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若关于 $ x $ 的函数 $ y= (m - 1)x^{m^{2}+1}+5 $ 是二次函数,则 $ m $ 的值是______．
答案
−1
1. (2025 黄冈)下列 $ y $ 关于 $ x $ 的函数中,是二次函数的是()
A. $ y = 2^{2}-x $
B. $ y= (x - 1)^{2}-x^{2} $
C. $ y= \frac{2}{x^{2}} $
D. $ y = 3x^{2} $
A. $ y = 2^{2}-x $
B. $ y= (x - 1)^{2}-x^{2} $
C. $ y= \frac{2}{x^{2}} $
D. $ y = 3x^{2} $
答案
D
2. (2025 南充)已知函数 $ y= (m + 1)x^{2}-2 $ 是二次函数,则 $ m $ 的取值范围为()
A. $ m \neq 1 $
B. $ m \neq -1 $
C. $ m ＞ -1 $
D. $ m ＜ -1 $
A. $ m \neq 1 $
B. $ m \neq -1 $
C. $ m ＞ -1 $
D. $ m ＜ -1 $
答案
B
3. (2025 大连)若 $ y= (a + 3)x^{|a|-1}-x + 1 $ 是关于 $ x $ 的二次函数,则 $ a $ 的值是()
A. $ -3 $
B. $ 2 $
C. $ 3 $
D. $ -3 $ 或 $ 3 $
A. $ -3 $
B. $ 2 $
C. $ 3 $
D. $ -3 $ 或 $ 3 $
答案
C
4. (2025 河南)判断函数 $ y= (x + 3)(x - 2)+1 $ 和 $ y= (x - 2)(x + 1)+2 $ 是否为二次函数？若是二次函数,写出二次项系数、一次项系数、常数项．
答案
解：$y=(x+3)(x-2)+1$
$=x^{2}+x-5$，
是二次函数，
二次项系数为 1，一次项系数为 1，
常数项为 -5；
$y=(x-2)(x+1)+2=x^{2}-x$，
是二次函数，
二次项系数为 1，一次项系数为 -1，
常数项为 0.
$=x^{2}+x-5$，
是二次函数，
二次项系数为 1，一次项系数为 1，
常数项为 -5；
$y=(x-2)(x+1)+2=x^{2}-x$，
是二次函数，
二次项系数为 1，一次项系数为 -1，
常数项为 0.
5. (2025 江西)若 $ y= (m - 2)x^{m^{2}-2}+3x - 1 $ 是关于 $ x $ 的二次函数,求 $ m $ 的值,并写出二次项系数、一次项系数、常数项．
答案
解：由题意，得$m^{2}-2=2$，
$\therefore m=\pm 2$.
又$\because m-2≠0,\therefore m≠2,\therefore m=-2$.
$\therefore y=-4x^{2}+3x-1$.
二次项系数为 -4，
一次项系数为 3，
常数项为 -1.
$\therefore m=\pm 2$.
又$\because m-2≠0,\therefore m≠2,\therefore m=-2$.
$\therefore y=-4x^{2}+3x-1$.
二次项系数为 -4，
一次项系数为 3，
常数项为 -1.
6. 矩形的周长为 10,则该矩形的面积 $ y $ 与矩形的宽 $ x $ 之间的函数关系式为______．
答案
$y=-x^{2}+5x$
7. 等腰直角三角形斜边长为 $ x $,面积为 $ y $,则 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为______．
答案
$y=\frac{1}{4}x^{2}$
8. 等边三角形的边长为 $ x $,面积为 $ y $,则 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为______．
答案
$y=\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}$
9. 某厂今年一月份新产品的研发资金为 50 万元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 $ x $,则该厂今年三月份新产品的研发资金 $ y $(万元)关于 $ x $ 的函数关系式为______．
答案
$y=50(1+x)^{2}$
