8. 如图,$∠A=74^{\circ },AB// CD,∠C=28^{\circ }$,求$∠E$的度数。

【解析】：
- 因为$AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle A=\angle DFE = 74^{\circ}$。
- 又因为$\angle DFE$是$\triangle CEF$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即$\angle DFE=\angle C+\angle E$。
- 已知$\angle C = 28^{\circ}$，则$\angle E=\angle DFE-\angle C$。
- 把$\angle DFE = 74^{\circ}$，$\angle C = 28^{\circ}$代入可得：$\angle E=74^{\circ}-28^{\circ}=46^{\circ}$。
【答案】：$46^{\circ}$

9. 如图,$AD// BC,∠A=∠C$。AB与DC平行吗? 为什么?

【解析】：
因为$AD// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，所以$\angle A=\angle ABF$。
又因为$\angle A = \angle C$，通过等量代换可得$\angle ABF=\angle C$。
再根据“同位角相等，两直线平行”，由$\angle ABF=\angle C$可以得出$AB// DC$。
【答案】：
$AB$与$DC$平行。理由：因为$AD// BC$，所以$\angle A=\angle ABF$（两直线平行，同位角相等），又因为$\angle A = \angle C$，所以$\angle ABF=\angle C$（等量代换），所以$AB// DC$（同位角相等，两直线平行）。

10. 如图,CD平分$∠ACB,DE// BC,∠AED=80^{\circ }$,求$∠EDC$的度数。

【解析】：
- 因为$DE// BC$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle ACB = \angle AED$。
已知$\angle AED = 80^{\circ}$，则$\angle ACB = 80^{\circ}$。
- 由于$CD$平分$\angle ACB$，根据角平分线的定义，$\angle BCD=\frac{1}{2}\angle ACB$。
所以$\angle BCD=\frac{1}{2}\times80^{\circ}=40^{\circ}$。
- 又因为$DE// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle EDC=\angle BCD$。
因此$\angle EDC = 40^{\circ}$。
【答案】：$40^{\circ}$

我们知道相交的两条直线的交点个数是1,记两平行线的交点个数为0,这样平面内的三条平行线的交点个数就是0,经过同一点的三条直线的交点个数就是1,依次类推……
(1) 请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点?
(2) 平面内的五条直线可以有4个交点吗? 如果有,请你画出符合条件的所有图形;如果没有,请说明理由。
(3) 在平面内画出10条直线,使交点数恰好为31。

【解析】：
(1) 要使同一平面内$n$条直线的交点个数最多，则任意两条直线都相交且任意三条直线不共点。
两条直线最多有$1$个交点；
三条直线时，第三条直线与前两条直线都相交，增加$2$个交点，共$1 + 2=3$个交点；
四条直线时，第四条直线与前三条直线都相交，增加$3$个交点，共$1+2 + 3 = 6$个交点；
五条直线时，第五条直线与前四条直线都相交，增加$4$个交点，所以最多交点个数为$1+2+3 + 4=\frac{4\times(4 + 1)}{2}=10$个。
(2) 平面内的五条直线可以有$4$个交点，分以下几种情况：
情况一：四条直线平行，第五条直线与这四条直线相交，此时有$4$个交点；
情况二：两组两条直线分别平行且相交，第五条直线经过这两组平行线的两个交点，此时也有$4$个交点。
(3) 设$n$条直线最多交点个数为$S_n=\frac{n(n - 1)}{2}$，$10$条直线最多交点个数$S_{10}=\frac{10\times(10 - 1)}{2}=45$个。
要使$10$条直线交点数为$31$，可以让一些直线平行来减少交点个数。
因为$45-31 = 14$，可以考虑让$3$条直线平行（$3$条直线平行会减少$\frac{3\times(3 - 1)}{2}=3$个交点），再让另外$2$条直线平行（$2$条直线平行会减少$1$个交点），同时让这两组平行线有一定的位置关系使得总共减少$14$个交点。
可以先画$5$条直线两两相交，有$\frac{5\times(5 - 1)}{2}=10$个交点，再画$3$条平行线与前面$5$条直线相交，增加$3\times5 = 15$个交点，此时有$10+15 = 25$个交点，最后画$2$条平行线与前面$8$条直线相交，增加$2\times8=16$个交点，总共$25 + 16=41$个交点，然后调整这$10$条直线的位置，让一些交点重合，使得交点数为$31$。
【答案】：
(1) 同一平面内的五条直线最多有$10$个交点，画图：先画第一条直线，再画第二条直线与第一条相交，画第三条直线与前两条都相交，画第四条直线与前三条都相交，画第五条直线与前四条都相交。
(2) 平面内的五条直线可以有$4$个交点。图形如下：
图形一：四条直线平行，第五条直线与这四条直线相交；
图形二：两组两条直线分别平行且相交，第五条直线经过这两组平行线的两个交点。
(3) 先画$5$条直线两两相交，再画$3$条平行线与前面$5$条直线相交，最后画$2$条平行线与前面$8$条直线相交，然后调整直线位置使交点数为$31$。