11. (2024内江中考改)已知二次函数$y = (x - 1)^2$的图象向左平移2个单位长度得到抛物线$C$,点$P(2,y_1)$,$Q(3,y_2)在抛物线C$上,则$y_1$____$y_2$(填“$＞$”或“$＜$”).

＜

12. 若抛物线$y = 2(x - m)^{m^2 - 4m - 3}的顶点在x$轴正半轴上,则$m$的值为____.

5

13. 若抛物线$y = a(x + 1)^2(a ＞ 0)上有三个点A(- 3,y_1)$,$B(- 1,y_2)$,$C(0,y_3)$,则$y_1$,$y_2$,$y_3$的大小关系为()
A. $y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B. $y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
C. $y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$
D. $y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$

B

14. (2025重庆)若点$P(m,n)在抛物线y = ax^2(a \neq 0)$上,则下列各点在抛物线$y = a(x + 1)^2$上的是()
A. $(m,n + 1)$
B. $(m + 1,n)$
C. $(m,n - 1)$
D. $(m - 1,n)$

D

15. 如图,抛物线$y = a(x + 1)^2的顶点为A$,与$y轴的负半轴交于点B$,且$OB = OA$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点$C(- 3,b)$在该抛物线上,求$\triangle ABC$的面积.

解：(1) 由题意，得 A(-1, 0)，
∵ OB = OA，
∴ B(0, -1)，代入解析式，
可求得 a = -1，
∴ 抛物线的解析式为 y = -(x + 1)²；
(2) 过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D.
∵ C(-3, b) 在抛物线上，
∴ b = -4.
则 S△ABC = S四边形OBCD - S△AOB - S△ACD = $\frac{1}{2}$(1 + 4)×3 - $\frac{1}{2}$×1×1 - $\frac{1}{2}$×2×4 = 3.

16. (原创题)如图,抛物线$y = (x + 1)^2的顶点为A$,过点$A左侧抛物线上一点B作BC \perp x轴于点C$,且$BC = 2AC$.
(1)求点$B$的坐标；
(2)若$D$是抛物线上的一点,且$\angle ABD = 45^{\circ}$,求点$D$的坐标.

解：(1) ∵ 抛物线 y = (x + 1)² 的顶点为 A，
∴ A(-1, 0)，∴ OA = 1，
设 AC = m，则 BC = 2m，
∴ B(-m - 1, 2m)，
把 (-m - 1, 2m) 代入 y = (x + 1)²，
得 2m = (-m - 1 + 1)²，
解得 m₁ = 0（舍去），m₂ = 2，
∴ B(-3, 4)；
(2) 过点 A 作 AE⊥AB 交 BD 的延长线于点 E，过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F.
∵ ∠ABD = 45°，
∴ AB = AE，
可证得 △ABC ≌ △EAF，
∴ AF = BC = 4，EF = AC = 2，
∴ E(3, 2)，可求得直线 BE 的解析式为 y = -$\frac{1}{3}$x + 3，
联立 $\begin{cases} y = (x + 1)^2 \\ y = -\frac{1}{3}x + 3 \end{cases}$，
解得 $\begin{cases} x_1 = -3 \\ y_1 = 4 \end{cases}$，$\begin{cases} x_2 = \frac{2}{3} \\ y_2 = \frac{25}{9} \end{cases}$，
∴ 点 D 的坐标为 ($\frac{2}{3}$,$\frac{25}{9}$).