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1. 方程 $4x^{2}-1=0$ 的根是 （
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\pm\dfrac{1}{2}$
C.$2$
D.$\pm2$
B
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\pm\dfrac{1}{2}$
C.$2$
D.$\pm2$
答案
1.B 解析:$4x^{2}-1=0,x^{2}=\dfrac{1}{4}$,解得 $x=\pm\dfrac{1}{2}$,故选 B.
解析
【分析】要解一元二次方程$4x^2 -1=0$，需先通过移项、系数化为1将方程转化为$x^2=a$的形式，再利用平方根的定义直接开平方求出$x$的值，最后对应选项选出正确答案。
【解析】解：移项得，$4x^2 =1$，两边同时除以4，得$x^2=\frac{1}{4}$，根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}$，因此方程的根是$\pm\frac{1}{2}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程解法、直接开平方法
【点评】本题考查一元二次方程的基础解法，直接运用直接开平方法即可快速求解，属于入门级题目。
【难度系数】0.9
【解析】解：移项得，$4x^2 =1$，两边同时除以4，得$x^2=\frac{1}{4}$，根据平方根的定义，$x=\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}$，因此方程的根是$\pm\frac{1}{2}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程解法、直接开平方法
【点评】本题考查一元二次方程的基础解法，直接运用直接开平方法即可快速求解，属于入门级题目。
【难度系数】0.9
2. (2025·天津期中)一元二次方程$(x+6)^{2}=64$可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是$x+6=8$,则另一个一元一次方程是（
A.$x-6=-8$
B.$x-6=8$
C.$x+6=8$
D.$x+6=-8$
D
）A.$x-6=-8$
B.$x-6=8$
C.$x+6=8$
D.$x+6=-8$
答案
2.D 解析:$\because (x+6)^2 = 64,\therefore x+6=8$ 或 $x+6=-8$,故选 D.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的直接开平方法，解题思路：对于形如$a^2 = b$（$b≥0$）的方程，根据平方根的定义，可转化为两个一元一次方程$a = \sqrt{b}$和$a = -\sqrt{b}$。本题中方程为$(x+6)^2 = 64$，即$x+6$是64的平方根，64的平方根为±8，已知其中一个一元一次方程是$x+6=8$，则另一个一元一次方程为$x+6=-8$。
【解析】
根据平方根的定义，若$a^2 = b$（$b≥0$），则$a = \pm\sqrt{b}$。对于方程$(x+6)^2 = 64$，可得$x+6 = \pm8$，已知其中一个一元一次方程为$x+6=8$，则另一个一元一次方程是$x+6=-8$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法、直接开平方法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，直接考查平方根定义在解一元二次方程中的应用，难度较低，主要检验学生对直接开平方法的掌握程度。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的直接开平方法，解题思路：对于形如$a^2 = b$（$b≥0$）的方程，根据平方根的定义，可转化为两个一元一次方程$a = \sqrt{b}$和$a = -\sqrt{b}$。本题中方程为$(x+6)^2 = 64$，即$x+6$是64的平方根，64的平方根为±8，已知其中一个一元一次方程是$x+6=8$，则另一个一元一次方程为$x+6=-8$。
【解析】
根据平方根的定义，若$a^2 = b$（$b≥0$），则$a = \pm\sqrt{b}$。对于方程$(x+6)^2 = 64$，可得$x+6 = \pm8$，已知其中一个一元一次方程为$x+6=8$，则另一个一元一次方程是$x+6=-8$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法、直接开平方法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，直接考查平方根定义在解一元二次方程中的应用，难度较低，主要检验学生对直接开平方法的掌握程度。
【难度系数】
0.9
3. 如图,这是一个简单的数值运算程序,则输入$x$的值为（
A.$x_{1}=2,x_{2}=-2$
B.$x_{1}=3,x_{2}=-3$
C.$x_{1}=3,x_{2}=-1$
D.$x_{1}=-3,x_{2}=1$
C
）A.$x_{1}=2,x_{2}=-2$
B.$x_{1}=3,x_{2}=-3$
C.$x_{1}=3,x_{2}=-1$
D.$x_{1}=-3,x_{2}=1$
答案
3.C 解析:由题意得 $2(x-1)^2=8$,整理得$(x-1)^2=4$,直接开平方得 $x-1=2$ 或 $x-1=-2$,解得 $x_1=3,x_2=-1$.故选 C.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先根据数值运算程序的运算流程，将输入$x$后的运算结果与输出的8建立等量关系，得到关于$x$的一元二次方程，再通过直接开平方法求解方程，最终确定输入$x$的值，选出正确选项。
【解析】
根据数值运算程序，输入$x$后，先计算$(x-1)^2$，再将结果乘以2，最终输出8，据此可列出方程：
$2(x-1)^2 = 8$
1. 化简方程：方程两边同时除以2，得$(x-1)^2 = 4$；
2. 开平方求解：对等式两边直接开平方，得$x - 1 = 2$或$x - 1 = -2$；
3. 分别解一元一次方程：
当$x - 1 = 2$时，解得$x = 3$；
当$x - 1 = -2$时，解得$x = -1$。
因此输入$x$的值为3或-1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法
【点评】
本题结合数值运算程序考查一元二次方程的求解，核心是将程序转化为方程，利用直接开平方法解一元二次方程，需注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先根据数值运算程序的运算流程，将输入$x$后的运算结果与输出的8建立等量关系，得到关于$x$的一元二次方程，再通过直接开平方法求解方程，最终确定输入$x$的值，选出正确选项。
【解析】
根据数值运算程序，输入$x$后，先计算$(x-1)^2$，再将结果乘以2，最终输出8，据此可列出方程：
$2(x-1)^2 = 8$
1. 化简方程：方程两边同时除以2，得$(x-1)^2 = 4$；
2. 开平方求解：对等式两边直接开平方，得$x - 1 = 2$或$x - 1 = -2$；
3. 分别解一元一次方程：
当$x - 1 = 2$时，解得$x = 3$；
当$x - 1 = -2$时，解得$x = -1$。
因此输入$x$的值为3或-1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法
【点评】
本题结合数值运算程序考查一元二次方程的求解，核心是将程序转化为方程，利用直接开平方法解一元二次方程，需注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
4. (1) 若关于 $x$ 的方程 $(x-1)^2=a$ 有两个相等的实数根, 则 $a=$
(2) 如果关于 $x$ 的方程 $(x+2)^2+m=0$ 没有实数根,那么实数 $m$ 的取值范围是
0
；(2) 如果关于 $x$ 的方程 $(x+2)^2+m=0$ 没有实数根,那么实数 $m$ 的取值范围是
m＞0
.答案
4.(1)0 解析:当 $a＞0$ 时,方程$(x-1)^2=a$ 有两个不相等的实数根,当 $a=0$ 时,方程$(x-1)^2=a$ 有两个相等的实数根,故 $a=0$.
(2)$m＞0$ 解析:原式变形为$(x+2)^2=-m$,因为没有实数根,则$-m＜0$,得 $m＞0$.
(2)$m＞0$ 解析:原式变形为$(x+2)^2=-m$,因为没有实数根,则$-m＜0$,得 $m＞0$.
解析
【分析】对于形如$(x-h)^2=k$的一元二次方程，根的情况由常数项$k$决定：$k＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$k=0$时，方程有两个相等的实数根；$k＜0$时，方程无实数根。据此可分别求解两小问。
【解析】
(1) 已知方程$(x-1)^2=a$有两个相等的实数根，根据上述规律，当$k=a=0$时，方程有两个相等的实数根，故$a=0$；
(2) 将方程$(x+2)^2+m=0$变形为$(x+2)^2=-m$，因为方程没有实数根，所以$-m＜0$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变），得$m＞0$。
【答案】(1)0；(2)$m＞0$
【知识点】一元二次方程根的情况、直接开平方法解一元二次方程
【点评】本题考查直接开平方法下一元二次方程根的判定，属于基础题型，需掌握形如$(x-h)^2=k$的方程根的情况与$k$的对应关系。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 已知方程$(x-1)^2=a$有两个相等的实数根，根据上述规律，当$k=a=0$时，方程有两个相等的实数根，故$a=0$；
(2) 将方程$(x+2)^2+m=0$变形为$(x+2)^2=-m$，因为方程没有实数根，所以$-m＜0$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变），得$m＞0$。
【答案】(1)0；(2)$m＞0$
【知识点】一元二次方程根的情况、直接开平方法解一元二次方程
【点评】本题考查直接开平方法下一元二次方程根的判定，属于基础题型，需掌握形如$(x-h)^2=k$的方程根的情况与$k$的对应关系。
【难度系数】0.7
5. (1) 已知$\sqrt{5}$是一元二次方程$x^{2}+c=0$的一个根,则该方程的另一个根是
(2)(2026·扬州校级月考)若一元二次方程$ax^{2}=b(ab＞0)$的两个根分别是$m+1$与$2m-4$,则$\dfrac{b}{a}=$
$-\sqrt{5}$
;(2)(2026·扬州校级月考)若一元二次方程$ax^{2}=b(ab＞0)$的两个根分别是$m+1$与$2m-4$,则$\dfrac{b}{a}=$
4
.答案
5.(1)$-\sqrt{5}$ 解析:将 $x=\sqrt{5}$ 代入 $x^2+c=0$ 得 $c=-5$,$\therefore$ 该方程的另一个根是$-\sqrt{5}$.
(2)4 解析:由 $ax^2=b\ (ab＞0)$ 得 $x^2=\dfrac{b}{a}$,解得 $x=\pm\sqrt{\dfrac{b}{a}}$,可知两根互为相反数.$\because$ 一元二次方程 $ax^2=b\ (ab＞0)$ 的两个根分别是 $m+1$ 与 $2m-4$,$\therefore m+1+2m-4=0$,解得 $m=1$,$\therefore$ 一元二次方程 $ax^2=b\ (ab＞0)$ 的两个根分别是 2 和 -2,$\therefore \sqrt{\dfrac{b}{a}}=2$,$\therefore \dfrac{b}{a}=4$.
(2)4 解析:由 $ax^2=b\ (ab＞0)$ 得 $x^2=\dfrac{b}{a}$,解得 $x=\pm\sqrt{\dfrac{b}{a}}$,可知两根互为相反数.$\because$ 一元二次方程 $ax^2=b\ (ab＞0)$ 的两个根分别是 $m+1$ 与 $2m-4$,$\therefore m+1+2m-4=0$,解得 $m=1$,$\therefore$ 一元二次方程 $ax^2=b\ (ab＞0)$ 的两个根分别是 2 和 -2,$\therefore \sqrt{\dfrac{b}{a}}=2$,$\therefore \dfrac{b}{a}=4$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的相关性质，解题思路：(1)已知方程的一个根，可代入方程求出常数项，再解方程得到另一个根；也可利用形如$x^2 = k$（$k≥0$）的一元二次方程的两个根互为相反数的性质直接求解；(2)将方程变形为$x^2=\frac{b}{a}$，可知其两根互为相反数，据此列方程求出$m$，再代入求$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
(1) 把$x=\sqrt{5}$代入方程$x^2 + c = 0$，得：
$(\sqrt{5})^2 + c = 0$，即$5 + c = 0$，解得$c = -5$，
则原方程为$x^2 - 5 = 0$，解得$x = \pm\sqrt{5}$，因此另一个根是$-\sqrt{5}$。
(2) 由$ax^2 = b$（$ab＞0$），变形得$x^2 = \frac{b}{a}$，可知该方程的两个根互为相反数，
因此两根之和为$0$，即$(m + 1) + (2m - 4) = 0$，
解得$3m - 3 = 0$，即$m = 1$，
则两个根分别为$m + 1 = 2$，$2m - 4 = -2$，
所以$\sqrt{\frac{b}{a}} = 2$，两边平方得$\frac{b}{a} = 4$。
【答案】
(1)$-\sqrt{5}$；(2)$4$
【知识点】
一元二次方程的根、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程根的基础应用，核心是掌握形如$x^2 = k$的方程的根的性质，利用根的对称性可简化计算，难度较低，属于一元二次方程的常规题型。
【难度系数】
0.6
本题考查一元二次方程根的相关性质，解题思路：(1)已知方程的一个根，可代入方程求出常数项，再解方程得到另一个根；也可利用形如$x^2 = k$（$k≥0$）的一元二次方程的两个根互为相反数的性质直接求解；(2)将方程变形为$x^2=\frac{b}{a}$，可知其两根互为相反数，据此列方程求出$m$，再代入求$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
(1) 把$x=\sqrt{5}$代入方程$x^2 + c = 0$，得：
$(\sqrt{5})^2 + c = 0$，即$5 + c = 0$，解得$c = -5$，
则原方程为$x^2 - 5 = 0$，解得$x = \pm\sqrt{5}$，因此另一个根是$-\sqrt{5}$。
(2) 由$ax^2 = b$（$ab＞0$），变形得$x^2 = \frac{b}{a}$，可知该方程的两个根互为相反数，
因此两根之和为$0$，即$(m + 1) + (2m - 4) = 0$，
解得$3m - 3 = 0$，即$m = 1$，
则两个根分别为$m + 1 = 2$，$2m - 4 = -2$，
所以$\sqrt{\frac{b}{a}} = 2$，两边平方得$\frac{b}{a} = 4$。
【答案】
(1)$-\sqrt{5}$；(2)$4$
【知识点】
一元二次方程的根、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程根的基础应用，核心是掌握形如$x^2 = k$的方程的根的性质，利用根的对称性可简化计算，难度较低，属于一元二次方程的常规题型。
【难度系数】
0.6
6. 教材变式 用直接开平方法解下列方程.
(1)$9x^{2}-25=0;$
(2)$(4x-1)^{2}-9=0;$
(3)$(3x-1)(3x+1)-1=0;$
(4)$\dfrac{1}{2}(3-x)^{2}-4=0.$
(1)$9x^{2}-25=0;$
(2)$(4x-1)^{2}-9=0;$
(3)$(3x-1)(3x+1)-1=0;$
(4)$\dfrac{1}{2}(3-x)^{2}-4=0.$
答案
6.(1)$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=-\dfrac{5}{3}$.
(2)$x_1=1,x_2=-\dfrac{1}{2}$.
(3)$x_1=\dfrac{\sqrt{2}}{3},x_2=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
(4)$x_1=3-2\sqrt{2},x_2=3+2\sqrt{2}$.
(2)$x_1=1,x_2=-\dfrac{1}{2}$.
(3)$x_1=\dfrac{\sqrt{2}}{3},x_2=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
(4)$x_1=3-2\sqrt{2},x_2=3+2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程整理为形如$A^2 = B$（$B≥0$）的形式，再根据平方根的定义，得到$A = \pm\sqrt{B}$，进而求解未知数。本题的4个方程需通过移项、整理（部分需用平方差公式化简）转化为平方项等于非负数的形式，开平方时注意正负两种解，确保计算准确。
【解析】
(1) 解方程$9x^2 -25=0$：
移项得$9x^2=25$，两边同除以9得$x^2=\frac{25}{9}$，开平方得$x=\pm\frac{5}{3}$，故$x_1=\frac{5}{3},x_2=-\frac{5}{3}$。
(2) 解方程$(4x-1)^2 -9=0$：
移项得$(4x-1)^2=9$，开平方得$4x-1=\pm3$。当$4x-1=3$时，$4x=4$，解得$x=1$；当$4x-1=-3$时，$4x=-2$，解得$x=-\frac{1}{2}$，故$x_1=1,x_2=-\frac{1}{2}$。
(3) 解方程$(3x-1)(3x+1)-1=0$：
利用平方差公式化简左边得$9x^2 -1 -1=9x^2 -2$，方程变为$9x^2=2$，两边同除以9得$x^2=\frac{2}{9}$，开平方得$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{3}$，故$x_1=\frac{\sqrt{2}}{3},x_2=-\frac{\sqrt{2}}{3}$。
(4) 解方程$\frac{1}{2}(3-x)^2 -4=0$：
移项得$\frac{1}{2}(3-x)^2=4$，两边同乘2得$(3-x)^2=8$，开平方得$3-x=\pm2\sqrt{2}$。当$3-x=2\sqrt{2}$时，$x=3-2\sqrt{2}$；当$3-x=-2\sqrt{2}$时，$x=3+2\sqrt{2}$，故$x_1=3-2\sqrt{2},x_2=3+2\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=-\dfrac{5}{3}$；(2)$x_1=1,x_2=-\dfrac{1}{2}$；(3)$x_1=\dfrac{\sqrt{2}}{3},x_2=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$；(4)$x_1=3-2\sqrt{2},x_2=3+2\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方差公式
【点评】
本题是直接开平方法的基础变式练习，涵盖移项整理、公式化简等步骤，核心是掌握将方程转化为平方项等于非负数的形式，利用平方根性质求解，适合巩固一元二次方程的基础解法，难度较低。
【难度系数】
0.7
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程整理为形如$A^2 = B$（$B≥0$）的形式，再根据平方根的定义，得到$A = \pm\sqrt{B}$，进而求解未知数。本题的4个方程需通过移项、整理（部分需用平方差公式化简）转化为平方项等于非负数的形式，开平方时注意正负两种解，确保计算准确。
【解析】
(1) 解方程$9x^2 -25=0$：
移项得$9x^2=25$，两边同除以9得$x^2=\frac{25}{9}$，开平方得$x=\pm\frac{5}{3}$，故$x_1=\frac{5}{3},x_2=-\frac{5}{3}$。
(2) 解方程$(4x-1)^2 -9=0$：
移项得$(4x-1)^2=9$，开平方得$4x-1=\pm3$。当$4x-1=3$时，$4x=4$，解得$x=1$；当$4x-1=-3$时，$4x=-2$，解得$x=-\frac{1}{2}$，故$x_1=1,x_2=-\frac{1}{2}$。
(3) 解方程$(3x-1)(3x+1)-1=0$：
利用平方差公式化简左边得$9x^2 -1 -1=9x^2 -2$，方程变为$9x^2=2$，两边同除以9得$x^2=\frac{2}{9}$，开平方得$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{3}$，故$x_1=\frac{\sqrt{2}}{3},x_2=-\frac{\sqrt{2}}{3}$。
(4) 解方程$\frac{1}{2}(3-x)^2 -4=0$：
移项得$\frac{1}{2}(3-x)^2=4$，两边同乘2得$(3-x)^2=8$，开平方得$3-x=\pm2\sqrt{2}$。当$3-x=2\sqrt{2}$时，$x=3-2\sqrt{2}$；当$3-x=-2\sqrt{2}$时，$x=3+2\sqrt{2}$，故$x_1=3-2\sqrt{2},x_2=3+2\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\dfrac{5}{3},x_2=-\dfrac{5}{3}$；(2)$x_1=1,x_2=-\dfrac{1}{2}$；(3)$x_1=\dfrac{\sqrt{2}}{3},x_2=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$；(4)$x_1=3-2\sqrt{2},x_2=3+2\sqrt{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方差公式
【点评】
本题是直接开平方法的基础变式练习，涵盖移项整理、公式化简等步骤，核心是掌握将方程转化为平方项等于非负数的形式，利用平方根性质求解，适合巩固一元二次方程的基础解法，难度较低。
【难度系数】
0.7
7. 如图,数轴上点 A,B 表示方程$(3x-9)^{2}-37=0$的两个根 a,b$(a＞b)$,它们在数轴上的对应点的位置可以是（
D
）答案
7.D 解析:$\because (3x-9)^2-37=0$,$\therefore (3x-9)^2=37$,$\therefore 3x-9=\pm\sqrt{37}$,$\therefore a=3+\dfrac{\sqrt{37}}{3}$,$b=3-\dfrac{\sqrt{37}}{3}$.$\because \sqrt{36}＜\sqrt{37}＜\sqrt{49}$,$\therefore 6＜\sqrt{37}＜7$,$\therefore \dfrac{2}{3}＜b＜1$.$\because a＞b$,$\therefore$ 它们在数轴上的对应点的位置可以是 D.故选 D.
解析
【分析】
要确定方程的两个根在数轴上的位置，需先通过直接开平方法解一元二次方程得到两个根，再估算无理数的大小确定根的取值范围，最后结合数轴上“右边的数大于左边的数，正数在0右侧、负数在0左侧”的特征，匹配对应选项。
【解析】
解：对原方程$(3x-9)^2 - 37 = 0$移项得：
$(3x - 9)^2 = 37$
两边开平方得：
$3x - 9 = ±\sqrt{37}$
分别求解两个根：
当$3x - 9 = \sqrt{37}$时，$x = \frac{9 + \sqrt{37}}{3} = 3 + \frac{\sqrt{37}}{3}$，即$a = 3 + \frac{\sqrt{37}}{3}$；
当$3x - 9 = -\sqrt{37}$时，$x = \frac{9 - \sqrt{37}}{3} = 3 - \frac{\sqrt{37}}{3}$，即$b = 3 - \frac{\sqrt{37}}{3}$。
估算$\sqrt{37}$的范围：
因为$\sqrt{36} ＜ \sqrt{37} ＜ \sqrt{49}$，所以$6 ＜ \sqrt{37} ＜ 7$，
两边除以3得：$2 ＜ \frac{\sqrt{37}}{3} ＜ \frac{7}{3} ≈ 2.33$，
因此$b = 3 - \frac{\sqrt{37}}{3}$的范围为：$3 - 2.33 ＜ b ＜ 3 - 2$，即$0.67 ＜ b ＜ 1$，说明b是正数，在0右侧；
$a = 3 + \frac{\sqrt{37}}{3} ＞ 3$，也是正数，且$a ＞ b$，故a在b的右侧，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法、估算无理数大小、数轴的应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，需掌握直接开平方法解一元二次方程，以及估算无理数的大小来确定数的范围，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要确定方程的两个根在数轴上的位置，需先通过直接开平方法解一元二次方程得到两个根，再估算无理数的大小确定根的取值范围，最后结合数轴上“右边的数大于左边的数，正数在0右侧、负数在0左侧”的特征，匹配对应选项。
【解析】
解：对原方程$(3x-9)^2 - 37 = 0$移项得：
$(3x - 9)^2 = 37$
两边开平方得：
$3x - 9 = ±\sqrt{37}$
分别求解两个根：
当$3x - 9 = \sqrt{37}$时，$x = \frac{9 + \sqrt{37}}{3} = 3 + \frac{\sqrt{37}}{3}$，即$a = 3 + \frac{\sqrt{37}}{3}$；
当$3x - 9 = -\sqrt{37}$时，$x = \frac{9 - \sqrt{37}}{3} = 3 - \frac{\sqrt{37}}{3}$，即$b = 3 - \frac{\sqrt{37}}{3}$。
估算$\sqrt{37}$的范围：
因为$\sqrt{36} ＜ \sqrt{37} ＜ \sqrt{49}$，所以$6 ＜ \sqrt{37} ＜ 7$，
两边除以3得：$2 ＜ \frac{\sqrt{37}}{3} ＜ \frac{7}{3} ≈ 2.33$，
因此$b = 3 - \frac{\sqrt{37}}{3}$的范围为：$3 - 2.33 ＜ b ＜ 3 - 2$，即$0.67 ＜ b ＜ 1$，说明b是正数，在0右侧；
$a = 3 + \frac{\sqrt{37}}{3} ＞ 3$，也是正数，且$a ＞ b$，故a在b的右侧，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法、估算无理数大小、数轴的应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，需掌握直接开平方法解一元二次方程，以及估算无理数的大小来确定数的范围，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
8. (2025·大庆中考) 如图，
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,反比例函数$y=$$\dfrac{2}{x}(x＞0)$与正比例函数$y=kx\ (k＞0)$的图象交于点A.将正比例函数$y=kx\ (k＞0)$的图象向上平移$\dfrac{3}{2}$个单位后得到的图象与$y$轴交于点$B$,与反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$$(x＞0)$的图象交于点$C$.过点$C$作$x$轴的垂线,与$x$轴交于点$D$.线段$CD$与$OA$交于点$E$,点$E$为$OA$中点,则$k$的值为（
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$1$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$2$
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,反比例函数$y=$$\dfrac{2}{x}(x＞0)$与正比例函数$y=kx\ (k＞0)$的图象交于点A.将正比例函数$y=kx\ (k＞0)$的图象向上平移$\dfrac{3}{2}$个单位后得到的图象与$y$轴交于点$B$,与反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$$(x＞0)$的图象交于点$C$.过点$C$作$x$轴的垂线,与$x$轴交于点$D$.线段$CD$与$OA$交于点$E$,点$E$为$OA$中点,则$k$的值为（
C
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$1$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$2$
答案
8.C 解析:联立$\begin{cases}y=\dfrac{2}{x},\\y=kx\end{cases}$得 $kx=\dfrac{2}{x}$,解得 $x=\pm\sqrt{\dfrac{2}{k}}$.$\because x＞0$,$\therefore x=\sqrt{\dfrac{2}{k}}$,则 $y=k\sqrt{\dfrac{2}{k}}$,$\therefore$ 点 A 的坐标为 $(\sqrt{\dfrac{2}{k}},k\sqrt{\dfrac{2}{k}})$.
$\because$ 点 E 为 OA 中点,$\therefore$ 点 E 的坐标为 $(\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{k}},\dfrac{k}{2}\sqrt{\dfrac{2}{k}})$,
由题意得 $OE// BC$,$CE// OB$,$\therefore CE=OB=\dfrac{3}{2}$,$\therefore$ 点 C 的坐标为 $(\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{k}},\dfrac{k}{2}\sqrt{\dfrac{2}{k}}+\dfrac{3}{2})$.$\because$ 点 C 在反比例函数 $y=\dfrac{2}{x}$ $(x＞0)$ 的图象上,$\therefore (\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{k}})·(\dfrac{k}{2}\sqrt{\dfrac{2}{k}}+\dfrac{3}{2})=2$,解得 $k=\dfrac{1}{2}$,故选 C.
$\because$ 点 E 为 OA 中点,$\therefore$ 点 E 的坐标为 $(\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{k}},\dfrac{k}{2}\sqrt{\dfrac{2}{k}})$,
由题意得 $OE// BC$,$CE// OB$,$\therefore CE=OB=\dfrac{3}{2}$,$\therefore$ 点 C 的坐标为 $(\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{k}},\dfrac{k}{2}\sqrt{\dfrac{2}{k}}+\dfrac{3}{2})$.$\because$ 点 C 在反比例函数 $y=\dfrac{2}{x}$ $(x＞0)$ 的图象上,$\therefore (\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{k}})·(\dfrac{k}{2}\sqrt{\dfrac{2}{k}}+\dfrac{3}{2})=2$,解得 $k=\dfrac{1}{2}$,故选 C.
解析
【分析】
要解决本题，需逐步推导各点坐标：首先联立正比例函数与反比例函数求出交点A的坐标；利用中点坐标公式得到OA中点E的坐标；根据函数平移规律得到平移后直线的解析式，再结合E在CD上（即C与E横坐标相同），将点C的坐标用含k的式子表示，最后代入反比例函数解析式求解k的值。
【解析】
1. 求交点A的坐标：
联立正比例函数 $ y = kx $ 与反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $，得方程组：
$\begin{cases}y = kx \\y = \frac{2}{x}\end{cases}$
消去y得 $ kx = \frac{2}{x} $，整理为 $ x^2 = \frac{2}{k} $，因 $ x＞0 $，故 $ x = \sqrt{\frac{2}{k}} $，代入 $ y=kx $ 得 $ y = \sqrt{2k} $，即点A坐标为 $ ( \sqrt{\frac{2}{k}}, \sqrt{2k} ) $。
2. 求OA中点E的坐标：
根据中点坐标公式，OA中点E的坐标为：
$( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}}, \frac{1}{2}\sqrt{2k} )$
3. 确定平移后直线解析式及点C的坐标：
正比例函数 $ y=kx $ 向上平移 $ \frac{3}{2} $ 个单位，平移后直线解析式为 $ y = kx + \frac{3}{2} $。
因CD垂直x轴，E在CD上，故点C横坐标与E相同，即 $ x_C = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}} $；将 $ x_C $ 代入平移后解析式，得点C纵坐标：
$y_C = k · \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}} + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2k} + \frac{3}{2}$
即点C坐标为 $ ( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}}, \frac{1}{2}\sqrt{2k} + \frac{3}{2} ) $。
4. 代入反比例函数求解k：
因点C在 $ y = \frac{2}{x} $ 上，故 $ x_C · y_C = 2 $，代入坐标得：
$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}} · ( \frac{1}{2}\sqrt{2k} + \frac{3}{2} ) = 2$
展开化简：
$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}} · \frac{1}{2}\sqrt{2k} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}} · \frac{3}{2} = 2 \\\frac{1}{4} × 2 + \frac{3}{4}\sqrt{\frac{2}{k}} = 2 \\\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\sqrt{\frac{2}{k}} = 2$
移项计算得 $ \sqrt{\frac{2}{k}} = 2 $，两边平方得 $ \frac{2}{k}=4 $，解得 $ k=\frac{1}{2} $，符合 $ k＞0 $ 的条件。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数与一次函数交点；中点坐标公式；函数图像平移
【点评】
本题综合考查反比例函数、一次函数的性质及图像平移，核心是利用中点坐标和函数平移规律表示各点坐标，再代入反比例函数求解，计算时需注意化简，避免出错。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需逐步推导各点坐标：首先联立正比例函数与反比例函数求出交点A的坐标；利用中点坐标公式得到OA中点E的坐标；根据函数平移规律得到平移后直线的解析式，再结合E在CD上（即C与E横坐标相同），将点C的坐标用含k的式子表示，最后代入反比例函数解析式求解k的值。
【解析】
1. 求交点A的坐标：
联立正比例函数 $ y = kx $ 与反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $，得方程组：
$\begin{cases}y = kx \\y = \frac{2}{x}\end{cases}$
消去y得 $ kx = \frac{2}{x} $，整理为 $ x^2 = \frac{2}{k} $，因 $ x＞0 $，故 $ x = \sqrt{\frac{2}{k}} $，代入 $ y=kx $ 得 $ y = \sqrt{2k} $，即点A坐标为 $ ( \sqrt{\frac{2}{k}}, \sqrt{2k} ) $。
2. 求OA中点E的坐标：
根据中点坐标公式，OA中点E的坐标为：
$( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}}, \frac{1}{2}\sqrt{2k} )$
3. 确定平移后直线解析式及点C的坐标：
正比例函数 $ y=kx $ 向上平移 $ \frac{3}{2} $ 个单位，平移后直线解析式为 $ y = kx + \frac{3}{2} $。
因CD垂直x轴，E在CD上，故点C横坐标与E相同，即 $ x_C = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}} $；将 $ x_C $ 代入平移后解析式，得点C纵坐标：
$y_C = k · \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}} + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2k} + \frac{3}{2}$
即点C坐标为 $ ( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}}, \frac{1}{2}\sqrt{2k} + \frac{3}{2} ) $。
4. 代入反比例函数求解k：
因点C在 $ y = \frac{2}{x} $ 上，故 $ x_C · y_C = 2 $，代入坐标得：
$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}} · ( \frac{1}{2}\sqrt{2k} + \frac{3}{2} ) = 2$
展开化简：
$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}} · \frac{1}{2}\sqrt{2k} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{k}} · \frac{3}{2} = 2 \\\frac{1}{4} × 2 + \frac{3}{4}\sqrt{\frac{2}{k}} = 2 \\\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\sqrt{\frac{2}{k}} = 2$
移项计算得 $ \sqrt{\frac{2}{k}} = 2 $，两边平方得 $ \frac{2}{k}=4 $，解得 $ k=\frac{1}{2} $，符合 $ k＞0 $ 的条件。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数与一次函数交点；中点坐标公式；函数图像平移
【点评】
本题综合考查反比例函数、一次函数的性质及图像平移，核心是利用中点坐标和函数平移规律表示各点坐标，再代入反比例函数求解，计算时需注意化简，避免出错。
【难度系数】
0.5
