由.
(2)已知代数式$3x^2 +2bx -y +4 -\frac{1}{2}ax^2 -7x +5y$的值与字母$x$的取值无关,求$a,b$的值.
(2)已知代数式$3x^2 +2bx -y +4 -\frac{1}{2}ax^2 -7x +5y$的值与字母$x$的取值无关,求$a,b$的值.
答案
12. (1)我同意小明的观点.理由如下:$8a^3 -5a^3b +3a^2b +4a^3 +5a^3b -3a^2b -12a^3 +2026 = (8+4-12)a^3 + (5-5)a^3b + (3-3)a^2b + 2026 = 2026$,因为结果与 $a,b$ 的值无关,所以本题中 $a=2025,b=-2026$ 是多余的条件.故同意小明的观点.
(2)$3x^2 +2bx -y +4 -\frac{1}{2}ax^2 -7x +5y = (3-\frac{1}{2}a)x^2 + (2b-7)x +4y +4$,因为代数式 $3x^2 +2bx -y +4 -\frac{1}{2}ax^2 -7x +5y$ 的值与字母 $x$ 的取值无关,所以 $3-\frac{1}{2}a=0,2b-7=0$,解得 $a=6,b=\frac{7}{2}$.
(2)$3x^2 +2bx -y +4 -\frac{1}{2}ax^2 -7x +5y = (3-\frac{1}{2}a)x^2 + (2b-7)x +4y +4$,因为代数式 $3x^2 +2bx -y +4 -\frac{1}{2}ax^2 -7x +5y$ 的值与字母 $x$ 的取值无关,所以 $3-\frac{1}{2}a=0,2b-7=0$,解得 $a=6,b=\frac{7}{2}$.
13. 新题型 新定义 “柳庭风静人眠昼,昼眠人静风庭柳”,从左向右读与从右向左读完全相同,这样的诗称为回文诗.在数学中也有这样的一类数.一个自然数从左向右读与从右向左读完全相等,这样的数称为回文数,如121与1221均为回文数.回文数减去其各个数位上的数字的差值称为回自差,如121的回自差为$121-1-2-1=117$.
(1)请你直接写出最小的三位回文数,并求其回自差.
(2)任意三位回文数的回自差最大能被哪个正整数整除?请你说明理由.
(1)请你直接写出最小的三位回文数,并求其回自差.
(2)任意三位回文数的回自差最大能被哪个正整数整除?请你说明理由.
答案
13. (1)由题意得,最小的三位回文数为 101,所以最小的三位回文数的回自差为 $101-1-0-1=99$.
(2)任意三位回文数的回自差最大能被 9 整除,理由如下:设一个三位回文数为$\overline{aba}$($a≠0$),其中 $a,b$ 都为不超过 9 的自然数,则该三位回文数为 $100a+10b+a=101a+10b$,所以该三位回文数的回自差为 $101a+10b-a-b-a=99a+9b$.因为 $a,b$ 都是整数,99a 和 9b 都能被 9 整除,所以任意三位回文数的回自差最大能被 9 整除.
(2)任意三位回文数的回自差最大能被 9 整除,理由如下:设一个三位回文数为$\overline{aba}$($a≠0$),其中 $a,b$ 都为不超过 9 的自然数,则该三位回文数为 $100a+10b+a=101a+10b$,所以该三位回文数的回自差为 $101a+10b-a-b-a=99a+9b$.因为 $a,b$ 都是整数,99a 和 9b 都能被 9 整除,所以任意三位回文数的回自差最大能被 9 整除.
14. 某市要建一条高速公路,其中的一段经公开招标,由某建筑公司中标.在建筑过程中,该公司为了保质保量提前完工,投入了甲、乙、丙三个工程队同时进行施工,经过一段时间后,甲工程队筑路$a$ km,乙工程队所筑的路比甲工程队的$\frac{2}{3}$多18 km,丙工程队所筑的路比甲工程队的2倍少3 km.问甲、乙、丙三个工程队共筑路多少千米?若该段高速公路长为1 200 km,当$a=300$时,完成任务了吗?
答案
14. 根据题意得,乙工程队所筑的路是 $(\frac{2}{3}a+18)\mathrm{km}$,丙工程队所筑的路是 $(2a-3)\mathrm{km}$.甲、乙、丙三个工程队共筑路 $a+\frac{2}{3}a+18+2a-3 = (1+\frac{2}{3}+2)a+(18-3) = (\frac{11}{3}a+15)\mathrm{km}$.
当 $a=300$ 时, $\frac{11}{3}a +15 = \frac{11}{3} × 300 +15 = 1100+15 = 1115(\mathrm{km})$.因为 $1115＜1200$,所以当 $a=300$ 时,没有完成任务.
当 $a=300$ 时, $\frac{11}{3}a +15 = \frac{11}{3} × 300 +15 = 1100+15 = 1115(\mathrm{km})$.因为 $1115＜1200$,所以当 $a=300$ 时,没有完成任务.
