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8.已知$ a $是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1 - a}$称为$ a $的差倒数，如2的差倒数是$\frac{1}{1 - 2} = -1$，$-1$的差倒数是$\frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2}$；已知$ a_1 = -\frac{1}{3} $，$ a_2 $是$ a_1 $的差倒数，$ a_3 $是$ a_2 $的差倒数，$ a_4 $是$ a_3 $的差倒数，……，依此类推，则$ a_{2024} = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
8.$\frac{3}{4}$
解析
【分析】
本题是新定义类的数字规律题，解题思路分为三步：①先准确理解“差倒数”的定义，掌握差倒数的计算方法；②依次计算出前几项的数值，观察发现数字的循环周期；③用总项数除以周期，根据余数确定所求项对应周期内的位置，即可得出结果。
【解析】
已知差倒数的定义为：若a是不为1的有理数，则a的差倒数为$\frac{1}{1-a}$。
首先依次计算前几项：
$a_1=-\frac{1}{3}$，
$a_2=\frac{1}{1 - a_1}=\frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$，
$a_3=\frac{1}{1 - a_2}=\frac{1}{1 - \frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$，
$a_4=\frac{1}{1 - a_3}=\frac{1}{1 - 4}=-\frac{1}{3}$，
可以发现：数列以$-\frac{1}{3},\frac{3}{4},4$三个数为一个周期循环出现。
接下来计算2024除以周期3的余数：$2024÷3=674······2$，即余数为2，说明$a_{2024}$和周期内的第2个数相等，也就是$a_{2024}=a_2=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
新定义运算，数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题考查新定义背景下的数字规律探究问题，核心是通过计算前几项找到循环周期，再结合周期性质求解对应项，计算时要注意有理数混合运算的符号和运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类的数字规律题，解题思路分为三步：①先准确理解“差倒数”的定义，掌握差倒数的计算方法；②依次计算出前几项的数值，观察发现数字的循环周期；③用总项数除以周期，根据余数确定所求项对应周期内的位置，即可得出结果。
【解析】
已知差倒数的定义为：若a是不为1的有理数，则a的差倒数为$\frac{1}{1-a}$。
首先依次计算前几项：
$a_1=-\frac{1}{3}$，
$a_2=\frac{1}{1 - a_1}=\frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$，
$a_3=\frac{1}{1 - a_2}=\frac{1}{1 - \frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$，
$a_4=\frac{1}{1 - a_3}=\frac{1}{1 - 4}=-\frac{1}{3}$，
可以发现：数列以$-\frac{1}{3},\frac{3}{4},4$三个数为一个周期循环出现。
接下来计算2024除以周期3的余数：$2024÷3=674······2$，即余数为2，说明$a_{2024}$和周期内的第2个数相等，也就是$a_{2024}=a_2=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
新定义运算，数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题考查新定义背景下的数字规律探究问题，核心是通过计算前几项找到循环周期，再结合周期性质求解对应项，计算时要注意有理数混合运算的符号和运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
9.计算:
(1)$-5+8÷(-2)^2+(\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2})×(-16)$；
(2)$99\dfrac{16}{17}×(-17)$；
(3)$-|8×(-2)^3|-[(-\dfrac{1}{2})^4×16]^3$；
(4)$(\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{12})×(60×\dfrac{1}{7}-60×\dfrac{3}{7}-60×\dfrac{5}{7})$。
(1)$-5+8÷(-2)^2+(\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2})×(-16)$；
(2)$99\dfrac{16}{17}×(-17)$；
(3)$-|8×(-2)^3|-[(-\dfrac{1}{2})^4×16]^3$；
(4)$(\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{12})×(60×\dfrac{1}{7}-60×\dfrac{3}{7}-60×\dfrac{5}{7})$。
答案
9.解:(1)$原式=-5+8÷4+\frac{1}{8}×(-16)+\frac{1}{4}×(-16)-\frac{1}{2}×(-16)=-5+2-2-4+8=-1.$
(2)$原式=(100-\frac{1}{17})×(-17)=100×(-17)-\frac{1}{17}×(-17)=-1700+1=-1699.$
(3)$原式=-|8×(-8)|-(\frac{1}{16}×16)^3=-64-1=-65.$
(4)$原式=(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}-\frac{7}{12})×60×(\frac{1}{7}-\frac{3}{7}-\frac{5}{7})=(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}-\frac{7}{12})×(-60)=\frac{3}{5}×(-60)-\frac{1}{2}×(-60)-\frac{7}{12}×(-60)=-36+30+35=29.$
(2)$原式=(100-\frac{1}{17})×(-17)=100×(-17)-\frac{1}{17}×(-17)=-1700+1=-1699.$
(3)$原式=-|8×(-8)|-(\frac{1}{16}×16)^3=-64-1=-65.$
(4)$原式=(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}-\frac{7}{12})×60×(\frac{1}{7}-\frac{3}{7}-\frac{5}{7})=(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}-\frac{7}{12})×(-60)=\frac{3}{5}×(-60)-\frac{1}{2}×(-60)-\frac{7}{12}×(-60)=-36+30+35=29.$
解析
【分析】
有理数混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，计算时可观察式子特点，灵活运用乘法分配律简化运算，降低计算量、减少错误。
(1) 先计算乘方$(-2)^2$和$2^3$，再分别计算除法，同时对后面含括号的乘法用分配律展开，最后按顺序计算加减即可；
(2) 可把接近整百的带分数$99\frac{16}{17}$拆成$100-\frac{1}{17}$，再用乘法分配律计算，避免复杂的带分数乘法；
(3) 先算乘方$(-2)^3$和$(-\frac{1}{2})^4$，再分别计算绝对值和括号内的运算，最后算减法；
(4) 先把第二个括号里的公因数60提取出来，先算括号内分数的加减，再对剩余的乘法用分配律计算，简化步骤。
【解析】
(1) 先算乘方得$(-2)^2=4$，$2^3=8$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=-5+8÷4+\frac{1}{8}×(-16)+\frac{1}{4}×(-16)-\frac{1}{2}×(-16)\\&=-5+2-2-4+8\\&=-1\end{aligned}$
(2) 将带分数拆分得$99\frac{16}{17}=100-\frac{1}{17}$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(100-\frac{1}{17})×(-17)\\&=100×(-17)-\frac{1}{17}×(-17)\\&=-1700+1\\&=-1699\end{aligned}$
(3) 先算乘方得$(-2)^3=-8$，$(-\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=-|8×(-8)|-(\frac{1}{16}×16)^3\\&=-|-64|-1^3\\&=-64-1\\&=-65\end{aligned}$
(4) 先提取第二个括号的公因数60：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}-\frac{7}{12})×[60×(\frac{1}{7}-\frac{3}{7}-\frac{5}{7})]\\&=(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}-\frac{7}{12})×(-60)\\&=\frac{3}{5}×(-60)-\frac{1}{2}×(-60)-\frac{7}{12}×(-60)\\&=-36+30+35\\&=29\end{aligned}$
【答案】
(1)$-1$；(2)$-1699$；(3)$-65$；(4)$29$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方与绝对值运算
【点评】
本题重点考察有理数运算规则的掌握程度和运算律的灵活运用能力，熟练运用乘法分配律可大幅降低复杂运算的出错率，计算时要注意符号的处理。
【难度系数】
0.7
有理数混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，计算时可观察式子特点，灵活运用乘法分配律简化运算，降低计算量、减少错误。
(1) 先计算乘方$(-2)^2$和$2^3$，再分别计算除法，同时对后面含括号的乘法用分配律展开，最后按顺序计算加减即可；
(2) 可把接近整百的带分数$99\frac{16}{17}$拆成$100-\frac{1}{17}$，再用乘法分配律计算，避免复杂的带分数乘法；
(3) 先算乘方$(-2)^3$和$(-\frac{1}{2})^4$，再分别计算绝对值和括号内的运算，最后算减法；
(4) 先把第二个括号里的公因数60提取出来，先算括号内分数的加减，再对剩余的乘法用分配律计算，简化步骤。
【解析】
(1) 先算乘方得$(-2)^2=4$，$2^3=8$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=-5+8÷4+\frac{1}{8}×(-16)+\frac{1}{4}×(-16)-\frac{1}{2}×(-16)\\&=-5+2-2-4+8\\&=-1\end{aligned}$
(2) 将带分数拆分得$99\frac{16}{17}=100-\frac{1}{17}$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(100-\frac{1}{17})×(-17)\\&=100×(-17)-\frac{1}{17}×(-17)\\&=-1700+1\\&=-1699\end{aligned}$
(3) 先算乘方得$(-2)^3=-8$，$(-\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$，代入原式：
$\begin{aligned}原式&=-|8×(-8)|-(\frac{1}{16}×16)^3\\&=-|-64|-1^3\\&=-64-1\\&=-65\end{aligned}$
(4) 先提取第二个括号的公因数60：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}-\frac{7}{12})×[60×(\frac{1}{7}-\frac{3}{7}-\frac{5}{7})]\\&=(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}-\frac{7}{12})×(-60)\\&=\frac{3}{5}×(-60)-\frac{1}{2}×(-60)-\frac{7}{12}×(-60)\\&=-36+30+35\\&=29\end{aligned}$
【答案】
(1)$-1$；(2)$-1699$；(3)$-65$；(4)$29$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方与绝对值运算
【点评】
本题重点考察有理数运算规则的掌握程度和运算律的灵活运用能力，熟练运用乘法分配律可大幅降低复杂运算的出错率，计算时要注意符号的处理。
【难度系数】
0.7
10.(1)知识探究:$2^{1}-2^{0}=2^{(\quad)},2^{2}-2^{1}=2^{(\quad)},2^{3}-2^{2}=2^{(\quad)},······$
上述括号按顺序填写为________，________，________；
(2)发现规律:试写出第$n$个等式,并证明此等式成立；
(3)拓展应用:计算$2^{1}+2^{2}+2^{3}+···+2^{2024}$.
上述括号按顺序填写为________，________，________；
(2)发现规律:试写出第$n$个等式,并证明此等式成立；
(3)拓展应用:计算$2^{1}+2^{2}+2^{3}+···+2^{2024}$.
答案
10.(1)$0\quad1\quad2$
(2)解:第$n$个等式是$2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$.
证明:因为$2^n-2^{n-1}=2^{n-1}×(2-1)=2^{n-1}×1=2^{n-1}$,
所以第$n$个等式是$2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$.
(3)解:设$T=2^1+2^2+2^3+···+2^{2024}$,
则$2T=2^2+2^3+2^4+···+2^{2025}$,
所以$2T-T=(2^2+2^3+···+2^{2025})-(2^1+2^2+2^3+···+2^{2024})=2^2+2^3+···+2^{2025}-2^1-2^2-2^3-···-2^{2024}=2^{2025}-2$,
即$2^1+2^2+2^3+···+2^{2024}=2^{2025}-2$.
(2)解:第$n$个等式是$2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$.
证明:因为$2^n-2^{n-1}=2^{n-1}×(2-1)=2^{n-1}×1=2^{n-1}$,
所以第$n$个等式是$2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$.
(3)解:设$T=2^1+2^2+2^3+···+2^{2024}$,
则$2T=2^2+2^3+2^4+···+2^{2025}$,
所以$2T-T=(2^2+2^3+···+2^{2025})-(2^1+2^2+2^3+···+2^{2024})=2^2+2^3+···+2^{2025}-2^1-2^2-2^3-···-2^{2024}=2^{2025}-2$,
即$2^1+2^2+2^3+···+2^{2024}=2^{2025}-2$.
解析
【分析】
(1) 第一小问先分别计算等号左侧的乘方减法结果，再将结果转化为以2为底的幂，就能得到对应括号内的指数。
(2) 第二小问观察前3个等式的结构特征，归纳出第n个等式的通用形式；证明时提取公因式$2^{n-1}$，化简后即可验证等式成立。
(3) 第三小问的算式中后一项都是前一项的2倍，可采用错位相减法：先设算式的和为T，将等式两边同时乘2得到2T，再用2T减去T，中间重复的项会相互抵消，就能快速求出结果。
【解析】
(1) 计算得：
$2^1 - 2^0 = 2 - 1 = 1 = 2^0$，
$2^2 - 2^1 = 4 - 2 = 2 = 2^1$，
$2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4 = 2^2$，
因此括号依次填0、1、2。
(2) 第n个等式为：$2^n - 2^{n-1}=2^{n-1}$（n为正整数）。
证明：左边$2^n - 2^{n-1}=2^{n-1}×(2-1)=2^{n-1}×1=2^{n-1}$，与右边相等，因此等式成立。
(3) 设$T=2^1+2^2+2^3+\dots+2^{2024}$ ①，
将①式两边同时乘2，得：$2T=2^2+2^3+2^4+\dots+2^{2025}$ ②，
用②式减去①式：
$2T-T=(2^2+2^3+\dots+2^{2025})-(2^1+2^2+\dots+2^{2024})$
化简后得$T=2^{2025}-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$；
(2) 第n个等式为$\boldsymbol{2^n - 2^{n-1}=2^{n-1}}$，证明见解析；
(3) $\boldsymbol{2^{2025}-2}$。
【知识点】
乘方运算，规律探究，错位相减求和
【点评】
本题是典型的规律探究类运算题，遵循从特殊到一般的探究逻辑，既巩固了乘方的基础运算，也能锻炼归纳推理能力和知识迁移应用能力，错位相减法是解决同底数幂连加问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问先分别计算等号左侧的乘方减法结果，再将结果转化为以2为底的幂，就能得到对应括号内的指数。
(2) 第二小问观察前3个等式的结构特征，归纳出第n个等式的通用形式；证明时提取公因式$2^{n-1}$，化简后即可验证等式成立。
(3) 第三小问的算式中后一项都是前一项的2倍，可采用错位相减法：先设算式的和为T，将等式两边同时乘2得到2T，再用2T减去T，中间重复的项会相互抵消，就能快速求出结果。
【解析】
(1) 计算得：
$2^1 - 2^0 = 2 - 1 = 1 = 2^0$，
$2^2 - 2^1 = 4 - 2 = 2 = 2^1$，
$2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4 = 2^2$，
因此括号依次填0、1、2。
(2) 第n个等式为：$2^n - 2^{n-1}=2^{n-1}$（n为正整数）。
证明：左边$2^n - 2^{n-1}=2^{n-1}×(2-1)=2^{n-1}×1=2^{n-1}$，与右边相等，因此等式成立。
(3) 设$T=2^1+2^2+2^3+\dots+2^{2024}$ ①，
将①式两边同时乘2，得：$2T=2^2+2^3+2^4+\dots+2^{2025}$ ②，
用②式减去①式：
$2T-T=(2^2+2^3+\dots+2^{2025})-(2^1+2^2+\dots+2^{2024})$
化简后得$T=2^{2025}-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$；
(2) 第n个等式为$\boldsymbol{2^n - 2^{n-1}=2^{n-1}}$，证明见解析；
(3) $\boldsymbol{2^{2025}-2}$。
【知识点】
乘方运算，规律探究，错位相减求和
【点评】
本题是典型的规律探究类运算题，遵循从特殊到一般的探究逻辑，既巩固了乘方的基础运算，也能锻炼归纳推理能力和知识迁移应用能力，错位相减法是解决同底数幂连加问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
11. 观察下列等式：
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，将以上三个等式两边分别相加，得$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
(1)猜想：$\frac{1}{n×(n+1)}=$______；
(2)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2024×2025}=$______；
(3)探究并计算：$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2022×2024}$。
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，将以上三个等式两边分别相加，得$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
(1)猜想：$\frac{1}{n×(n+1)}=$______；
(2)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2024×2025}=$______；
(3)探究并计算：$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2022×2024}$。
答案
11.(1)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2)$\frac{2024}{2025}$
(3) 解: 原式 $= \frac{1}{2} × (\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+···+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2024}) = \frac{1}{2} × (\frac{1}{2}-\frac{1}{2024}) = \frac{1}{2} × \frac{1011}{2024} =\frac{1011}{4048}.$
(2)$\frac{2024}{2025}$
(3) 解: 原式 $= \frac{1}{2} × (\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+···+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2024}) = \frac{1}{2} × (\frac{1}{2}-\frac{1}{2024}) = \frac{1}{2} × \frac{1011}{2024} =\frac{1011}{4048}.$
解析
【分析】
(1)观察给出的等式规律：分母为两个连续正整数的乘积、分子为1的分数，可拆分为两个分数的差，两个分数的分子均为1，分母分别为这两个连续整数，据此可直接猜想结果。
(2)利用(1)得到的裂项规律，将每一项拆分后相加，中间项会两两抵消，仅剩余首项的被减数和末项的减数，计算差值即可得到结果。
(3)观察发现每一项的分母是相差为2的两个偶数的乘积，先将每一项变形为$\frac{1}{2k×(2k+2)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k+2})$，提取公因式$\frac{1}{2}$后，括号内的项可通过裂项相消法计算，最后乘$\frac{1}{2}$即可得到最终结果。
【解析】
(1)根据已知等式的规律可得：$\frac{1}{n×(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2)原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025})$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$
$=1-\frac{1}{2025}$
$=\frac{2024}{2025}$。
(3)原式$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2022}-\frac{1}{2024})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2024})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{2024})$
$=\frac{1}{2}×\frac{1011}{2024}$
$=\frac{1011}{4048}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；(2)$\frac{2024}{2025}$；(3)$\frac{1011}{4048}$
【知识点】
裂项相消法，有理数混合运算，规律探究
【点评】
本题是典型的裂项相消类规律题，从基础的相邻整数裂项逐步拓展到差值为2的偶数裂项，需要熟练掌握裂项的变形规则，注意非相邻整数裂项时不要漏乘系数，计算时注意通分的准确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1)观察给出的等式规律：分母为两个连续正整数的乘积、分子为1的分数，可拆分为两个分数的差，两个分数的分子均为1，分母分别为这两个连续整数，据此可直接猜想结果。
(2)利用(1)得到的裂项规律，将每一项拆分后相加，中间项会两两抵消，仅剩余首项的被减数和末项的减数，计算差值即可得到结果。
(3)观察发现每一项的分母是相差为2的两个偶数的乘积，先将每一项变形为$\frac{1}{2k×(2k+2)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k+2})$，提取公因式$\frac{1}{2}$后，括号内的项可通过裂项相消法计算，最后乘$\frac{1}{2}$即可得到最终结果。
【解析】
(1)根据已知等式的规律可得：$\frac{1}{n×(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2)原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025})$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$
$=1-\frac{1}{2025}$
$=\frac{2024}{2025}$。
(3)原式$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2022}-\frac{1}{2024})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2024})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{2024})$
$=\frac{1}{2}×\frac{1011}{2024}$
$=\frac{1011}{4048}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；(2)$\frac{2024}{2025}$；(3)$\frac{1011}{4048}$
【知识点】
裂项相消法，有理数混合运算，规律探究
【点评】
本题是典型的裂项相消类规律题，从基础的相邻整数裂项逐步拓展到差值为2的偶数裂项，需要熟练掌握裂项的变形规则，注意非相邻整数裂项时不要漏乘系数，计算时注意通分的准确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
