一、选择题
1. 在$□ ABCD$中，$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D$可以等于()。
A.$1:2:3:4$
B.$3:4:4:3$
C.$3:3:4:4$
D.$3:4:3:4$

1. D

【分析】
要解决这道题，首先需回忆平行四边形的角的性质：平行四边形的对角相等，即$∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$。因此四个角的比例应呈现“第一个数与第三个数相等，第二个数与第四个数相等”的特征，我们只需逐一分析选项，找出符合该特征的即可。
【解析】
已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质：对角相等，可得$∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$。
对各选项逐一分析：
选项A：$1:2:3:4$，$∠ A$与$∠ C$的比例数$1≠3$，$∠ B$与$∠ D$的比例数$2≠4$，不符合性质；
选项B：$3:4:4:3$，$∠ A$与$∠ C$的比例数$3≠4$，$∠ B$与$∠ D$的比例数$4≠3$，不符合性质；
选项C：$3:3:4:4$，$∠ A$与$∠ C$的比例数$3≠4$，$∠ B$与$∠ D$的比例数$3≠4$，不符合性质；
选项D：$3:4:3:4$，$∠ A$与$∠ C$的比例数$3=3$，$∠ B$与$∠ D$的比例数$4=4$，符合平行四边形对角相等的性质。
因此，正确答案为D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角相等
【点评】
本题考查平行四边形的基本性质，属于基础题型，解题关键是牢记平行四边形对角相等的核心性质，通过比例特征即可快速筛选出正确选项。
【难度系数】
0.8

2. 以不共线的三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形()。

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

2. B

以不共线的三点 $ A $、$ B $、$ C $ 为顶点作平行四边形，可分三种情况：
1. 以 $ AB $、$ AC $ 为邻边，第四个顶点为 $ D_1 $；
2. 以 $ BA $、$ BC $ 为邻边，第四个顶点为 $ D_2 $；
3. 以 $ CA $、$ CB $ 为邻边，第四个顶点为 $ D_3 $。
共可作 3 个平行四边形。
B

3. 如图所示，在$□ ABCD$中，$∠ BAC=40^{\circ}$，$∠ ACB=80^{\circ}$，则$∠ BCD=$()。


A.$80^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$140^{\circ}$

3. C

证明：在$△ ABC$中，$∠ BAC=40^{\circ}$，$∠ ACB=80^{\circ}$，
$∠ ABC=180^{\circ}-∠ BAC-∠ ACB=180^{\circ}-40^{\circ}-80^{\circ}=60^{\circ}$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$∠ BCD+∠ ABC=180^{\circ}$，
$∠ BCD=180^{\circ}-∠ ABC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$。
C

二、填空题
4. 如图所示，四边形$ABCD$为平行四边形，则点$B$的坐标为。

4. (-2,-1)

【分析】
要确定点B的坐标，我们可以利用平行四边形“对边平行且相等”的性质来分析：
1. 首先观察已知点$A(-1,2)$和$D(3,2)$，它们的纵坐标相同，说明$AD$边平行于$x$轴，且$AD$的长度为$3 - (-1)=4$；
2. 因为$ABCD$是平行四边形，所以$BC$边和$AD$边平行且相等，因此$BC$边也平行于$x$轴，这意味着点$B$和点$C$的纵坐标相同；
3. 已知$C(2,-1)$，所以点$B$的纵坐标为$-1$；再根据$BC$的长度等于$AD$的长度4，$C$的横坐标是2，那么点$B$的横坐标应该是2减去4（从$C$到$B$是向左平移4个单位），从而算出点$B$的横坐标。
【解析】
解法一：利用平行四边形对边平行且相等的性质
1. 由$A(-1,2)$、$D(3,2)$可知，$AD$平行于$x$轴（纵坐标相同），且$AD=3 - (-1)=4$；
2. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$BC// AD$且$BC=AD=4$，因此点$B$与点$C$的纵坐标相同，即点$B$的纵坐标为$-1$；
3. 已知$C(2,-1)$，$BC$的长度为4，所以点$B$的横坐标为$2 - 4 = -2$；
综上，点$B$的坐标为$(-2,-1)$。
解法二：利用向量法
设点$B$的坐标为$(x,y)$，在平行四边形中$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$。
$\overrightarrow{AD}=(3 - (-1), 2 - 2)=(4,0)$，$\overrightarrow{BC}=(2 - x, -1 - y)$，
则有$\begin{cases}2 - x=4\\-1 - y=0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=-2\\y=-1\end{cases}$，
所以点$B$的坐标为$(-2,-1)$。
【答案】
$(-2,-1)$
【知识点】
平行四边形对边相等，平面直角坐标系坐标平移
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形对边平行且相等的特点，结合坐标的变化规律求解点的坐标，需要熟练掌握平面直角坐标系中点的平移规律与平行四边形的性质的结合应用。
【难度系数】
0.6

5. 平行四边形$ABCD$的周长为$40\mathrm{cm}$，两邻边$AB$，$BC$之比为$2:3$，则$AB$的长为，$BC$的长为。

5. 8 cm 12 cm

设$AB = 2x\ \mathrm{cm}$，$BC = 3x\ \mathrm{cm}$。
因为平行四边形的对边相等，所以周长为$2(AB + BC) = 40\ \mathrm{cm}$，即$2(2x + 3x) = 40$。
化简得$10x = 40$，解得$x = 4$。
所以$AB = 2x = 2×4 = 8\ \mathrm{cm}$，$BC = 3x = 3×4 = 12\ \mathrm{cm}$。
8 cm；12 cm

6. 在$□ ABCD$中，$∠ BCD$的平分线把边$AD$分为$3\mathrm{cm}$和$2\mathrm{cm}$两部分，则$CD$的长为，$□ ABCD$的周长为。

6. 2 cm 或 3 cm 14 cm 或 16 cm

解：在$□ABCD$中，$AD// BC$，$AB=CD$，$AD=BC$。
设$∠BCD$的平分线交$AD$于点$E$，则$∠BCE=∠DCE$。
因为$AD// BC$，所以$∠BCE=∠DEC$，故$∠DCE=∠DEC$，$DE=CD$。
情况一：若$AE=3\mathrm{cm}$，$ED=2\mathrm{cm}$，则$CD=DE=2\mathrm{cm}$，$AD=AE+ED=5\mathrm{cm}$，周长为$2×(AD+CD)=2×(5+2)=14\mathrm{cm}$。
情况二：若$AE=2\mathrm{cm}$，$ED=3\mathrm{cm}$，则$CD=DE=3\mathrm{cm}$，$AD=AE+ED=5\mathrm{cm}$，周长为$2×(AD+CD)=2×(5+3)=16\mathrm{cm}$。
$CD$的长为$2\mathrm{cm}$或$3\mathrm{cm}$，$□ABCD$的周长为$14\mathrm{cm}$或$16\mathrm{cm}$。

三、解答题
7. 如图所示，$□ ABCD$的周长为$19\mathrm{cm}$，$DA=DB$，$△ ABD$的周长为$14\mathrm{cm}$，求$□ ABCD$的各边的长。

7. AB=CD=5 cm,AD=BC=4.5 cm

解：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD=BC$，$AB=CD$，$AD=BC$。
设$AD=BC=x\ \mathrm{cm}$，$AB=CD=y\ \mathrm{cm}$。
平行四边形$ABCD$的周长为$19\ \mathrm{cm}$，则$2(x + y)=19$，即$x + y=\frac{19}{2}=9.5$。
因为$DA = DB$，所以$DB=AD=x\ \mathrm{cm}$。
$△ ABD$的周长为$14\ \mathrm{cm}$，即$AD + AB + DB=14$，所以$x + y + x=14$，即$2x + y=14$。
联立方程组$\begin{cases}x + y=9.5\\2x + y=14\end{cases}$，用第二个方程减去第一个方程得：$x=14 - 9.5=4.5$。
将$x = 4.5$代入$x + y=9.5$，得$y=9.5 - 4.5=5$。
所以$AD=BC=4.5\ \mathrm{cm}$，$AB=CD=5\ \mathrm{cm}$。
答：$□ABCD$的各边长分别为$AB=CD=5\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=4.5\ \mathrm{cm}$。