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抛物线$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 4$的顶点坐标是______.
答案
(-1, -4)
1. (2025黄冈)二次函数$y = -(x + 2)^2 - 3$的图象的顶点所在的象限是()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案
C
2. (2024哈尔滨中考改)二次函数$y = 3(x - 1)^2 - 4$的最小值是()
A. -1
B. 1
C. -4
D. 4
A. -1
B. 1
C. -4
D. 4
答案
C
3. (2025江西)某二次函数当$x ＞ 3$时,$y随x$的增大而增大；当$x ＜ 3$时,$y随x$的增大而减小,则该二次函数可能为()
A. $y = (x + 3)^2 - 3$
B. $y = (x - 3)^2 + 3$
C. $y = -(x + 3)^2 - 3$
D. $y = -(x - 3)^2 + 3$
A. $y = (x + 3)^2 - 3$
B. $y = (x - 3)^2 + 3$
C. $y = -(x + 3)^2 - 3$
D. $y = -(x - 3)^2 + 3$
答案
B
4. 已知二次函数$y = -3(x - 2)^2 - 3$,下列说法正确的是()
A. 对称轴为直线$x = -2$
B. 顶点坐标为$(2,3)$
C. 函数的最大值是-3
D. 函数的最小值是-3
A. 对称轴为直线$x = -2$
B. 顶点坐标为$(2,3)$
C. 函数的最大值是-3
D. 函数的最小值是-3
答案
C
5. (教材$P_{37}$练习变式)写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
(1)$y = \frac{1}{3}(x - 5)^2 - 1$；
(2)$y = -4(x + 2)^2 + 1$.
(1)$y = \frac{1}{3}(x - 5)^2 - 1$；
(2)$y = -4(x + 2)^2 + 1$.
答案
解：(1)开口向上，
对称轴为直线 $ x = 5 $，
顶点坐标为 $(5, -1)$；
(2)开口向下，
对称轴为直线 $ x = -2 $，
顶点坐标为 $(-2, 1)$。
对称轴为直线 $ x = 5 $，
顶点坐标为 $(5, -1)$；
(2)开口向下，
对称轴为直线 $ x = -2 $，
顶点坐标为 $(-2, 1)$。
6. 已知抛物线$y = a(x - 3)^2 + 2经过点(1,-2)$.
(1)求$a$的值；
(2)若点$A(m,y_1)$,$B(n,y_2)(m ＜ n ＜ 3)$都在该抛物线上,试比较$y_1与y_2$的大小.
(1)求$a$的值；
(2)若点$A(m,y_1)$,$B(n,y_2)(m ＜ n ＜ 3)$都在该抛物线上,试比较$y_1与y_2$的大小.
答案
解：(1) $ \because y = a(x - 3)^2 + 2 $ 经过点 $(1, -2)$，
$ \therefore -2 = a(1 - 3)^2 + 2 $，解得 $ a = -1 $；
(2) $ \because a = -1 ＜ 0 $，
$ \therefore $ 当 $ x ＜ 3 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
$ \because $ 点 $ A(m, y_1) $，$ B(n, y_2)(m ＜ n ＜ 3) $ 都在该抛物线上，
$ \therefore y_1 ＜ y_2 $。
$ \therefore -2 = a(1 - 3)^2 + 2 $，解得 $ a = -1 $；
(2) $ \because a = -1 ＜ 0 $，
$ \therefore $ 当 $ x ＜ 3 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
$ \because $ 点 $ A(m, y_1) $，$ B(n, y_2)(m ＜ n ＜ 3) $ 都在该抛物线上，
$ \therefore y_1 ＜ y_2 $。
7. (2025天津)将抛物线$y = x^2$先向左平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线是()
A. $y = (x - 4)^2 + 3$
B. $y = (x + 4)^2 + 3$
C. $y = (x - 4)^2 - 3$
D. $y = (x + 4)^2 - 3$
A. $y = (x - 4)^2 + 3$
B. $y = (x + 4)^2 + 3$
C. $y = (x - 4)^2 - 3$
D. $y = (x + 4)^2 - 3$
答案
D
8. 把二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的图象先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到二次函数$y = 2(x + 1)^2 - 1$的图象,则$a = $______,$h = $______,$k = $______.
答案
2 1 -5
