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15.阅读理解:我们把$\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}$称作二阶行列式,规定它的运算法则为$\begin{vmatrix} a&b\\c&d \end{vmatrix}=ad - bc$.如$\begin{vmatrix} 2&3\\4&5 \end{vmatrix}=2×5 - 3×4=-2$.计算:
答案
15.由题意可得$\begin{vmatrix} \sqrt{2}&2\sqrt{6} \\ \sqrt{\frac{1}{2}}&\sqrt{24} \end{vmatrix}=\sqrt{2}×\sqrt{24}-2\sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{48}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.
16. 已知$x=\frac{1}{2+\sqrt{3}}, y=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$，求$x^2+y^2+xy$的值.
答案
16.$\because x=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})×(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$,
$y=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})×(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$,
$\therefore x+y=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4,xy=(2-\sqrt{3})×(2+\sqrt{3})=4-3=1$.
$\therefore x^2+y^2+xy$
$=(x^2+2xy+y^2)-xy$
$=(x+y)^2-xy$
$=4^2-1$
$=15$.
$y=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})×(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$,
$\therefore x+y=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4,xy=(2-\sqrt{3})×(2+\sqrt{3})=4-3=1$.
$\therefore x^2+y^2+xy$
$=(x^2+2xy+y^2)-xy$
$=(x+y)^2-xy$
$=4^2-1$
$=15$.
17.先化简,再求值:$a+\sqrt{1-2a+a^2}$,其中$a=1013$.
(1)谁的解答过程是错误的?请写出正确的解答.
(2)先化简,再求值:$m+2\sqrt{m^2-6m+9}$,其中$m=-2025$.
(1)谁的解答过程是错误的?请写出正确的解答.
(2)先化简,再求值:$m+2\sqrt{m^2-6m+9}$,其中$m=-2025$.
答案
17.(1)小亮和小芳的解答过程都是错误的.正确的解答如下：
$\because a=1013$,
$\therefore 1-a=1-1013=-1012＜0$.
$\therefore a+\sqrt{1-2a+a^2}$
$=a+\sqrt{(1-a)^2}$
$=a+|1-a|$
$=a+a-1$
$=2a-1$
$=2×1013-1$
$=2025$.
(2)$\because m=-2025$,
$\therefore m-3＜0$.
$\therefore m+2\sqrt{m^2-6m+9}$
$=m+2\sqrt{(m-3)^2}$
$=m+2|m-3|$
$=m+2(3-m)$
$=6-m$
$=6-(-2025)$
$=2031$.
$\because a=1013$,
$\therefore 1-a=1-1013=-1012＜0$.
$\therefore a+\sqrt{1-2a+a^2}$
$=a+\sqrt{(1-a)^2}$
$=a+|1-a|$
$=a+a-1$
$=2a-1$
$=2×1013-1$
$=2025$.
(2)$\because m=-2025$,
$\therefore m-3＜0$.
$\therefore m+2\sqrt{m^2-6m+9}$
$=m+2\sqrt{(m-3)^2}$
$=m+2|m-3|$
$=m+2(3-m)$
$=6-m$
$=6-(-2025)$
$=2031$.
