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10.一个长方形的长是$4.2×10^{4}\ \mathrm{cm}$，宽是$2×10^{4}\ \mathrm{cm}$，求此长方形的面积及周长。
答案
10. 面积$=$长$×$宽$=4.2×10^4×2×10^4=8.4×10^8\ (\mathrm{cm}^2)$。
周长$=2×($长$+$宽$)=2×(4.2×10^4+2×10^4)=1.24×10^5\ (\mathrm{cm})$。
综上,可得长方形的面积为$8.4×10^8\ \mathrm{cm}^2$,周长为$1.24×10^5\ \mathrm{cm}$。
周长$=2×($长$+$宽$)=2×(4.2×10^4+2×10^4)=1.24×10^5\ (\mathrm{cm})$。
综上,可得长方形的面积为$8.4×10^8\ \mathrm{cm}^2$,周长为$1.24×10^5\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆长方形的面积、周长计算公式，再将已知的长和宽代入对应公式计算即可。计算过程中要注意科学记数法的运算规则：做乘法运算时，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加；做加法运算时，若两数的10的指数相同，可直接将系数相加，指数不变，最终结果需整理为规范的科学记数法形式（$1≤ a＜10$，$n$为整数）。
【解析】
1. 计算长方形面积：
根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽}$，代入数值：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=4.2×10^4 × 2×10^4\\&=(4.2×2)×(10^4×10^4)\\&=8.4×10^{8}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
2. 计算长方形周长：
根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入数值：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=2×(4.2×10^4 + 2×10^4)\\&=2×[(4.2+2)×10^4]\\&=2×6.2×10^4\\&=12.4×10^4\\&=1.24×10^5\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
长方形的面积为$8.4×10^8\ \mathrm{cm}^2$，周长为$1.24×10^5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
长方形周长与面积计算；科学记数法运算；同底数幂乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握长方形的周长、面积公式，以及科学记数法的加减乘运算规则，运算时需注意最终结果要符合科学记数法的规范要求，避免出现系数大于等于10的不规范写法。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆长方形的面积、周长计算公式，再将已知的长和宽代入对应公式计算即可。计算过程中要注意科学记数法的运算规则：做乘法运算时，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加；做加法运算时，若两数的10的指数相同，可直接将系数相加，指数不变，最终结果需整理为规范的科学记数法形式（$1≤ a＜10$，$n$为整数）。
【解析】
1. 计算长方形面积：
根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽}$，代入数值：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=4.2×10^4 × 2×10^4\\&=(4.2×2)×(10^4×10^4)\\&=8.4×10^{8}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
2. 计算长方形周长：
根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入数值：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=2×(4.2×10^4 + 2×10^4)\\&=2×[(4.2+2)×10^4]\\&=2×6.2×10^4\\&=12.4×10^4\\&=1.24×10^5\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
长方形的面积为$8.4×10^8\ \mathrm{cm}^2$，周长为$1.24×10^5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
长方形周长与面积计算；科学记数法运算；同底数幂乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握长方形的周长、面积公式，以及科学记数法的加减乘运算规则，运算时需注意最终结果要符合科学记数法的规范要求，避免出现系数大于等于10的不规范写法。
【难度系数】
0.8
11. $2x · (-3xy)^2 · (-x^2y)^3$ 的计算结果是 （
A.$-6x^4y^5$
B.$-18x^9y^5$
C.$6x^9y^5$
D.$18x^9y^5$
B
）A.$-6x^4y^5$
B.$-18x^9y^5$
C.$6x^9y^5$
D.$18x^9y^5$
答案
11.B
解析
【分析】
这是一道整式乘法运算题，解题要遵循“先乘方、后乘法”的运算顺序。首先需要运用积的乘方法则计算两个乘方项，注意准确判断乘方后的符号；再运用单项式乘单项式的法则，分别计算系数的乘积、同底数幂的乘积，最后合并结果即可，计算时要注意区分同底数幂相乘（指数相加）和幂的乘方（指数相乘）的规则，不要混淆。
【解析】
解：第一步先计算乘方部分：
1. 计算$(-3xy)^2$：根据积的乘方法则，把每个因式分别乘方再相乘，可得$(-3xy)^2=(-3)^2 · x^2 · y^2=9x^2y^2$
2. 计算$(-x^2y)^3$：同理可得$(-x^2y)^3=(-1)^3 · (x^2)^3 · y^3=-x^6y^3$
将上述结果代入原式进行单项式乘法运算：
$2x · (-3xy)^2 · (-x^2y)^3$
$=2x · 9x^2y^2 · (-x^6y^3)$
先计算系数的乘积：$2 × 9 × (-1) = -18$
再计算同底数幂的乘积：
x的部分：$x · x^2 · x^6 = x^{1+2+6}=x^9$
y的部分：$y^2 · y^3 = y^{2+3}=y^5$
合并后得到最终结果：$-18x^9y^5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题主要考查幂的运算法则在整式乘法中的应用，解题关键是严格按照运算顺序计算，尤其要注意负数乘方的符号判断，以及不同幂运算的指数规则区分，避免因粗心出现符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道整式乘法运算题，解题要遵循“先乘方、后乘法”的运算顺序。首先需要运用积的乘方法则计算两个乘方项，注意准确判断乘方后的符号；再运用单项式乘单项式的法则，分别计算系数的乘积、同底数幂的乘积，最后合并结果即可，计算时要注意区分同底数幂相乘（指数相加）和幂的乘方（指数相乘）的规则，不要混淆。
【解析】
解：第一步先计算乘方部分：
1. 计算$(-3xy)^2$：根据积的乘方法则，把每个因式分别乘方再相乘，可得$(-3xy)^2=(-3)^2 · x^2 · y^2=9x^2y^2$
2. 计算$(-x^2y)^3$：同理可得$(-x^2y)^3=(-1)^3 · (x^2)^3 · y^3=-x^6y^3$
将上述结果代入原式进行单项式乘法运算：
$2x · (-3xy)^2 · (-x^2y)^3$
$=2x · 9x^2y^2 · (-x^6y^3)$
先计算系数的乘积：$2 × 9 × (-1) = -18$
再计算同底数幂的乘积：
x的部分：$x · x^2 · x^6 = x^{1+2+6}=x^9$
y的部分：$y^2 · y^3 = y^{2+3}=y^5$
合并后得到最终结果：$-18x^9y^5$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式
【点评】
本题主要考查幂的运算法则在整式乘法中的应用，解题关键是严格按照运算顺序计算，尤其要注意负数乘方的符号判断，以及不同幂运算的指数规则区分，避免因粗心出现符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.7
12. 若$x^3y^{m-1} · x^{n+m}y^{2n+2}=x^9y^9$，则$4m-3n$的值是
10
。答案
12.10
解析
【分析】
解题时首先运用同底数幂的乘法法则化简等式左边的式子，再根据“若两个单项式相等，则相同字母的对应指数相等”，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组求出m、n的值，最后代入代数式4m-3n计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，对等式左边化简：
$x^3y^{m-1} · x^{n+m}y^{2n+2}=x^{3+n+m}y^{(m-1)+(2n+2)}=x^{m+n+3}y^{m+2n+1}$
已知该式等于$x^9y^9$，因此相同字母的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}m+n+3=9\\m+2n+1=9\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}m+n=6 ①\\m+2n=8 ②\end{cases}$
用②-①消去m，得：$n=2$
将$n=2$代入①，得：$m+2=6$，解得$m=4$
把$m=4$，$n=2$代入$4m-3n$，得：
$4×4 - 3×2=16-6=10$
【答案】
10
【知识点】
同底数幂的乘法；二元一次方程组的求解；代数式求值
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是掌握同底数幂的运算规则，以及等式两边相同单项式对应指数相等的性质，求解过程中要注意计算的准确性，避免指数相加、方程组求解环节出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先运用同底数幂的乘法法则化简等式左边的式子，再根据“若两个单项式相等，则相同字母的对应指数相等”，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组求出m、n的值，最后代入代数式4m-3n计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，对等式左边化简：
$x^3y^{m-1} · x^{n+m}y^{2n+2}=x^{3+n+m}y^{(m-1)+(2n+2)}=x^{m+n+3}y^{m+2n+1}$
已知该式等于$x^9y^9$，因此相同字母的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}m+n+3=9\\m+2n+1=9\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}m+n=6 ①\\m+2n=8 ②\end{cases}$
用②-①消去m，得：$n=2$
将$n=2$代入①，得：$m+2=6$，解得$m=4$
把$m=4$，$n=2$代入$4m-3n$，得：
$4×4 - 3×2=16-6=10$
【答案】
10
【知识点】
同底数幂的乘法；二元一次方程组的求解；代数式求值
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是掌握同底数幂的运算规则，以及等式两边相同单项式对应指数相等的性质，求解过程中要注意计算的准确性，避免指数相加、方程组求解环节出错。
【难度系数】
0.8
13. 规定新运算 $ a * b = 2^a × 2^b $，例如 $ 3 * 4 = 2^3 × 2^4 = 2^7 $，请据此解决以下问题：
(1)求 $ 1 * 3 $；
(2)若 $ 2 * (2x + 1) = 64 $，求 $ x $ 的值。
(1)求 $ 1 * 3 $；
(2)若 $ 2 * (2x + 1) = 64 $，求 $ x $ 的值。
答案
13.(1)由题意,得 $ 1 * 3 = 2×2^3 = 16 $；
(2)因为 $ 2 * (2x + 1) = 64 $,所以 $ 2^2 × 2^{2x+1} = 2^6 $,所以 $ 2^{2+2x+1} = 2^6 $,所以 $ 2x + 3 = 6 $,所以 $ x = \frac{3}{2} $。
(2)因为 $ 2 * (2x + 1) = 64 $,所以 $ 2^2 × 2^{2x+1} = 2^6 $,所以 $ 2^{2+2x+1} = 2^6 $,所以 $ 2x + 3 = 6 $,所以 $ x = \frac{3}{2} $。
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解给定的新运算规则：$a*b$等于$2$的$a$次方乘$2$的$b$次方，结合同底数幂的乘法性质求解。
(1) 第一问直接套用新运算公式，将$a=1$、$b=3$代入规则计算即可；
(2) 第二问先按新运算规则把等式左边转化为幂的乘法形式，再将$64$改写为$2$的$6$次方，根据“同底数幂相等时，指数相等”的性质列出一元一次方程，求解即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 根据新运算$a * b = 2^a × 2^b$可得：
$1 * 3 = 2^1 × 2^3 = 2^{1+3} = 2^4 = 16$
(2) 已知$2 * (2x + 1) = 64$，先按新运算展开左边：
左边$= 2^2 × 2^{2x+1} = 2^{2 + 2x + 1} = 2^{2x + 3}$
又因为$64 = 2^6$，因此可得：
$2^{2x + 3} = 2^6$
同底数幂相等时，底数相同则指数相等，因此：
$2x + 3 = 6$
移项计算得$2x = 3$，解得$x = \frac{3}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{x=\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
新定义运算、同底数幂的乘法、一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题关键是正确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为已学的幂运算和方程问题求解，计算时注意同底数幂乘法性质的正确应用。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解给定的新运算规则：$a*b$等于$2$的$a$次方乘$2$的$b$次方，结合同底数幂的乘法性质求解。
(1) 第一问直接套用新运算公式，将$a=1$、$b=3$代入规则计算即可；
(2) 第二问先按新运算规则把等式左边转化为幂的乘法形式，再将$64$改写为$2$的$6$次方，根据“同底数幂相等时，指数相等”的性质列出一元一次方程，求解即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 根据新运算$a * b = 2^a × 2^b$可得：
$1 * 3 = 2^1 × 2^3 = 2^{1+3} = 2^4 = 16$
(2) 已知$2 * (2x + 1) = 64$，先按新运算展开左边：
左边$= 2^2 × 2^{2x+1} = 2^{2 + 2x + 1} = 2^{2x + 3}$
又因为$64 = 2^6$，因此可得：
$2^{2x + 3} = 2^6$
同底数幂相等时，底数相同则指数相等，因此：
$2x + 3 = 6$
移项计算得$2x = 3$，解得$x = \frac{3}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{x=\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
新定义运算、同底数幂的乘法、一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题关键是正确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为已学的幂运算和方程问题求解，计算时注意同底数幂乘法性质的正确应用。
【难度系数】
0.8
