8. 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 $ 1800^{\circ} $，你知道原多边形有多少条边吗？说明理由.

8. 11 或 12 或 13 提示: 截线位置有 3 种情况, ① 经过 1 个顶点, ② 经过 2 个顶点, ③ 不经过顶点

设新多边形的边数为$n$，由多边形内角和公式$(n - 2) × 180^{\circ} = 1800^{\circ}$，解得$n = 12$。
情况①：截线经过1个顶点，原多边形边数为$12$；
情况②：截线经过2个顶点，原多边形边数为$12 + 1 = 13$；
情况③：截线不经过顶点，原多边形边数为$12 - 1 = 11$。
原多边形的边数为11或12或13。

9. 小虎同学在计算某个多边形的内角和时得到 $ 1840^{\circ} $，老师说他算错了，于是小虎认真地检查了一遍.
(1) 若他检查发现其中一个内角多算了一次，则这个多边形的边数是多少？
(2) 若他检查发现漏算了一个内角，则漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？

9. (1) 12 (2) 漏算的内角是 140°, 这个多边形是十三边形

【分析】
（1）对于多算一个内角的情况，首先明确多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n$是大于等于3的整数），且多边形每个内角的度数范围是$0°＜内角＜180°$。小虎计算的$1840°$是正确内角和加上一个多算的内角，因此$1840°$大于正确内角和，且两者的差在$0°$到$180°$之间。我们可通过$1840°$除以$180°$的商和余数，确定正确内角和对应的$(n-2)$的值，进而求出边数$n$。
（2）对于漏算一个内角的情况，$1840°$是正确内角和减去漏算的内角，因此正确内角和$(n-2)×180°$大于$1840°$，且两者的差（即漏算的内角）在$0°$到$180°$之间。同样通过$1840°$除以$180°$的商，找到比商大的最小整数确定$(n-2)$的值，进而求出漏算的内角度数和边数$n$。
【解析】
（1）设这个多边形的边数为$n$，多算的内角为$α$（$0°＜α＜180°$）。
根据题意列等式：
$(n-2)×180° + α = 1840°$
变形得：$(n-2)×180° = 1840° - α$
因为$0°＜α＜180°$，所以$1840° - 180° ＜ (n-2)×180° ＜ 1840°$，即$1660° ＜ (n-2)×180° ＜ 1840°$。
计算$1840÷180≈10.22$，$1660÷180≈9.22$，由于$(n-2)$为整数，故$n-2=10$，解得$n=12$。
（2）设漏算的内角为$β$（$0°＜β＜180°$），多边形边数为$m$。
根据题意列等式：
$(m-2)×180° - β = 1840°$
变形得：$(m-2)×180° = 1840° + β$
因为$0°＜β＜180°$，所以$1840° ＜ (m-2)×180° ＜ 1840° + 180°$，即$1840° ＜ (m-2)×180° ＜ 2020°$。
计算$1840÷180≈10.22$，$2020÷180≈11.22$，由于$(m-2)$为整数，故$m-2=11$，解得$m=13$。
将$m=13$代入计算漏算的内角：$β=(13-2)×180° - 1840°=1980° - 1840°=140°$。
【答案】
(1) 12；
(2) 漏算的那个内角是140度，这个多边形是十三边形。
【知识点】
多边形内角和公式，多边形内角性质
【点评】
本题考查多边形内角和公式的灵活应用，核心在于利用多边形内角的取值范围及内角和为$180°$整数倍的特点，通过不等式确定边数的取值，进而求解问题，需要熟练掌握公式并结合整数性质分析。
【难度系数】
0.6