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9. 如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面$A$处，另一端在地面$B$处，墙角记为点$C$。
(1)若$AB = 6.5$米，$BC = 2.5$米。
①竹竿的顶端$A$沿墙下滑1米，那么点$B$将向外移动多少米(保留根号)?
②竹竿的顶端从$A$处沿墙$AC$下滑的距离与点$B$向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离。
(2)若$AC = BC$，则顶端$A$下滑的距离与底端$B$外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端$A$下滑的距离与底端$B$外移的距离的大小。
(1)若$AB = 6.5$米，$BC = 2.5$米。
①竹竿的顶端$A$沿墙下滑1米，那么点$B$将向外移动多少米(保留根号)?
②竹竿的顶端从$A$处沿墙$AC$下滑的距离与点$B$向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离。
(2)若$AC = BC$，则顶端$A$下滑的距离与底端$B$外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端$A$下滑的距离与底端$B$外移的距离的大小。
答案
【解析】：
### （1）①
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$，已知$AB = 6.5$米，$BC = 2.5$米，则$AC=\sqrt{6.5^{2}-2.5^{2}}=\sqrt{(6.5 + 2.5)(6.5 - 2.5)}=\sqrt{9\times4}=6$（米）。
当顶端$A$沿墙下滑$1$米后，$A'C=AC - 1=6 - 1 = 5$米，此时$A'B'=AB = 6.5$米。
在$Rt\triangle A'B'C$中，根据勾股定理$B'C=\sqrt{A'B'^{2}-A'C^{2}}=\sqrt{6.5^{2}-5^{2}}=\sqrt{(6.5 + 5)(6.5 - 5)}=\sqrt{11.5\times1.5}=\sqrt{\frac{23}{2}\times\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{69}}{2}$米。
那么点$B$向外移动的距离为$B'C - BC=\frac{\sqrt{69}}{2}-2.5=\frac{\sqrt{69}-5}{2}$米。
### （1）②
设竹竿顶端从$A$处沿墙$AC$下滑$x$米，则$A'C=(6 - x)$米，点$B$向外移动$x$米，$B'C=(2.5 + x)$米。
因为$A'B' = AB = 6.5$米，在$Rt\triangle A'B'C$中，根据勾股定理$(6 - x)^{2}+(2.5 + x)^{2}=6.5^{2}$。
展开得$36-12x+x^{2}+6.25 + 5x+x^{2}=42.25$。
移项合并同类项得$2x^{2}-7x = 0$，提取公因式$x(2x - 7)=0$。
解得$x_{1}=0$（舍去），$x_{2}=3.5$。
所以竹竿的顶端从$A$处沿墙$AC$下滑的距离与点$B$向外移动的距离有可能相等，移动的距离是$3.5$米。
### （2）
设$AC = BC=a$，$AB = A'B'=\sqrt{2}a$，顶端$A$下滑$m$，底端$B$外移$n$。
则$(a - m)^{2}+(a + n)^{2}=(\sqrt{2}a)^{2}$，展开得$a^{2}-2am+m^{2}+a^{2}+2an + n^{2}=2a^{2}$。
整理得$m^{2}-2am+2an + n^{2}=0$，$(m - n)^{2}=2a(m - n)$。
当$m\neq n$时，$m - n = 2a$（不符合实际，舍去）；
当$m = n$时，等式成立。
所以当$AC = BC$时，顶端$A$下滑的距离与底端$B$外移的距离有可能相等。
【答案】：
（1）①$\boldsymbol{\frac{\sqrt{69}-5}{2}}$米；②$\boldsymbol{3.5}$米；（2）**有可能相等**
### （1）①
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$，已知$AB = 6.5$米，$BC = 2.5$米，则$AC=\sqrt{6.5^{2}-2.5^{2}}=\sqrt{(6.5 + 2.5)(6.5 - 2.5)}=\sqrt{9\times4}=6$（米）。
当顶端$A$沿墙下滑$1$米后，$A'C=AC - 1=6 - 1 = 5$米，此时$A'B'=AB = 6.5$米。
在$Rt\triangle A'B'C$中，根据勾股定理$B'C=\sqrt{A'B'^{2}-A'C^{2}}=\sqrt{6.5^{2}-5^{2}}=\sqrt{(6.5 + 5)(6.5 - 5)}=\sqrt{11.5\times1.5}=\sqrt{\frac{23}{2}\times\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{69}}{2}$米。
那么点$B$向外移动的距离为$B'C - BC=\frac{\sqrt{69}}{2}-2.5=\frac{\sqrt{69}-5}{2}$米。
### （1）②
设竹竿顶端从$A$处沿墙$AC$下滑$x$米，则$A'C=(6 - x)$米，点$B$向外移动$x$米，$B'C=(2.5 + x)$米。
因为$A'B' = AB = 6.5$米，在$Rt\triangle A'B'C$中，根据勾股定理$(6 - x)^{2}+(2.5 + x)^{2}=6.5^{2}$。
展开得$36-12x+x^{2}+6.25 + 5x+x^{2}=42.25$。
移项合并同类项得$2x^{2}-7x = 0$，提取公因式$x(2x - 7)=0$。
解得$x_{1}=0$（舍去），$x_{2}=3.5$。
所以竹竿的顶端从$A$处沿墙$AC$下滑的距离与点$B$向外移动的距离有可能相等，移动的距离是$3.5$米。
### （2）
设$AC = BC=a$，$AB = A'B'=\sqrt{2}a$，顶端$A$下滑$m$，底端$B$外移$n$。
则$(a - m)^{2}+(a + n)^{2}=(\sqrt{2}a)^{2}$，展开得$a^{2}-2am+m^{2}+a^{2}+2an + n^{2}=2a^{2}$。
整理得$m^{2}-2am+2an + n^{2}=0$，$(m - n)^{2}=2a(m - n)$。
当$m\neq n$时，$m - n = 2a$（不符合实际，舍去）；
当$m = n$时，等式成立。
所以当$AC = BC$时，顶端$A$下滑的距离与底端$B$外移的距离有可能相等。
【答案】：
（1）①$\boldsymbol{\frac{\sqrt{69}-5}{2}}$米；②$\boldsymbol{3.5}$米；（2）**有可能相等**
10. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 6$厘米，$BC = 12$厘米。点$P$从点$A$出发，沿边$AB$以1厘米/秒的速度向点$B$运动，到点$B$停止运动；点$Q$从点$B$出发，沿边$BC$以2厘米/秒的速度向点$C$运动，到点$C$停止运动。已知$P$，$Q$两点分别从点$A$，$B$同时出发。问：
(1)经过几秒，$\triangle PBQ$的面积等于8平方厘米？
(2)五边形$APQCD$的面积最小值是多少？
(1)经过几秒，$\triangle PBQ$的面积等于8平方厘米？
(2)五边形$APQCD$的面积最小值是多少？
答案
（1）经过2或4秒，$\triangle PBQ$的面积等于8 （2）五边形$APQCD$的面积最小值是63
11. 如图，要设计一幅宽20厘米、长30厘米的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为$2:3$，如果要使未被彩条覆盖部分的面积为364平方厘米，应如何设计每条彩条的宽度？
答案
横、竖彩条的宽度分别为2cm、3cm.
