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5. 星星幼儿园买回 49 块水果糖和 29 块奶糖。刘老师把两种糖果分别平均分给小班的小朋友,结果水果糖多出 4 块,奶糖少了 1 块。小班最多有多少个小朋友?
答案
5. 15个
解析
【分析】要解决这个问题，需先明确：把水果糖平均分后多出4块，说明实际分掉的水果糖数量是49-4=45块；奶糖少了1块，说明若要刚好平均分，需要的奶糖数量是29+1=30块。要求小班最多有多少个小朋友，本质是求45和30的最大公因数，因为小朋友的数量必须同时是45和30的公因数，最大的那个就是答案。
【解析】1. 计算刚好能平均分的水果糖总数：$49 - 4 = 45$（块）；2. 计算刚好能平均分的奶糖总数：$29 + 1 = 30$（块）；3. 求45和30的最大公因数：分解质因数，$45=3×3×5$，$30=2×3×5$，所以最大公因数是$3×5=15$。
【答案】15个
【知识点】最大公因数的应用
【点评】本题结合分糖果的实际场景，考查最大公因数的实际应用，核心是将“多出”“少了”的条件转化为刚好能平均分的数量，再通过求最大公因数得到结果，关键在于理解问题本质是求两个数的最大公因数。
【难度系数】0.6
【解析】1. 计算刚好能平均分的水果糖总数：$49 - 4 = 45$（块）；2. 计算刚好能平均分的奶糖总数：$29 + 1 = 30$（块）；3. 求45和30的最大公因数：分解质因数，$45=3×3×5$，$30=2×3×5$，所以最大公因数是$3×5=15$。
【答案】15个
【知识点】最大公因数的应用
【点评】本题结合分糖果的实际场景，考查最大公因数的实际应用，核心是将“多出”“少了”的条件转化为刚好能平均分的数量，再通过求最大公因数得到结果，关键在于理解问题本质是求两个数的最大公因数。
【难度系数】0.6
6. 六一儿童节学校邀请了70多位家长到学校参加亲子游戏活动，家长可以分成6人一组做游戏，也可以分成9人一组做游戏，都正好分完。学校邀请了多少位家长？
答案
6. 72位
解析
【分析】题目中家长分成6人一组或9人一组都正好分完，说明家长人数是6和9的公倍数；又已知家长人数是70多位，因此需要找出6和9的公倍数中在70~80之间的数，即可确定家长人数。
【解析】1. 求6和9的最小公倍数：分解质因数，6=2×3，9=3×3，最小公倍数为2×3×3=18；2. 列出6和9的公倍数：18、36、54、72、90……；3. 结合“70多位”的范围筛选，符合条件的数是72。
【答案】72位
【知识点】公倍数、最小公倍数
【点评】本题考查公倍数的实际应用，核心是理解“正好分完”对应公倍数的含义，再结合给定范围筛选即可，属于基础应用题型。
【难度系数】0.6
【解析】1. 求6和9的最小公倍数：分解质因数，6=2×3，9=3×3，最小公倍数为2×3×3=18；2. 列出6和9的公倍数：18、36、54、72、90……；3. 结合“70多位”的范围筛选，符合条件的数是72。
【答案】72位
【知识点】公倍数、最小公倍数
【点评】本题考查公倍数的实际应用，核心是理解“正好分完”对应公倍数的含义，再结合给定范围筛选即可，属于基础应用题型。
【难度系数】0.6
7. 分母是9的真分数、假分数、带分数各一个，它们相邻两数的大小只相差两个分数单位，这三个分数各是多少？
答案
7. 这三个分数分别是$\frac{7}{9},\frac{9}{9},1\frac{2}{9}$或$\frac{8}{9},\frac{10}{9},1\frac{3}{9}$。
解析
【分析】首先明确分母是9的分数的分数单位是$\frac{1}{9}$，相邻两数相差两个分数单位即相差$\frac{2}{9}$。题目要求的三个分数依次为真分数、假分数、带分数，需满足：假分数 - 真分数 = $\frac{2}{9}$，带分数 - 假分数 = $\frac{2}{9}$，且三者分母均为9。从假分数入手，结合真分数分子小于9、带分数的整数部分与分数部分的特征，推导即可得到答案。
【解析】分母为9的分数的分数单位是$\frac{1}{9}$，相邻两数相差两个分数单位即相差$\frac{2}{9}$。
1. 设真分数为$\frac{a}{9}$（$a＜9$，正整数），假分数为$\frac{b}{9}$（$b≥9$，正整数），带分数为$c\frac{d}{9}$（$c≥1$，$1≤d＜9$，正整数）。
2. 根据相邻差的条件，可得：$\frac{b}{9} - \frac{a}{9} = \frac{2}{9}$，即$b - a = 2$；$c\frac{d}{9} - \frac{b}{9} = \frac{2}{9}$，即$9c + d - b = 2$。
3. 当$b=9$时，$a=9-2=7$，真分数为$\frac{7}{9}$；代入第二个式子得$9c + d = 11$，取$c=1$，则$d=2$，带分数为$1\frac{2}{9}$，符合条件。
4. 当$b=10$时，$a=10-2=8$，真分数为$\frac{8}{9}$；代入第二个式子得$9c + d =12$，取$c=1$，则$d=3$，带分数为$1\frac{3}{9}$，符合条件。
因此这三个分数为$\frac{7}{9},\frac{9}{9},1\frac{2}{9}$或$\frac{8}{9},\frac{10}{9},1\frac{3}{9}$。
【答案】$\frac{7}{9},\frac{9}{9},1\frac{2}{9}$或$\frac{8}{9},\frac{10}{9},1\frac{3}{9}$
【知识点】真分数、假分数、带分数，分数单位
【点评】本题考查真分数、假分数、带分数的概念及分数单位的应用，解题关键是明确相邻两数的差值，结合分数的性质推导各分数的组成，难度适中，需理清三个分数的数量关系。
【难度系数】0.4
【解析】分母为9的分数的分数单位是$\frac{1}{9}$，相邻两数相差两个分数单位即相差$\frac{2}{9}$。
1. 设真分数为$\frac{a}{9}$（$a＜9$，正整数），假分数为$\frac{b}{9}$（$b≥9$，正整数），带分数为$c\frac{d}{9}$（$c≥1$，$1≤d＜9$，正整数）。
2. 根据相邻差的条件，可得：$\frac{b}{9} - \frac{a}{9} = \frac{2}{9}$，即$b - a = 2$；$c\frac{d}{9} - \frac{b}{9} = \frac{2}{9}$，即$9c + d - b = 2$。
3. 当$b=9$时，$a=9-2=7$，真分数为$\frac{7}{9}$；代入第二个式子得$9c + d = 11$，取$c=1$，则$d=2$，带分数为$1\frac{2}{9}$，符合条件。
4. 当$b=10$时，$a=10-2=8$，真分数为$\frac{8}{9}$；代入第二个式子得$9c + d =12$，取$c=1$，则$d=3$，带分数为$1\frac{3}{9}$，符合条件。
因此这三个分数为$\frac{7}{9},\frac{9}{9},1\frac{2}{9}$或$\frac{8}{9},\frac{10}{9},1\frac{3}{9}$。
【答案】$\frac{7}{9},\frac{9}{9},1\frac{2}{9}$或$\frac{8}{9},\frac{10}{9},1\frac{3}{9}$
【知识点】真分数、假分数、带分数，分数单位
【点评】本题考查真分数、假分数、带分数的概念及分数单位的应用，解题关键是明确相邻两数的差值，结合分数的性质推导各分数的组成，难度适中，需理清三个分数的数量关系。
【难度系数】0.4
8. 有一块长方体木料，长72 cm，宽60 cm，高36 cm，现在想把它锯成同样大小的正方体木块(木块的体积要最大，且木料不能剩余)。正方体的棱长最长是多少厘米？一共可以锯成多少个这样的正方体？
答案
8. 12 cm 90个
解析
【分析】
要将长方体木料锯成体积最大且无剩余的正方体，正方体的棱长需是长方体长、宽、高的公因数，要使正方体体积最大，棱长应取长、宽、高的最大公因数。确定棱长后，分别计算长、宽、高方向可锯成的正方体个数，再相乘得到总个数。
【解析】
1. 求72、60、36的最大公因数：
分解质因数：
72 = 2×2×2×3×3
60 = 2×2×3×5
36 = 2×2×3×3
三者的最大公因数为2×2×3 = 12，即正方体的棱长最长是12cm。
2. 计算正方体总个数：
长方向可锯：72÷12 = 6（个）
宽方向可锯：60÷12 = 5（个）
高方向可锯：36÷12 = 3（个）
总个数：6×5×3 = 90（个）
【答案】
12 cm，90个
【知识点】
最大公因数的应用；长方体切割正方体
【点评】
本题结合实际切割问题，考查最大公因数的应用，核心是理解正方体棱长与长方体长、宽、高的关系，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要将长方体木料锯成体积最大且无剩余的正方体，正方体的棱长需是长方体长、宽、高的公因数，要使正方体体积最大，棱长应取长、宽、高的最大公因数。确定棱长后，分别计算长、宽、高方向可锯成的正方体个数，再相乘得到总个数。
【解析】
1. 求72、60、36的最大公因数：
分解质因数：
72 = 2×2×2×3×3
60 = 2×2×3×5
36 = 2×2×3×3
三者的最大公因数为2×2×3 = 12，即正方体的棱长最长是12cm。
2. 计算正方体总个数：
长方向可锯：72÷12 = 6（个）
宽方向可锯：60÷12 = 5（个）
高方向可锯：36÷12 = 3（个）
总个数：6×5×3 = 90（个）
【答案】
12 cm，90个
【知识点】
最大公因数的应用；长方体切割正方体
【点评】
本题结合实际切割问题，考查最大公因数的应用，核心是理解正方体棱长与长方体长、宽、高的关系，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
9. 在广场西侧插彩旗，原来是每隔 4 m 插一面彩旗，一共插了 31 面。后来改为每隔 3 m 插一面，一共有几面彩旗不用重插？（两端都插）
答案
9. 11面
解析
【分析】要解决这个问题，需分三步思考：首先，根据“两端都插”的植树规则算出总长度；其次，找出不用重插彩旗的位置特征（是原间隔和新间隔的公倍数处）；最后，计算总长度内符合条件的彩旗数量（需包含两端的起点和终点）。
【解析】1. 计算总长度：因为两端都插彩旗，间隔数=彩旗数-1，原间隔数为31-1=30个，总长度=30×4=120米；2. 求4和3的最小公倍数：4和3互质，最小公倍数是12，即每隔12米的彩旗不用重插；3. 计算不用重插的彩旗数：总长度内12的倍数的位置（含起点和终点），数量为120÷12 +1=10+1=11面。
【答案】11面
【知识点】植树问题、最小公倍数应用
【点评】本题结合植树问题与最小公倍数知识点，核心是理解“不用重插的彩旗在两种间隔的公倍数处”，需注意两端都插时要加1，避免遗漏起点和终点，属于基础应用题。
【难度系数】0.5
【解析】1. 计算总长度：因为两端都插彩旗，间隔数=彩旗数-1，原间隔数为31-1=30个，总长度=30×4=120米；2. 求4和3的最小公倍数：4和3互质，最小公倍数是12，即每隔12米的彩旗不用重插；3. 计算不用重插的彩旗数：总长度内12的倍数的位置（含起点和终点），数量为120÷12 +1=10+1=11面。
【答案】11面
【知识点】植树问题、最小公倍数应用
【点评】本题结合植树问题与最小公倍数知识点，核心是理解“不用重插的彩旗在两种间隔的公倍数处”，需注意两端都插时要加1，避免遗漏起点和终点，属于基础应用题。
【难度系数】0.5
