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1 一个正方体的6个面上分别标有字母a,b,c,d,e,f.如图所示为甲、乙两名同学分别在f,e朝上时，看到的另两个字母，则b对面的字母是
d
.答案
1. d
解析
【分析】
要判断正方体两个面的相对关系，可利用“正方体每个面有且仅有4个相邻面，剩下的1个面就是它的对面”的规律，用排除法解题。首先找已知面d的所有相邻面，排除这些面后，剩下的就是d的对面，即可得到b的对面字母。
【解析】
正方体的任意一个面都有4个相邻面、1个相对面。
从图甲可知：面d和面a、面f相邻；
从图乙可知：面d和面e、面c相邻；
综上，面d的相邻面有a、f、e、c共4个，正方体6个面分别是a、b、c、d、e、f，因此面d的对面只能是面b，即b对面的字母是d。
【答案】
d
【知识点】
正方体相对面特征；排除法推理
【点评】
本题是正方体相对面判断的常见题型，借助相邻面排除法可以避开复杂的空间想象，快速得出结果，解题关键是找到某个面的所有相邻面。
【难度系数】
0.7
要判断正方体两个面的相对关系，可利用“正方体每个面有且仅有4个相邻面，剩下的1个面就是它的对面”的规律，用排除法解题。首先找已知面d的所有相邻面，排除这些面后，剩下的就是d的对面，即可得到b的对面字母。
【解析】
正方体的任意一个面都有4个相邻面、1个相对面。
从图甲可知：面d和面a、面f相邻；
从图乙可知：面d和面e、面c相邻；
综上，面d的相邻面有a、f、e、c共4个，正方体6个面分别是a、b、c、d、e、f，因此面d的对面只能是面b，即b对面的字母是d。
【答案】
d
【知识点】
正方体相对面特征；排除法推理
【点评】
本题是正方体相对面判断的常见题型，借助相邻面排除法可以避开复杂的空间想象，快速得出结果，解题关键是找到某个面的所有相邻面。
【难度系数】
0.7
2 [2025启东期末]桌面上摆着一个由若干大小一样的正方体木块组成的立体图形，从前面看，得到的平面图形如图①所示，从左面看，得到的平面图形如图②所示，则要摆出这样的图形最多需用
20
块正方体木块。答案
2. 20
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确主视图和左视图的含义：主视图（从前面看到的图①）反映立体图形从左到右每一列的最大高度，左视图（从左面看到的图②）反映立体图形从后到前每一排的最大高度。要使小正方体木块数量最多，每个位置摆放的小正方体层数，取该位置所在列的最大高度和所在排的最大高度的较小值，最后将所有位置的层数相加即可得到总数。
先分析主视图①：从左到右共4列，各列最大高度依次为2层、2层、1层、1层。
再分析左视图②：从左到右共4列（对应立体图形的4排，从后到前），各排最大高度依次为2层、1层、1层、2层。
【解析】
逐列计算每列最多可摆放的小正方体数量：
1. 第1列（最大高度2层）：
4排每层数量分别为$\min(2,2)=2$、$\min(2,1)=1$、$\min(2,1)=1$、$\min(2,2)=2$，总和为$2+1+1+2=6$块；
2. 第2列（最大高度2层）：
和第1列计算方式相同，总和为6块；
3. 第3列（最大高度1层）：
4排每层数量均为$\min(1,对应排高)=1$，总和为$1×4=4$块；
4. 第4列（最大高度1层）：
和第3列计算方式相同，总和为4块。
将四列数量相加：$6+6+4+4=20$块。
【答案】
20
【知识点】
三视图判断几何体
【点评】
本题考查根据两个视图确定几何体最多小正方体个数的问题，解题核心是理清主视图对应列高、左视图对应排高的规律，最多的情况就是每个位置取列高和排高的较小值求和，熟练掌握该规律就能快速求解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确主视图和左视图的含义：主视图（从前面看到的图①）反映立体图形从左到右每一列的最大高度，左视图（从左面看到的图②）反映立体图形从后到前每一排的最大高度。要使小正方体木块数量最多，每个位置摆放的小正方体层数，取该位置所在列的最大高度和所在排的最大高度的较小值，最后将所有位置的层数相加即可得到总数。
先分析主视图①：从左到右共4列，各列最大高度依次为2层、2层、1层、1层。
再分析左视图②：从左到右共4列（对应立体图形的4排，从后到前），各排最大高度依次为2层、1层、1层、2层。
【解析】
逐列计算每列最多可摆放的小正方体数量：
1. 第1列（最大高度2层）：
4排每层数量分别为$\min(2,2)=2$、$\min(2,1)=1$、$\min(2,1)=1$、$\min(2,2)=2$，总和为$2+1+1+2=6$块；
2. 第2列（最大高度2层）：
和第1列计算方式相同，总和为6块；
3. 第3列（最大高度1层）：
4排每层数量均为$\min(1,对应排高)=1$，总和为$1×4=4$块；
4. 第4列（最大高度1层）：
和第3列计算方式相同，总和为4块。
将四列数量相加：$6+6+4+4=20$块。
【答案】
20
【知识点】
三视图判断几何体
【点评】
本题考查根据两个视图确定几何体最多小正方体个数的问题，解题核心是理清主视图对应列高、左视图对应排高的规律，最多的情况就是每个位置取列高和排高的较小值求和，熟练掌握该规律就能快速求解。
【难度系数】
0.6
3 如图所示为由6个相同的正方体组成的立体图形，试分别画出从前面、左面、上面看它得到的平面图形。
答案
3. 如图所示
解析
【分析】
要绘制立体图形的三视图，首先要明确三个视图的观察方向：从前面看是正对立体图形（箭头指示方向）观察，从左面看是站在立体图形左侧向右观察，从上面看是站在立体图形顶部向下观察。观察时遵循“先确定列数，再确定每列正方形的层数/个数”的思路，逐一确认每个位置是否存在正方形，最后组合得到对应平面图形。
【解析】
1. 绘制从前面看的图形：正对立体图形观察，共2列，左列有2层，右列只有1层，因此下排画2个横向排列的正方形，在左列正方形上方再画1个正方形。
2. 绘制从左面看的图形：站在立体图形左侧向右观察，共3列，左列有2层，中间、右列各只有1层，因此下排画3个横向排列的正方形，在左列正方形上方再画1个正方形。
3. 绘制从上面看的图形：站在立体图形顶部向下观察，共2列，左列有3个纵向排列的正方形，右列有2个纵向排列的正方形、与左列上方的2个正方形对齐。
【答案】
如图所示
【知识点】
三视图绘制；简单组合体的三视图；几何体观察方法
【点评】
本题是几何视图的基础题型，核心考查三视图的绘制方法，解题的关键是找准观察方向，准确判断每列正方形的数量和位置，避免多画、漏画正方形。
【难度系数】
0.8
要绘制立体图形的三视图，首先要明确三个视图的观察方向：从前面看是正对立体图形（箭头指示方向）观察，从左面看是站在立体图形左侧向右观察，从上面看是站在立体图形顶部向下观察。观察时遵循“先确定列数，再确定每列正方形的层数/个数”的思路，逐一确认每个位置是否存在正方形，最后组合得到对应平面图形。
【解析】
1. 绘制从前面看的图形：正对立体图形观察，共2列，左列有2层，右列只有1层，因此下排画2个横向排列的正方形，在左列正方形上方再画1个正方形。
2. 绘制从左面看的图形：站在立体图形左侧向右观察，共3列，左列有2层，中间、右列各只有1层，因此下排画3个横向排列的正方形，在左列正方形上方再画1个正方形。
3. 绘制从上面看的图形：站在立体图形顶部向下观察，共2列，左列有3个纵向排列的正方形，右列有2个纵向排列的正方形、与左列上方的2个正方形对齐。
【答案】
如图所示
【知识点】
三视图绘制；简单组合体的三视图；几何体观察方法
【点评】
本题是几何视图的基础题型，核心考查三视图的绘制方法，解题的关键是找准观察方向，准确判断每列正方形的数量和位置，避免多画、漏画正方形。
【难度系数】
0.8
4 下列说法错误的是 （
A.直线AB和直线BA是同一条直线
B.若线段AB=5,AC=3,则BC的长不可能是1
C.画一条5 cm长的线段
D.若线段AM=2,BM=2,则M为线段AB的中点
D
）A.直线AB和直线BA是同一条直线
B.若线段AB=5,AC=3,则BC的长不可能是1
C.画一条5 cm长的线段
D.若线段AM=2,BM=2,则M为线段AB的中点
答案
4. D
解析
【分析】
本题是直线、线段相关基础概念的辨析题，要求选出错误说法，解题时需逐一结合对应概念判断每个选项的正误：首先回忆直线的表示规则、线段长度的可测性、线段和差的取值范围、线段中点的定义，逐个验证选项，找到不符合概念的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：用两个大写字母表示直线时，字母无先后顺序，因此直线AB和直线BA是同一条直线，该说法正确，不符合题意。
B选项：分两种情况讨论：①若A、B、C三点共线，当点C在线段AB上时，BC=AB-AC=5-3=2；当点C在线段BA的延长线上时，BC=AB+AC=5+3=8。②若三点不共线，根据“两点之间，线段最短”可得AC+BC＞AB，代入数值得3+BC＞5，即BC＞2。综上BC的长度最小为2，不可能是1，该说法正确，不符合题意。
C选项：线段有确定的长度，因此可以画出长度为5cm的线段，该说法正确，不符合题意。
D选项：线段中点的定义为：若点M在线段AB上，且AM=BM，则点M是线段AB的中点。若点M不在线段AB上，即使AM=BM=2，M也不是AB的中点，因此该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直线的表示；线段的和差；线段中点的定义
【点评】
本题考查几何入门阶段的基础概念辨析，易错点是判断D选项时忽略线段中点定义中“点必须在线段上”的前提，学习基础概念时要注意把握概念的完整条件，避免漏看限制条件出错。
【难度系数】
0.7
本题是直线、线段相关基础概念的辨析题，要求选出错误说法，解题时需逐一结合对应概念判断每个选项的正误：首先回忆直线的表示规则、线段长度的可测性、线段和差的取值范围、线段中点的定义，逐个验证选项，找到不符合概念的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：用两个大写字母表示直线时，字母无先后顺序，因此直线AB和直线BA是同一条直线，该说法正确，不符合题意。
B选项：分两种情况讨论：①若A、B、C三点共线，当点C在线段AB上时，BC=AB-AC=5-3=2；当点C在线段BA的延长线上时，BC=AB+AC=5+3=8。②若三点不共线，根据“两点之间，线段最短”可得AC+BC＞AB，代入数值得3+BC＞5，即BC＞2。综上BC的长度最小为2，不可能是1，该说法正确，不符合题意。
C选项：线段有确定的长度，因此可以画出长度为5cm的线段，该说法正确，不符合题意。
D选项：线段中点的定义为：若点M在线段AB上，且AM=BM，则点M是线段AB的中点。若点M不在线段AB上，即使AM=BM=2，M也不是AB的中点，因此该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直线的表示；线段的和差；线段中点的定义
【点评】
本题考查几何入门阶段的基础概念辨析，易错点是判断D选项时忽略线段中点定义中“点必须在线段上”的前提，学习基础概念时要注意把握概念的完整条件，避免漏看限制条件出错。
【难度系数】
0.7
5 P为线段AB上一点，且$AP=\frac{2}{5}AB$，M是线段AB的中点.若PM=3 cm,则AB=
30
cm.答案
5. 30
解析
【分析】
解题时首先将线段AB的长度看作整体，结合已知条件分别用AB表示出AM、AP的长度，再根据线段的差的关系找到PM与AB的数量关系，最后代入PM的长度即可求出AB的长度。具体思考步骤：1. 回忆线段中点的性质，中点把线段分成相等的两部分，所以AM是AB的一半；2. 对比AP和AM的长度，可知PM的长度等于AM减去AP的长度；3. 计算出PM对应的AB的分率，用PM的实际长度除以分率就能得到AB的总长。
【解析】
解：设AB的长度为$ x $ cm。
∵ M是线段AB的中点，
∴ $ AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}x $
又
∵ $ AP = \frac{2}{5}AB = \frac{2}{5}x $，且P在线段AB上，
∴ $ PM = AM - AP $
已知$ PM=3\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ \frac{1}{2}x - \frac{2}{5}x = 3 $
通分计算：$ \frac{5}{10}x - \frac{4}{10}x = 3 $
即 $ \frac{1}{10}x = 3 $
解得 $ x = 30 $
【答案】
30
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是找准各线段之间的数量关系，通过将未知线段设为未知数建立等量关系求解，是线段章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先将线段AB的长度看作整体，结合已知条件分别用AB表示出AM、AP的长度，再根据线段的差的关系找到PM与AB的数量关系，最后代入PM的长度即可求出AB的长度。具体思考步骤：1. 回忆线段中点的性质，中点把线段分成相等的两部分，所以AM是AB的一半；2. 对比AP和AM的长度，可知PM的长度等于AM减去AP的长度；3. 计算出PM对应的AB的分率，用PM的实际长度除以分率就能得到AB的总长。
【解析】
解：设AB的长度为$ x $ cm。
∵ M是线段AB的中点，
∴ $ AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}x $
又
∵ $ AP = \frac{2}{5}AB = \frac{2}{5}x $，且P在线段AB上，
∴ $ PM = AM - AP $
已知$ PM=3\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ \frac{1}{2}x - \frac{2}{5}x = 3 $
通分计算：$ \frac{5}{10}x - \frac{4}{10}x = 3 $
即 $ \frac{1}{10}x = 3 $
解得 $ x = 30 $
【答案】
30
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是找准各线段之间的数量关系，通过将未知线段设为未知数建立等量关系求解，是线段章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
6 若一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，则把这一点叫作这条折线的“折中点”. 如图，因为$MP=OP+ON$，所以P即为折线$M-O-N$的“折中点”. 若在折线$A-O-B$中，C是它的“折中点”，且$OB=8$，$OC=3$，则$OA=$
2或14
. 答案
6. 2或14
解析
【分析】
首先准确理解“折中点”的定义：折中点将折线分成等长的两部分，折线A-O-B的总长度为OA+OB，因此折中点分割后的每部分长度均为$\frac{1}{2}(OA+OB)$。由于点C的位置不确定，可能在线段OA上，也可能在线段OB上，需分两种情况结合线段的和差关系列方程求解，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点C在线段OA上时：
根据折中点的定义，$AC = CO + OB$，
其中$AC = OA - OC$，已知$OC=3$，$OB=8$，代入得：
$OA - 3 = 3 + 8$
解得$OA = 14$。
2. 当点C在线段OB上时：
根据折中点的定义，$OA + OC = CB$，
其中$CB = OB - OC = 8 - 3 = 5$，代入得：
$OA + 3 = 5$
解得$OA = 2$。
综上，OA的长度为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
新定义问题、线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题解题核心是正确理解“折中点”的新定义，易错点是未考虑点C的位置有两种可能，出现漏解。解题时需结合线段的位置分情况讨论，再根据线段和差的等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.6
首先准确理解“折中点”的定义：折中点将折线分成等长的两部分，折线A-O-B的总长度为OA+OB，因此折中点分割后的每部分长度均为$\frac{1}{2}(OA+OB)$。由于点C的位置不确定，可能在线段OA上，也可能在线段OB上，需分两种情况结合线段的和差关系列方程求解，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点C在线段OA上时：
根据折中点的定义，$AC = CO + OB$，
其中$AC = OA - OC$，已知$OC=3$，$OB=8$，代入得：
$OA - 3 = 3 + 8$
解得$OA = 14$。
2. 当点C在线段OB上时：
根据折中点的定义，$OA + OC = CB$，
其中$CB = OB - OC = 8 - 3 = 5$，代入得：
$OA + 3 = 5$
解得$OA = 2$。
综上，OA的长度为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
新定义问题、线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题解题核心是正确理解“折中点”的新定义，易错点是未考虑点C的位置有两种可能，出现漏解。解题时需结合线段的位置分情况讨论，再根据线段和差的等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.6
7 如图，B，C 是线段 AD 上的两点，且 AB：BC：CD＝3：2：5，E，F 分别是 AB，CD 的中点，且 EF＝24. 求线段 AB，BC，CD 的长. 
答案
7. 因为AB：BC：CD=3：2：5，所以可设AB=3x,BC=2x,CD=5x。因为E,F分别是AB,CD的中点，所以$BE=\frac{3}{2}x$，$CF=\frac{5}{2}x$。因为BE+BC+CF=EF，所以$\frac{3}{2}x +2x +\frac{5}{2}x=24$，解得$x=4$。所以AB=12,BC=8,CD=20
解析
【分析】
遇到线段长度成比例的问题，可通过设参数的方法简化计算：首先根据AB:BC:CD的比例关系，设每份长度为x，将AB、BC、CD的长度均用含x的式子表示；再结合线段中点的性质，求出BE、CF的长度；观察图形可知EF由BE、BC、CF三段组成，已知EF=24，据此列关于x的一元一次方程，解方程求出x后，即可算出各线段的长度。
【解析】
解：
∵ AB:BC:CD＝3:2:5
∴ 设AB=3x，BC=2x，CD=5x（x＞0）
∵ E是AB的中点，F是CD的中点
∴ $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}x$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{5}{2}x$
由线段和差关系得：EF = BE + BC + CF，已知EF=24
∴ $\frac{3}{2}x + 2x + \frac{5}{2}x = 24$
合并同类项得：$6x=24$
解得：$x=4$
∴ AB=3×4=12，BC=2×4=8，CD=5×4=20
【答案】
AB=12，BC=8，CD=20
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是线段计算的常规题型，核心是利用比例设参数的方法统一表示未知线段，结合线段中点性质和和差关系建立方程求解，体现了数形结合、方程思想在几何计算中的应用，掌握该方法可高效解决同类线段比例类计算问题。
【难度系数】
0.7
遇到线段长度成比例的问题，可通过设参数的方法简化计算：首先根据AB:BC:CD的比例关系，设每份长度为x，将AB、BC、CD的长度均用含x的式子表示；再结合线段中点的性质，求出BE、CF的长度；观察图形可知EF由BE、BC、CF三段组成，已知EF=24，据此列关于x的一元一次方程，解方程求出x后，即可算出各线段的长度。
【解析】
解：
∵ AB:BC:CD＝3:2:5
∴ 设AB=3x，BC=2x，CD=5x（x＞0）
∵ E是AB的中点，F是CD的中点
∴ $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}x$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{5}{2}x$
由线段和差关系得：EF = BE + BC + CF，已知EF=24
∴ $\frac{3}{2}x + 2x + \frac{5}{2}x = 24$
合并同类项得：$6x=24$
解得：$x=4$
∴ AB=3×4=12，BC=2×4=8，CD=5×4=20
【答案】
AB=12，BC=8，CD=20
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是线段计算的常规题型，核心是利用比例设参数的方法统一表示未知线段，结合线段中点性质和和差关系建立方程求解，体现了数形结合、方程思想在几何计算中的应用，掌握该方法可高效解决同类线段比例类计算问题。
【难度系数】
0.7
