登录
7. 多项式 $x^2 + mx + 5$ 因式分解得 $(x + 5)(x + n)$，则m的值是。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：将等式右侧展开，得
$(x+5)(x+n)=x^2+(5+n)x+5n$
由多项式相等对应项系数相等，可得：
$\begin{cases}5n=5\\m=5+n\end{cases}$
由$5n=5$解得$n=1$，将$n=1$代入$m=5+n$，得$m=5+1=6$。
$(x+5)(x+n)=x^2+(5+n)x+5n$
由多项式相等对应项系数相等，可得：
$\begin{cases}5n=5\\m=5+n\end{cases}$
由$5n=5$解得$n=1$，将$n=1$代入$m=5+n$，得$m=5+1=6$。
8.已知多项式$x^2+ax+b$因式分解的结果为$(x+3)(x-4)$，求$a,b$的值。
答案
解：将$(x+3)(x-4)$展开：
$\begin{aligned}(x+3)(x-4)&=x^2 -4x +3x -12\\&=x^2 -x -12\end{aligned}$
由题意得$x^2+ax+b = x^2 -x -12$，对比等式两边对应项的系数，可得：
$a=-1$，$b=-12$。
$\begin{aligned}(x+3)(x-4)&=x^2 -4x +3x -12\\&=x^2 -x -12\end{aligned}$
由题意得$x^2+ax+b = x^2 -x -12$，对比等式两边对应项的系数，可得：
$a=-1$，$b=-12$。
9.若多项式$x^2 - ax -1$可分解为$(x-2)(x-b)$，则$a+b$的值为（）
A.2
B.1
C.-2
D.-1
A.2
B.1
C.-2
D.-1
答案
B
解析
先展开右侧的整式：$(x-2)(x-b)=x^2-(2+b)x+2b$，根据多项式相等时对应项系数相等，可得：
1. 常数项对应：$2b=-1$，解得$b=-\frac{1}{2}$
2. 一次项系数对应：$-a=-(2+b)$，即$a=2+b$，代入$b=-\frac{1}{2}$得$a=\frac{3}{2}$
因此$a+b=\frac{3}{2}+(-\frac{1}{2})=1$
1. 常数项对应：$2b=-1$，解得$b=-\frac{1}{2}$
2. 一次项系数对应：$-a=-(2+b)$，即$a=2+b$，代入$b=-\frac{1}{2}$得$a=\frac{3}{2}$
因此$a+b=\frac{3}{2}+(-\frac{1}{2})=1$
10.已知多项式$x^2 - 3x + k$分解因式后有一个因式是$x - 4$，则$k$的值为（）
A.4
B.$-4$
C.12
D.$-12$
A.4
B.$-4$
C.12
D.$-12$
答案
B
解析
设多项式的另一个因式为$x+m$，可得$x^2 - 3x + k=(x-4)(x+m)$，将右边展开得$x^2+(m-4)x-4m$。对比等式两边对应项系数：一次项系数满足$m-4=-3$，解得$m=1$；常数项满足$k=-4m$，代入$m=1$得$k=-4$。
11.若多项式$2x^2 + 3x - m$能分解成两个因式的积，且其中一个因式为$x+2$，则$m$的值为。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：设多项式$2x^2 + 3x - m$的另一个因式为$2x + a$，
则$2x^2 + 3x - m = (x + 2)(2x + a)$，
将等式右侧展开得：
$(x + 2)(2x + a) = 2x^2 + (a + 4)x + 2a$，
对比等式两边多项式的对应系数：
$a + 4 = 3$，解得$a = -1$，
由常数项对应相等得：$-m = 2a$，
将$a=-1$代入得：$-m = 2×(-1) = -2$，
解得$m = 2$。
最终
则$2x^2 + 3x - m = (x + 2)(2x + a)$，
将等式右侧展开得：
$(x + 2)(2x + a) = 2x^2 + (a + 4)x + 2a$，
对比等式两边多项式的对应系数：
$a + 4 = 3$，解得$a = -1$，
由常数项对应相等得：$-m = 2a$，
将$a=-1$代入得：$-m = 2×(-1) = -2$，
解得$m = 2$。
最终
12. 有下列变形:①$(x-1)(x+2)=x^2+x-2$;②$x^2-7x+6=(x-1)(x-6)$;③$x^2-2x-10=x(x-2)-10$。其中是整式乘法的有，是因式分解的有。(均填序号)
答案
解：
根据整式乘法的定义：将几个整式的积转化为多项式的运算，可知①符合整式乘法的特征；
根据因式分解的定义：将一个多项式转化为几个整式的积的形式，可知②符合因式分解的特征；
③中等式右侧不是几个整式乘积的形式，既不属于整式乘法也不属于因式分解。
因此是整式乘法的有$\boldsymbol{①}$，是因式分解的有$\boldsymbol{②}$。
根据整式乘法的定义：将几个整式的积转化为多项式的运算，可知①符合整式乘法的特征；
根据因式分解的定义：将一个多项式转化为几个整式的积的形式，可知②符合因式分解的特征；
③中等式右侧不是几个整式乘积的形式，既不属于整式乘法也不属于因式分解。
因此是整式乘法的有$\boldsymbol{①}$，是因式分解的有$\boldsymbol{②}$。
13. 若关于$x$的二次三项式$3x^2+mx-n$分解因式的结果为$(3x+2)(x-1)$，求$m+n$的值。
答案
解：先展开因式分解的结果：
$\begin{aligned}(3x+2)(x-1)&=3x· x + 3x·(-1) + 2· x + 2·(-1)\\&=3x^2 -3x + 2x -2\\&=3x^2 -x -2\end{aligned}$
由题意得$3x^2+mx-n=3x^2 -x -2$，对比对应项系数可得：
$m=-1$，$-n=-2$，即$n=2$。
因此$m+n=-1+2=1$。
$\begin{aligned}(3x+2)(x-1)&=3x· x + 3x·(-1) + 2· x + 2·(-1)\\&=3x^2 -3x + 2x -2\\&=3x^2 -x -2\end{aligned}$
由题意得$3x^2+mx-n=3x^2 -x -2$，对比对应项系数可得：
$m=-1$，$-n=-2$，即$n=2$。
因此$m+n=-1+2=1$。
14.已知整式$A=x(x+3)+5$，$B=ax-1$。若$A+B$可以分解为$(x-1)(x-4)$，求$a$的值。
答案
解：
先化简整式$A$：
$A = x(x+3) + 5 = x^2 + 3x + 5$
计算$A+B$：
$A+B = x^2 + 3x + 5 + ax - 1 = x^2 + (3+a)x + 4$
展开因式乘积：
$(x-1)(x-4) = x^2 - 5x + 4$
由题意得$A+B=(x-1)(x-4)$，两个多项式对应一次项系数相等：
$3 + a = -5$
解得$a = -8$
先化简整式$A$：
$A = x(x+3) + 5 = x^2 + 3x + 5$
计算$A+B$：
$A+B = x^2 + 3x + 5 + ax - 1 = x^2 + (3+a)x + 4$
展开因式乘积：
$(x-1)(x-4) = x^2 - 5x + 4$
由题意得$A+B=(x-1)(x-4)$，两个多项式对应一次项系数相等：
$3 + a = -5$
解得$a = -8$
15. 二次三项式 $a^2 + 4a + b$ 可以分解为两个因式的积，且其中一个因式为 $a + 3$。求另一个因式及 $b$ 的值。
答案
解：设另一个因式为$a + m$，则
$a^2 + 4a + b = (a + 3)(a + m)$
将等式右边展开得：
$(a + 3)(a + m) = a^2 + (m + 3)a + 3m$
对比等式左右两边对应项的系数，可得：
$\begin{cases}m + 3 = 4 \\b = 3m\end{cases}$
解得$m=1$，$b=3$。
答：另一个因式为$a+1$，$b$的值为3。
$a^2 + 4a + b = (a + 3)(a + m)$
将等式右边展开得：
$(a + 3)(a + m) = a^2 + (m + 3)a + 3m$
对比等式左右两边对应项的系数，可得：
$\begin{cases}m + 3 = 4 \\b = 3m\end{cases}$
解得$m=1$，$b=3$。
答：另一个因式为$a+1$，$b$的值为3。
