9. (2024 武汉元调)下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是()
A. $ 2x^{2}-3x + 1 = 0 $
B. $ x^{2}-x + 1 = 0 $
C. $ x^{2}+x - 1 = 0 $
D. $ x^{2}-3x + 1 = 0 $

D

10. (2024 绥化中考)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是 $ 6 $ 和 $ 1 $；小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是 $ -2 $ 和 $ -5 $. 则原来的方程是()
A. $ x^{2}+6x + 5 = 0 $
B. $ x^{2}-7x + 10 = 0 $
C. $ x^{2}-5x + 2 = 0 $
D. $ x^{2}-6x - 10 = 0 $

B

11. (2025 南通)若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-6x - n = 0 $ 的两根为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ x_{1}= 2x_{2} $,则 $ n $ 的值为______.

-8

12. (2025 信阳)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(m^{2}+m - 12)x + m = 0 $ 的两实数根互为相反数,则该方程的两根之积为______.

-4

13. (2025 长沙)若一元二次方程 $ 2x^{2}-4x - 1 = 0 $ 的两根为 $ m,n $,则 $ 3m^{2}-4m + n^{2} $ 的值为______.

6

14. (2024 潍坊中考)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-6x + 2m - 1 = 0 $ 有 $ x_{1},x_{2} $ 两个实数根.
(1) 求 $ m $ 的取值范围；
(2) 若 $ (x_{1}-1)(x_{2}-1)= \frac{6}{m - 5} $,求 $ m $ 的值.

解：(1)$\because$一元二次方程$x^{2}-6x+2m-1=0$有$x_{1}$，$x_{2}$两个实数根，
$\therefore \Delta =36-4(2m-1)≥0$，
解得$m≤5$；
(2)$\because x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}\cdot x_{2}=2m-1$，
$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=\frac{6}{m-5}$，
$\therefore x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=\frac{6}{m-5}$。
$\therefore 2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$，
解得$m=2$或$6$，
经检验，$m=2$或$6$都是原方程的解。
$\because m≤5$，$\therefore m=2$。

15. 阅读材料：已知实数 $ m,n $ 满足 $ m^{2}-m - 1 = 0,n^{2}-n - 1 = 0 $,且 $ m \neq n $,则 $ m,n $ 是方程 $ x^{2}-x - 1 = 0 $ 的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知：$ m + n = 1,mn = -1 $.
根据上述材料,解决以下问题：
(1) 直接应用：已知实数 $ a,b $ 满足 $ a^{2}-7a + 1 = 0,b^{2}-7b + 1 = 0 $,且 $ a \neq b $,则 $ a + b = $______,$ ab = $______,$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}= $______；
(2) 拓展应用：已知实数 $ m,n $ 满足 $ \frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{m}= 7,n^{2}-n = 7 $,且 $ mn + 1 \neq 0 $,求 $ \frac{mn - 1}{m} $ 的值.

解：(1)$a+b=7$，$ab=1$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=7$；
(2)由题意，知$(\frac{1}{m})^{2}+\frac{1}{m}-7=0$，
$(-n)^{2}+(-n)-7=0$。
$\because mn+1≠0$，$\therefore \frac{1}{m}≠-n$，
$\therefore \frac{1}{m}$，$-n$是方程$x^{2}+x-7=0$的两个不相等的实数根，
$\therefore \frac{1}{m}+(-n)=-1$，
$\therefore$原式$=n-\frac{1}{m}=-(\frac{1}{m}-n)=1$。