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9.把一次函数$y=2x-1$的图象沿y轴向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为
$y=2x+1$
.答案
9.$y=2x+1$
解析
【分析】
解决本题首先要明确一次函数图象平移的核心特征：平移前后直线平行，因此一次项系数k保持不变，仅需调整常数项b。其次牢记沿y轴平移的规律：向上平移n个单位时，在原函数表达式基础上整体加n；向下平移n个单位时整体减n，即“上加下减”。本题是向上平移2个单位，只需将原函数的y值加2后化简即可得到结果。
【解析】
已知原一次函数表达式为$y=2x-1$，将其图象沿y轴向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，平移后对应的函数表达式为：
$y=2x-1+2$
化简可得：$y=2x+1$
【答案】
$y=2x+1$
【知识点】
1. 一次函数图象平移
2. 函数平移“上加下减”规则
【点评】
本题属于函数平移的基础题，主要考查一次函数图象的平移变换规律，解题的关键是牢记平移时k值不变，沿y轴平移遵循“上加下减”的规则，只要记准规律就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确一次函数图象平移的核心特征：平移前后直线平行，因此一次项系数k保持不变，仅需调整常数项b。其次牢记沿y轴平移的规律：向上平移n个单位时，在原函数表达式基础上整体加n；向下平移n个单位时整体减n，即“上加下减”。本题是向上平移2个单位，只需将原函数的y值加2后化简即可得到结果。
【解析】
已知原一次函数表达式为$y=2x-1$，将其图象沿y轴向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，平移后对应的函数表达式为：
$y=2x-1+2$
化简可得：$y=2x+1$
【答案】
$y=2x+1$
【知识点】
1. 一次函数图象平移
2. 函数平移“上加下减”规则
【点评】
本题属于函数平移的基础题，主要考查一次函数图象的平移变换规律，解题的关键是牢记平移时k值不变，沿y轴平移遵循“上加下减”的规则，只要记准规律就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
10. 如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，若要拼一个长为$(2a+3b)$，宽为$(a+b)$的大长方形，则需要C类卡片
5
张.答案
10.5
解析
【分析】
解题时可根据拼接前后图形总面积相等的思路推导：首先计算长为$(2a+3b)$、宽为$(a+b)$的大长方形的面积，再结合三类卡片的面积特征，将大长方形面积展开为多项式后，$ab$项的系数就是所需C类卡片的数量。具体思考逻辑：1. 大长方形面积=所有卡片面积之和；2. A类卡片面积为$a^2$，对应展开式中$a^2$项的系数，B类面积为$b^2$对应$b^2$项系数，C类面积为$ab$对应$ab$项系数。
【解析】
解：根据长方形面积公式，目标大长方形的面积为长与宽的乘积：
$(2a+3b)(a+b)$
根据多项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}(2a+3b)(a+b)&=2a· a + 2a· b + 3b· a + 3b· b\\&=2a^2 + 2ab + 3ab + 3b^2\\&=2a^2 + 5ab + 3b^2\end{aligned}$
已知C类卡片为长$a$、宽$b$的长方形，单张面积为$ab$，展开式中$ab$项的系数为5，因此需要C类卡片5张。
【答案】
5
【知识点】
多项式乘多项式；整式乘法运算；面积法应用
【点评】
本题将几何拼接问题与整式乘法运算结合，考查学生对多项式乘法法则的掌握和应用能力，抓住拼接前后面积相等的等量关系是解题的关键，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
解题时可根据拼接前后图形总面积相等的思路推导：首先计算长为$(2a+3b)$、宽为$(a+b)$的大长方形的面积，再结合三类卡片的面积特征，将大长方形面积展开为多项式后，$ab$项的系数就是所需C类卡片的数量。具体思考逻辑：1. 大长方形面积=所有卡片面积之和；2. A类卡片面积为$a^2$，对应展开式中$a^2$项的系数，B类面积为$b^2$对应$b^2$项系数，C类面积为$ab$对应$ab$项系数。
【解析】
解：根据长方形面积公式，目标大长方形的面积为长与宽的乘积：
$(2a+3b)(a+b)$
根据多项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}(2a+3b)(a+b)&=2a· a + 2a· b + 3b· a + 3b· b\\&=2a^2 + 2ab + 3ab + 3b^2\\&=2a^2 + 5ab + 3b^2\end{aligned}$
已知C类卡片为长$a$、宽$b$的长方形，单张面积为$ab$，展开式中$ab$项的系数为5，因此需要C类卡片5张。
【答案】
5
【知识点】
多项式乘多项式；整式乘法运算；面积法应用
【点评】
本题将几何拼接问题与整式乘法运算结合，考查学生对多项式乘法法则的掌握和应用能力，抓住拼接前后面积相等的等量关系是解题的关键，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
11.若$x - y - 7 = 0$，则代数式$x^2 - y^2 - 14y$的值为
49
。答案
11.49
解析
【分析】
解题时首先从已知等式推导出x与y的关系：$x-y=7$（或$x=y+7$）。观察所求代数式的结构，$x^2-y^2$符合平方差公式的特征，可先利用平方差公式对代数式因式分解，再将$x-y=7$整体代入，化简后即可求出结果；也可以直接将x用含y的式子表示，代入代数式消元计算得到结果。
【解析】
方法一（因式分解+整体代入）：
由$x-y-7=0$，可得$x-y=7$。
对所求代数式变形：
$\begin{aligned}x^2-y^2-14y&=(x-y)(x+y)-14y \quad \mathrm{（利用平方差公式分解）}\\&=7(x+y)-14y \quad \mathrm{（代入$x-y=7$）}\\&=7x+7y-14y\\&=7x-7y\\&=7(x-y)\\&=7×7=49 \quad \mathrm{（再次代入$x-y=7$）}\end{aligned}$
方法二（代入消元法）：
由$x-y-7=0$，得$x=y+7$。
将$x=y+7$代入代数式：
$\begin{aligned}x^2-y^2-14y&=(y+7)^2-y^2-14y\\&=y^2+14y+49-y^2-14y\\&=49\end{aligned}$
【答案】
49
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的关键是能根据代数式的结构选择合适的变形方法，既可以用因式分解结合整体代入简化计算，也可以用代入消元的方法直接计算，灵活性较强，掌握整式乘法相关公式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知等式推导出x与y的关系：$x-y=7$（或$x=y+7$）。观察所求代数式的结构，$x^2-y^2$符合平方差公式的特征，可先利用平方差公式对代数式因式分解，再将$x-y=7$整体代入，化简后即可求出结果；也可以直接将x用含y的式子表示，代入代数式消元计算得到结果。
【解析】
方法一（因式分解+整体代入）：
由$x-y-7=0$，可得$x-y=7$。
对所求代数式变形：
$\begin{aligned}x^2-y^2-14y&=(x-y)(x+y)-14y \quad \mathrm{（利用平方差公式分解）}\\&=7(x+y)-14y \quad \mathrm{（代入$x-y=7$）}\\&=7x+7y-14y\\&=7x-7y\\&=7(x-y)\\&=7×7=49 \quad \mathrm{（再次代入$x-y=7$）}\end{aligned}$
方法二（代入消元法）：
由$x-y-7=0$，得$x=y+7$。
将$x=y+7$代入代数式：
$\begin{aligned}x^2-y^2-14y&=(y+7)^2-y^2-14y\\&=y^2+14y+49-y^2-14y\\&=49\end{aligned}$
【答案】
49
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的关键是能根据代数式的结构选择合适的变形方法，既可以用因式分解结合整体代入简化计算，也可以用代入消元的方法直接计算，灵活性较强，掌握整式乘法相关公式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
12.如图,我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”.设直角三角形的直角边长为$a$,$b$,斜边长为$c$.若$b - a = 4$,$c = 20$,则每个直角三角形的面积为
96
.答案
12.96
解析
【分析】
要求直角三角形的面积，根据面积公式可知只需算出$ab$的值即可。已知直角三角形斜边为$c$，由勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$，结合已知$b-a=4$，将该式两边平方后，和勾股定理的式子联立，即可求出$ab$的值，进而得到面积。
【解析】
解：根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
已知$c=20$，代入得：
$a^2 + b^2 = 20^2 = 400$
将$b - a = 4$两边同时平方，根据完全平方公式展开得：
$(b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2 = 4^2 = 16$
把$a^2 + b^2 = 400$代入上式：
$400 - 2ab = 16$
移项计算得：
$2ab = 400 - 16 = 384$，即$ab = 192$
直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 192 = 96$
【答案】
96
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查勾股定理与乘法公式的结合应用，解题时不需要单独求出$a$、$b$的具体值，通过整体代换求$ab$即可简化计算，是数形结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
要求直角三角形的面积，根据面积公式可知只需算出$ab$的值即可。已知直角三角形斜边为$c$，由勾股定理可得$a^2+b^2=c^2$，结合已知$b-a=4$，将该式两边平方后，和勾股定理的式子联立，即可求出$ab$的值，进而得到面积。
【解析】
解：根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
已知$c=20$，代入得：
$a^2 + b^2 = 20^2 = 400$
将$b - a = 4$两边同时平方，根据完全平方公式展开得：
$(b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2 = 4^2 = 16$
把$a^2 + b^2 = 400$代入上式：
$400 - 2ab = 16$
移项计算得：
$2ab = 400 - 16 = 384$，即$ab = 192$
直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 192 = 96$
【答案】
96
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，考查勾股定理与乘法公式的结合应用，解题时不需要单独求出$a$、$b$的具体值，通过整体代换求$ab$即可简化计算，是数形结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
13.已知一次函数的图象过(2,5)和(-2,-7)两点.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若点(a,6)在这个函数的图象上,求a的值.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若点(a,6)在这个函数的图象上,求a的值.
答案
13. 解:(1)设一次函数的解析式为$y=kx+b(k≠0)$,
把$(2,5)$和$(-2,-7)$代入,得
$\begin{cases}2k+b=5,\\-2k+b=-7,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3,\\b=-1.\end{cases}$
∴该一次函数的解析式为$y=3x-1$.
(2)把$(a,6)$代入$y=3x-1$,得$3a-1=6$,
∴$a=\frac{7}{3}$.
把$(2,5)$和$(-2,-7)$代入,得
$\begin{cases}2k+b=5,\\-2k+b=-7,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3,\\b=-1.\end{cases}$
∴该一次函数的解析式为$y=3x-1$.
(2)把$(a,6)$代入$y=3x-1$,得$3a-1=6$,
∴$a=\frac{7}{3}$.
解析
【分析】
(1) 求一次函数解析式优先使用待定系数法，先设出一次函数的通用形式$y=kx+b(k≠0)$，由于函数图象经过的点的坐标一定满足函数解析式，因此将两个已知点的坐标分别代入所设解析式，就能得到关于参数$k$和$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，即可确定函数解析式。
(2) 若点在函数图象上，说明该点的横纵坐标符合函数解析式，因此将点的坐标代入已求出的解析式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可得到$a$的值。
【解析】
(1) 设该一次函数的解析式为$y=kx+b(k≠ 0)$，
把$(2,5)$和$(-2,-7)$两点分别代入解析式，得：
$\begin{cases}2k+b=5\\-2k+b=-7\end{cases}$
将两个方程相加消去$k$，可得$2b=-2$，解得$b=-1$，
把$b=-1$代入$2k+b=5$，可得$2k-1=5$，解得$k=3$，
∴该一次函数的解析式为$y=3x-1$。
(2)
∵点$(a,6)$在这个函数的图象上，
∴将$x=a$，$y=6$代入$y=3x-1$，得：
$3a-1=6$
移项得$3a=7$，解得$a=\frac{7}{3}$。
【答案】
(1) $y=3x-1$；(2) $a=\frac{7}{3}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础考题，侧重考查待定系数法的应用逻辑，以及函数图象上点与解析式的对应关系，掌握解题方法后难度较低，计算时注意符号即可。
【难度系数】
0.8
(1) 求一次函数解析式优先使用待定系数法，先设出一次函数的通用形式$y=kx+b(k≠0)$，由于函数图象经过的点的坐标一定满足函数解析式，因此将两个已知点的坐标分别代入所设解析式，就能得到关于参数$k$和$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，即可确定函数解析式。
(2) 若点在函数图象上，说明该点的横纵坐标符合函数解析式，因此将点的坐标代入已求出的解析式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可得到$a$的值。
【解析】
(1) 设该一次函数的解析式为$y=kx+b(k≠ 0)$，
把$(2,5)$和$(-2,-7)$两点分别代入解析式，得：
$\begin{cases}2k+b=5\\-2k+b=-7\end{cases}$
将两个方程相加消去$k$，可得$2b=-2$，解得$b=-1$，
把$b=-1$代入$2k+b=5$，可得$2k-1=5$，解得$k=3$，
∴该一次函数的解析式为$y=3x-1$。
(2)
∵点$(a,6)$在这个函数的图象上，
∴将$x=a$，$y=6$代入$y=3x-1$，得：
$3a-1=6$
移项得$3a=7$，解得$a=\frac{7}{3}$。
【答案】
(1) $y=3x-1$；(2) $a=\frac{7}{3}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础考题，侧重考查待定系数法的应用逻辑，以及函数图象上点与解析式的对应关系，掌握解题方法后难度较低，计算时注意符号即可。
【难度系数】
0.8
14.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,E为AB的中点,连接CE并延长与DA的延长线相交于点F,连接DE.
(1)求证:△AEF≌△BEC;
(2)求证:DE是∠CDF的平分线.
(1)求证:△AEF≌△BEC;
(2)求证:DE是∠CDF的平分线.
答案
14. 证明:(1)$∵$四边形$ABCD$是平行四边形,
$∴AD// BC$.
$∴∠F=∠BCE$.
$∵E$是$AB$的中点,
$∴AE=BE$.
在$△ AEF$和$△ BEC$中,$\begin{cases}∠F=∠BCE,\\∠AEF=∠BEC,\\AE=BE,\end{cases}$
$∴△ AEF≌△ BEC$.
(2)$∵$四边形$ABCD$是平行四边形,
$∴AB// CD,AD=BC$.
$∴∠AED=∠CDE$.
$∵AB=2BC,E$为$AB$的中点,
$∴AE=AD$.
$∴∠AED=∠ADE$.
$∴∠ADE=∠CDE$.
$∴DE$是$∠CDF$的平分线.
$∴AD// BC$.
$∴∠F=∠BCE$.
$∵E$是$AB$的中点,
$∴AE=BE$.
在$△ AEF$和$△ BEC$中,$\begin{cases}∠F=∠BCE,\\∠AEF=∠BEC,\\AE=BE,\end{cases}$
$∴△ AEF≌△ BEC$.
(2)$∵$四边形$ABCD$是平行四边形,
$∴AB// CD,AD=BC$.
$∴∠AED=∠CDE$.
$∵AB=2BC,E$为$AB$的中点,
$∴AE=AD$.
$∴∠AED=∠ADE$.
$∴∠ADE=∠CDE$.
$∴DE$是$∠CDF$的平分线.
解析
【分析】
（1）要证明△AEF≌△BEC，先结合平行四边形的性质找对应相等的量：平行四边形对边平行，可得AD//BC，推出内错角∠F=∠BCE；再由E是AB中点得到AE=BE，加上对顶角∠AEF=∠BEC，满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
（2）要证明DE是∠CDF的平分线，本质是证∠ADE=∠CDE：首先利用平行四边形对边平行的性质，AB//CD可得内错角∠CDE=∠AED；再结合AB=2BC、E是AB中点，以及平行四边形对边相等AD=BC的性质，可推出AE=AD，即△AED为等腰三角形，由等边对等角得∠AED=∠ADE，等量代换即可得到∠ADE=∠CDE，完成证明。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD// BC.
∴∠F=∠BCE.
∵E是AB的中点,
∴AE=BE.
在△AEF和△BEC中,
$\begin{cases}∠F=∠BCE,\\∠AEF=∠BEC,\\AE=BE,\end{cases}$
∴△AEF≌△BEC.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB// CD,AD=BC.
∴∠AED=∠CDE.
∵AB=2BC,E为AB的中点,
∴AE=AD.
∴∠AED=∠ADE.
∴∠ADE=∠CDE.
∴DE是∠CDF的平分线.
【答案】
(1)△AEF≌△BEC成立；
(2)DE是∠CDF的平分线成立。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握平行四边形、全等三角形、等腰三角形的相关性质，理清边角之间的等量关系，逐步推导即可得到结论，是几何证明的常见题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△AEF≌△BEC，先结合平行四边形的性质找对应相等的量：平行四边形对边平行，可得AD//BC，推出内错角∠F=∠BCE；再由E是AB中点得到AE=BE，加上对顶角∠AEF=∠BEC，满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
（2）要证明DE是∠CDF的平分线，本质是证∠ADE=∠CDE：首先利用平行四边形对边平行的性质，AB//CD可得内错角∠CDE=∠AED；再结合AB=2BC、E是AB中点，以及平行四边形对边相等AD=BC的性质，可推出AE=AD，即△AED为等腰三角形，由等边对等角得∠AED=∠ADE，等量代换即可得到∠ADE=∠CDE，完成证明。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD// BC.
∴∠F=∠BCE.
∵E是AB的中点,
∴AE=BE.
在△AEF和△BEC中,
$\begin{cases}∠F=∠BCE,\\∠AEF=∠BEC,\\AE=BE,\end{cases}$
∴△AEF≌△BEC.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB// CD,AD=BC.
∴∠AED=∠CDE.
∵AB=2BC,E为AB的中点,
∴AE=AD.
∴∠AED=∠ADE.
∴∠ADE=∠CDE.
∴DE是∠CDF的平分线.
【答案】
(1)△AEF≌△BEC成立；
(2)DE是∠CDF的平分线成立。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握平行四边形、全等三角形、等腰三角形的相关性质，理清边角之间的等量关系，逐步推导即可得到结论，是几何证明的常见题型。
【难度系数】
0.7
