例5 已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4 cm，线段OB的长度为6 cm，E，F分别为线段OA，OB的中点，则线段EF的长为cm.
分析:抓住本题的关键词“直线”AB，对于点O的位置没有确切地告诉我们，因此对点O要进行讨论，实施分类解答.
解:(1)点O在直线AB的两个端点的内部，如图，
∵E，F分别为线段OA，OB的中点，
∴OE=AE=$\frac{1}{2}$AO，OF=FB=$\frac{1}{2}$OB，
∵EF=OE+OF，
∴EF=$\frac{1}{2}$AO+$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×4+$\frac{1}{2}$×6=5(cm).
(2)点O在直线AB的两个端点的外部，如图，
这时，EF=OF−OE=
3−2=1(cm).
综上所述，线段EF的长为1 cm或5 cm.
故答案为1或5.

解：
分两种情况讨论：
(1) 当点O在线段AB上时，如图1：
∵E，F分别为线段OA，OB的中点，
∴$OE=\frac{1}{2}OA$，$OF=\frac{1}{2}OB$，
∵OA=4 cm，OB=6 cm，
∴OE=2 cm，OF=3 cm，
∴EF=OE+OF=2+3=5 cm。
(2) 当点O在线段BA的延长线上时，如图2：
∵E，F分别为线段OA，OB的中点，
∴$OE=\frac{1}{2}OA=2$ cm，$OF=\frac{1}{2}OB=3$ cm，
∴EF=OF-OE=3-2=1 cm。
综上所述，线段EF的长为1 cm或5 cm。
故答案为 1或5。

例6 如图所示，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两点，点E是橡皮筋上的任意一点，拽动点E将橡皮筋拉紧后，请你探索∠A，∠C，∠AEC之间的关系，并说明理由。

分析：因为原题当中并没有说明点E拽动后的位置，所以结合实际情况，可以将点E拽动后的位置分为四种情况。
解：第一种情况(如图1)，$∠ AEC=∠ A+∠ C$。
理由：经过点E作$EF// AB$，$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EF// CD$，(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
$\therefore ∠ A=∠ 1,∠ C=∠ 2$，(两直线平行，内错角相等)
$\therefore ∠ 1+∠ 2=∠ A+∠ C$，
即$∠ AEC=∠ A+∠ C$。

第二种情况(如图2)，$∠ AEC+∠ A+∠ C=360°$。
理由：经过点E作$EF// AB$，$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EF// CD$，(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
$\therefore ∠ 1+∠ A=180°,∠ 2+∠ C=180°$，(两直线平行，同旁内角互补)
$\therefore ∠ 1+∠ A+∠ 2+∠ C=360°$，
即$∠ A+∠ C+∠ AEC=360°$。
第三种情况(如图3)，$∠ AEC=∠ A-∠ C$。
理由：经过点E作$EF// AB$，$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EF// CD$，(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
$\therefore ∠ A=∠ AEF,∠ C=∠ 1$，(两直线平行，内错角相等)
$\therefore ∠ A-∠ C=∠ AEF-∠ 1$，
即$∠ AEC=∠ A-∠ C$。

第四种情况(如图4)，$∠ AEC=∠ C-∠ A$。
理由：经过点E作$EF// AB$，$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EF// CD$，(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
$\therefore ∠ C+∠ 1=180°,∠ A+∠ AEF=180°$，(两直线平行，同旁内角互补)
$\therefore (∠ C+∠ 1)-(∠ A+∠ AEF)=180°-180°=0$，
$\therefore ∠ C+∠ 1-∠ A-∠ AEF=0$，
$\therefore ∠ C-∠ A=∠ AEF-∠ 1=∠ AEC$，
即$∠ AEC=∠ C-∠ A$。

解：分四种情况讨论：
1. 如图1，$∠ AEC=∠ A+∠ C$。
理由：经过点E作$EF// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ A=∠ 1$，$∠ C=∠ 2$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ 1+∠ 2=∠ A+∠ C$，
即$∠ AEC=∠ A+∠ C$。
2. 如图2，$∠ AEC+∠ A+∠ C=360°$。
理由：经过点E作$EF// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ 1+∠ A=180°$，$∠ 2+∠ C=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ 1+∠ A+∠ 2+∠ C=360°$，
即$∠ A+∠ C+∠ AEC=360°$。
3. 如图3，$∠ AEC=∠ A-∠ C$。
理由：经过点E作$EF// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ A=∠ AEF$，$∠ C=∠ 1$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ A-∠ C=∠ AEF-∠ 1$，
即$∠ AEC=∠ A-∠ C$。
4. 如图4，$∠ AEC=∠ C-∠ A$。
理由：经过点E作$EF// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore AB// EF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ C+∠ 1=180°$，$∠ A+∠ AEF=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore (∠ C+∠ 1)-(∠ A+∠ AEF)=180°-180°=0$，
$\therefore ∠ C+∠ 1-∠ A-∠ AEF=0$，
$\therefore ∠ C-∠ A=∠ AEF-∠ 1=∠ AEC$，
即$∠ AEC=∠ C-∠ A$。