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8 [2026通州段测]如图，B，C两点把线段AD分成三部分，AB:BC:CD=2:5:3，E为AD的中点.
（1）判断线段AB与CE的大小关系，并说明理由；
（2）若BE=CE+4，求AC的长.
（第8题）
（1）判断线段AB与CE的大小关系，并说明理由；
（2）若BE=CE+4，求AC的长.
（第8题）答案
8. （1）AB=CE 理由:因为B,C两点把线段AD分成三部分，AB:BC:CD=2:5:3，所以$AB=\frac{2}{3}CD$,$BC=\frac{5}{3}CD$。所以$AD=\frac{2}{3}CD+\frac{5}{3}CD+CD=\frac{10}{3}CD$。因为E为AD的中点，所以$AE=DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{10}{3}CD=\frac{5}{3}CD$。所以$CE=DE-CD=\frac{5}{3}CD-CD=\frac{2}{3}CD$。所以AB=CE。
（2）因为AE=DE，AB=CE，所以AE-AB=DE-CE。所以BE=CD。因为BE=CE+4，且$CE=\frac{2}{3}CD$，所以$CD=\frac{2}{3}CD+4$。所以BE=CD=12。所以$AB=CE=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}×12=8$。所以AC=AB+BE+CE=8+12+8=28。所以AC的长为28
（2）因为AE=DE，AB=CE，所以AE-AB=DE-CE。所以BE=CD。因为BE=CE+4，且$CE=\frac{2}{3}CD$，所以$CD=\frac{2}{3}CD+4$。所以BE=CD=12。所以$AB=CE=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}×12=8$。所以AC=AB+BE+CE=8+12+8=28。所以AC的长为28
解析
【分析】
（1）要判断AB和CE的大小关系，首先根据给出的线段比例AB:BC:CD=2:5:3，可将各段线段用同一个量（如CD）表示，先求出AD的总长度，再结合E是AD中点的性质求出DE的长度，用DE减去CD得到CE的长度，最后和AB对比即可得到二者的大小关系。
（2）先通过线段和差推导BE和CD的等量关系，再结合已知条件BE=CE+4，将CE用CD表示后代入等式求解CD的长度，再依次求出AB、CE的长度，最后根据AC的线段组成计算AC的长度即可。
【解析】
（1）AB=CE，理由如下：
因为B，C两点把线段AD分成三部分，AB:BC:CD=2:5:3，所以$AB=\frac{2}{3}CD$，$BC=\frac{5}{3}CD$。
则$AD=AB+BC+CD=\frac{2}{3}CD+\frac{5}{3}CD+CD=\frac{10}{3}CD$。
因为E为AD的中点，所以$AE=DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{10}{3}CD=\frac{5}{3}CD$。
所以$CE=DE-CD=\frac{5}{3}CD-CD=\frac{2}{3}CD$，因此$AB=CE$。
（2）因为$AE=DE$，$AB=CE$，所以$AE-AB=DE-CE$，即$BE=CD$。
已知$BE=CE+4$，且$CE=\frac{2}{3}CD$，代入得：$CD=\frac{2}{3}CD+4$，解得$CD=12$，即$BE=CD=12$。
则$AB=CE=\frac{2}{3}×12=8$，所以$AC=AB+BE+CE=8+12+8=28$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{AB=CE}$，理由见解析；
（2）AC的长为$\boldsymbol{28}$。
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质、比例线段的应用
【点评】
本题以线段的分点和中点为背景考查线段长度的计算，解题的关键是根据线段的比例关系用同一个量表示各段线段的长度，再结合线段和差、中点性质建立等式求解，能有效提升对线段关系的分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）要判断AB和CE的大小关系，首先根据给出的线段比例AB:BC:CD=2:5:3，可将各段线段用同一个量（如CD）表示，先求出AD的总长度，再结合E是AD中点的性质求出DE的长度，用DE减去CD得到CE的长度，最后和AB对比即可得到二者的大小关系。
（2）先通过线段和差推导BE和CD的等量关系，再结合已知条件BE=CE+4，将CE用CD表示后代入等式求解CD的长度，再依次求出AB、CE的长度，最后根据AC的线段组成计算AC的长度即可。
【解析】
（1）AB=CE，理由如下：
因为B，C两点把线段AD分成三部分，AB:BC:CD=2:5:3，所以$AB=\frac{2}{3}CD$，$BC=\frac{5}{3}CD$。
则$AD=AB+BC+CD=\frac{2}{3}CD+\frac{5}{3}CD+CD=\frac{10}{3}CD$。
因为E为AD的中点，所以$AE=DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×\frac{10}{3}CD=\frac{5}{3}CD$。
所以$CE=DE-CD=\frac{5}{3}CD-CD=\frac{2}{3}CD$，因此$AB=CE$。
（2）因为$AE=DE$，$AB=CE$，所以$AE-AB=DE-CE$，即$BE=CD$。
已知$BE=CE+4$，且$CE=\frac{2}{3}CD$，代入得：$CD=\frac{2}{3}CD+4$，解得$CD=12$，即$BE=CD=12$。
则$AB=CE=\frac{2}{3}×12=8$，所以$AC=AB+BE+CE=8+12+8=28$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{AB=CE}$，理由见解析；
（2）AC的长为$\boldsymbol{28}$。
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质、比例线段的应用
【点评】
本题以线段的分点和中点为背景考查线段长度的计算，解题的关键是根据线段的比例关系用同一个量表示各段线段的长度，再结合线段和差、中点性质建立等式求解，能有效提升对线段关系的分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
9 如图,点O在直线AB上,且$∠ BOC=90°$,OD平分$∠ BOC$.当$∠ DOE=80°$时,$∠ AOE$的度数为（
A.$45°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
B
）A.$45°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
答案
9. B
解析
【分析】
解题时先回忆相关概念：首先，角平分线会把一个角分成两个相等的角，直线上的点构成的平角为180°。第一步先根据OD平分∠BOC求出∠BOD的度数，第二步利用平角∠AOB=180°，用180°减去已知的∠DOE和求出的∠BOD，即可得到∠AOE的度数。
【解析】
1. 已知∠BOC=90°，OD平分∠BOC，根据角平分线的定义可得：
$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
2. 因为点O在直线AB上，所以$∠ AOB = 180°$，即$∠ AOE + ∠ DOE + ∠ BOD = 180°$。
3. 代入$∠ DOE=80°$、$∠ BOD=45°$计算：
$∠ AOE = 180° - 80° - 45° = 55°$
【答案】
B
【知识点】
1. 平角的性质 2. 角平分线的定义
【点评】
本题是基础角度计算类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线、平角的相关性质，结合已知角度逐步推导所求角的度数，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相关概念：首先，角平分线会把一个角分成两个相等的角，直线上的点构成的平角为180°。第一步先根据OD平分∠BOC求出∠BOD的度数，第二步利用平角∠AOB=180°，用180°减去已知的∠DOE和求出的∠BOD，即可得到∠AOE的度数。
【解析】
1. 已知∠BOC=90°，OD平分∠BOC，根据角平分线的定义可得：
$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
2. 因为点O在直线AB上，所以$∠ AOB = 180°$，即$∠ AOE + ∠ DOE + ∠ BOD = 180°$。
3. 代入$∠ DOE=80°$、$∠ BOD=45°$计算：
$∠ AOE = 180° - 80° - 45° = 55°$
【答案】
B
【知识点】
1. 平角的性质 2. 角平分线的定义
【点评】
本题是基础角度计算类题目，解题的关键是熟练掌握角平分线、平角的相关性质，结合已知角度逐步推导所求角的度数，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
10 计算：
（1）$30°52'+43°50'=$
（2）$106°9'-34°58'=$
A O B (第9题)
（1）$30°52'+43°50'=$
74°42'
；（2）$106°9'-34°58'=$
71°11'
；A O B (第9题)
答案
10. （1）$74°42'$ （2）$71°11'$
解析
【分析】
本题考查度分秒的加减运算，度、分、秒为60进制，运算思路如下：做加法时，度和度相加、分和分相加，若分的计算结果满60，就向度进1；做减法时，若分的部分不够减，要从度的部分借1°当作60'，和原有分合并后再做减法，最后度和度相减、分和分相减即可。
【解析】
（1）计算$30°52'+43°50'$：
先分别计算度、分的和：
度相加：$30°+43°=73°$
分相加：$52'+50'=102'$
因为$102'=1°42'$，合并结果得：$73°+1°42'=74°42'$
（2）计算$106°9'-34°58'$：
分的部分$9'＜58'$不够减，先改写被减数：$106°9'=105°69'$
再分别计算度、分的差：
度相减：$105°-34°=71°$
分相减：$69'-58'=11'$
合并结果得$71°11'$
【答案】
（1）$74°42'$；（2）$71°11'$
【知识点】
度分秒的进制；度分秒加减运算
【点评】
本题是角度运算的基础题，核心要掌握度分秒的60进制规则，区分开和十进制运算的差异，只要准确把握加法满60进1、减法借1当60的规则就能正确解答。
【难度系数】
0.85
本题考查度分秒的加减运算，度、分、秒为60进制，运算思路如下：做加法时，度和度相加、分和分相加，若分的计算结果满60，就向度进1；做减法时，若分的部分不够减，要从度的部分借1°当作60'，和原有分合并后再做减法，最后度和度相减、分和分相减即可。
【解析】
（1）计算$30°52'+43°50'$：
先分别计算度、分的和：
度相加：$30°+43°=73°$
分相加：$52'+50'=102'$
因为$102'=1°42'$，合并结果得：$73°+1°42'=74°42'$
（2）计算$106°9'-34°58'$：
分的部分$9'＜58'$不够减，先改写被减数：$106°9'=105°69'$
再分别计算度、分的差：
度相减：$105°-34°=71°$
分相减：$69'-58'=11'$
合并结果得$71°11'$
【答案】
（1）$74°42'$；（2）$71°11'$
【知识点】
度分秒的进制；度分秒加减运算
【点评】
本题是角度运算的基础题，核心要掌握度分秒的60进制规则，区分开和十进制运算的差异，只要准确把握加法满60进1、减法借1当60的规则就能正确解答。
【难度系数】
0.85
11 9时40分时,时钟的时针与分针所夹角的度数为
50°
.答案
11. $50°$
解析
【分析】
要计算时钟上某一时刻时针与分针的夹角，首先需要明确时针和分针的转动速度：钟面一周为360°，共分为12个大格，每个大格对应30°；分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°（或每小时转动30°）。解题时先分别算出9时40分时分针、时针从12点初始位置转过的总角度，再用两个角度作差，取小于180°的差值即为所求夹角。
【解析】
1. 先确定时针、分针的转动速度：
分针转一周为60分钟，故分针每分钟转$360°÷60=6°$；
时针转一周为12小时，故时针每小时转$360°÷12=30°$，每分钟转$30°÷60=0.5°$。
2. 计算9时40分时分针转过的总角度：
40分钟分针转过的角度为$40×6°=240°$。
3. 计算9时40分时时针转过的总角度：
9小时时针转过的角度为$9×30°=270°$，40分钟时针额外转过$40×0.5°=20°$，故时针总角度为$270°+20°=290°$。
4. 求夹角：
两个角度的差为$290°-240°=50°$，$50°＜180°$，即为所求夹角。
【答案】
$50°$
【知识点】
1. 钟面角计算
2. 角的度量
【点评】
本题属于钟面角的基础计算题，易错点是计算时针角度时忽略分钟时间内时针的偏移量，掌握时针和分针的转动速度是解题的核心，计算出两者总角度后作差即可得到结果，注意最终夹角要取小于180°的角。
【难度系数】
0.7
要计算时钟上某一时刻时针与分针的夹角，首先需要明确时针和分针的转动速度：钟面一周为360°，共分为12个大格，每个大格对应30°；分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°（或每小时转动30°）。解题时先分别算出9时40分时分针、时针从12点初始位置转过的总角度，再用两个角度作差，取小于180°的差值即为所求夹角。
【解析】
1. 先确定时针、分针的转动速度：
分针转一周为60分钟，故分针每分钟转$360°÷60=6°$；
时针转一周为12小时，故时针每小时转$360°÷12=30°$，每分钟转$30°÷60=0.5°$。
2. 计算9时40分时分针转过的总角度：
40分钟分针转过的角度为$40×6°=240°$。
3. 计算9时40分时时针转过的总角度：
9小时时针转过的角度为$9×30°=270°$，40分钟时针额外转过$40×0.5°=20°$，故时针总角度为$270°+20°=290°$。
4. 求夹角：
两个角度的差为$290°-240°=50°$，$50°＜180°$，即为所求夹角。
【答案】
$50°$
【知识点】
1. 钟面角计算
2. 角的度量
【点评】
本题属于钟面角的基础计算题，易错点是计算时针角度时忽略分钟时间内时针的偏移量，掌握时针和分针的转动速度是解题的核心，计算出两者总角度后作差即可得到结果，注意最终夹角要取小于180°的角。
【难度系数】
0.7
12 如图，$∠ BOC=2∠ AOB$，OD平分$∠ AOC$，$∠ BOD=14°$.求$∠ AOB$的度数.
答案
12. 设$∠AOB=x$，则$∠BOC=2x$。所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=3x$。因为OD平分$∠AOC$，所以$∠AOD=∠COD$。因为$∠BOD=14°$，所以$∠AOD=∠AOB+∠BOD=x+14°$，$∠COD=∠BOC-∠BOD=2x-14°$。所以$x+14°=2x-14°$，解得$x=28°$。所以$∠AOB=28°$
解析
【分析】
本题给出了角的倍数关系、角平分线条件和已知角度，可通过设未知数的方法求解：首先设较小的$∠ AOB$为$x$，根据倍数关系表示出$∠ BOC$，再通过角的和差得到$∠ AOC$的表达式；接着利用角平分线的性质，可知$∠ AOD$和$∠ COD$相等，再分别用含$x$的式子表示这两个角，根据二者相等建立方程，解方程即可求出$∠ AOB$的度数。
【解析】
设$∠ AOB=x$，
$\because ∠ BOC=2∠ AOB$，$\therefore ∠ BOC=2x$，
$\therefore ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=x+2x=3x$，
$\because$ OD平分$∠ AOC$，$\therefore ∠ AOD=∠ COD$，
又$\because ∠ BOD=14°$，
$\therefore ∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD=x+14°$，
$∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=2x-14°$，
由此可得方程：$x+14°=2x-14°$，
移项解得：$x=28°$。
【答案】
$∠ AOB$的度数为$28°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，方程法求角度
【点评】
本题是角度计算的基础常考题型，解题的关键是结合角的和差关系与角平分线的性质找到等量关系，通过设未知数列方程的方式求解，这种用代数方法解决几何问题的思路在角度计算中十分常用。
【难度系数】
0.7
本题给出了角的倍数关系、角平分线条件和已知角度，可通过设未知数的方法求解：首先设较小的$∠ AOB$为$x$，根据倍数关系表示出$∠ BOC$，再通过角的和差得到$∠ AOC$的表达式；接着利用角平分线的性质，可知$∠ AOD$和$∠ COD$相等，再分别用含$x$的式子表示这两个角，根据二者相等建立方程，解方程即可求出$∠ AOB$的度数。
【解析】
设$∠ AOB=x$，
$\because ∠ BOC=2∠ AOB$，$\therefore ∠ BOC=2x$，
$\therefore ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=x+2x=3x$，
$\because$ OD平分$∠ AOC$，$\therefore ∠ AOD=∠ COD$，
又$\because ∠ BOD=14°$，
$\therefore ∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD=x+14°$，
$∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=2x-14°$，
由此可得方程：$x+14°=2x-14°$，
移项解得：$x=28°$。
【答案】
$∠ AOB$的度数为$28°$
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，方程法求角度
【点评】
本题是角度计算的基础常考题型，解题的关键是结合角的和差关系与角平分线的性质找到等量关系，通过设未知数列方程的方式求解，这种用代数方法解决几何问题的思路在角度计算中十分常用。
【难度系数】
0.7
13 如图,货轮 O 在航行过程中,发现灯塔 A 在它的南偏东 60°方向上,同时,在它的北偏西 30°方向上发现了客轮 B,西北方向上又发现了海岛 C.
(1) 仿照表示灯塔 A 方向的方法,在图中画出表示客轮 B 和海岛 C 方向的射线;
(2) 求∠BOC 和∠AOB 的度数.
(1) 仿照表示灯塔 A 方向的方法,在图中画出表示客轮 B 和海岛 C 方向的射线;
(2) 求∠BOC 和∠AOB 的度数.
答案
13. （1）如图所示
（2）如图，由题意，得$∠AOD=60°$，$∠COF=45°$，$∠BOF=30°$，所以$∠BOC=∠COF-∠BOF=45°-30°=15°$。因为$∠AOE=90°-∠AOD=90°-60°=30°$，所以$∠AOB=∠BOF+∠FOE+∠AOE=30°+90°+30°=150°$
解析
【分析】
(1) 画方向射线需先明确方向角的定义：“北偏西x°”是以正北方向为始边，向西旋转x°得到的射线方向，西北方向即北偏西45°，按照要求以O为顶点分别画出对应射线即可。
(2) 求角度首先要确定方位图的基本特征：正东、正南、正西、正北相邻正方向的夹角均为90°，再结合题意得到各方向对应的偏转角度，观察所求角与已知角的和差关系，代入数值计算即可。
【解析】
(1) ①画客轮B的方向射线：以O为顶点，正北方向射线为始边，向西旋转30°画出射线OB，即为北偏西30°方向；
②画海岛C的方向射线：以O为顶点，正北方向射线为始边，向西旋转45°画出射线OC，即为西北（北偏西45°）方向。
(2) 由题意得：∠BOF=30°，∠COF=45°，∠AOD=60°，正东与正北的夹角∠FOE=90°，正东与正南的夹角∠EOD=90°。
计算∠BOC：
$∠ BOC = ∠ COF - ∠ BOF = 45° - 30° = 15°$
先计算∠AOE：
$∠ AOE = ∠ EOD - ∠ AOD = 90° - 60° = 30°$
再计算∠AOB：
$∠ AOB = ∠ BOF + ∠ FOE + ∠ AOE = 30° + 90° + 30° = 150°$
【答案】
（1）如图所示
（2）$∠ BOC=15°$，$∠ AOB=150°$
【知识点】
1. 方向角的表示
2. 角的和差计算
3. 方位坐标系特征
【点评】
本题结合实际航行场景考查方向角相关知识，解题核心是准确理解方向角的定义，明确方位图中相邻正方向夹角为90°，通过分析角的和差关系即可求解，熟练掌握方向角概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 画方向射线需先明确方向角的定义：“北偏西x°”是以正北方向为始边，向西旋转x°得到的射线方向，西北方向即北偏西45°，按照要求以O为顶点分别画出对应射线即可。
(2) 求角度首先要确定方位图的基本特征：正东、正南、正西、正北相邻正方向的夹角均为90°，再结合题意得到各方向对应的偏转角度，观察所求角与已知角的和差关系，代入数值计算即可。
【解析】
(1) ①画客轮B的方向射线：以O为顶点，正北方向射线为始边，向西旋转30°画出射线OB，即为北偏西30°方向；
②画海岛C的方向射线：以O为顶点，正北方向射线为始边，向西旋转45°画出射线OC，即为西北（北偏西45°）方向。
(2) 由题意得：∠BOF=30°，∠COF=45°，∠AOD=60°，正东与正北的夹角∠FOE=90°，正东与正南的夹角∠EOD=90°。
计算∠BOC：
$∠ BOC = ∠ COF - ∠ BOF = 45° - 30° = 15°$
先计算∠AOE：
$∠ AOE = ∠ EOD - ∠ AOD = 90° - 60° = 30°$
再计算∠AOB：
$∠ AOB = ∠ BOF + ∠ FOE + ∠ AOE = 30° + 90° + 30° = 150°$
【答案】
（1）如图所示
（2）$∠ BOC=15°$，$∠ AOB=150°$
【知识点】
1. 方向角的表示
2. 角的和差计算
3. 方位坐标系特征
【点评】
本题结合实际航行场景考查方向角相关知识，解题核心是准确理解方向角的定义，明确方位图中相邻正方向夹角为90°，通过分析角的和差关系即可求解，熟练掌握方向角概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8
