登录
2. 小凡到沐沐家做客，沐沐拿出了如图所示的一个上半部分是圆锥形的高脚杯和一瓶圆柱形罐装饮料。（数据均是从容器里面测量得到的）
(1) 图中圆锥形高脚杯的容积约是多少立方厘米？
(2) 每瓶饮料大约能倒满这样的高脚杯几杯？
(1) 图中圆锥形高脚杯的容积约是多少立方厘米？
(2) 每瓶饮料大约能倒满这样的高脚杯几杯？
答案
10÷2=5(厘米)
5×5×3.14×6÷3=157(立方厘米)
答：图中圆锥形高脚杯的容积约157立方厘米。
8÷2=4(厘米) 4×4×3.14×16=803.84(立方厘米) 803.84÷157≈5(杯) 答：每瓶饮料大约能倒满这样的高脚杯5杯。
8÷2=4(厘米) 4×4×3.14×16=803.84(立方厘米) 803.84÷157≈5(杯) 答：每瓶饮料大约能倒满这样的高脚杯5杯。
解析
【分析】
(1) 要计算圆锥形高脚杯的容积，本质是求圆锥的体积。首先回忆圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$为底面积，$h$为高），先根据圆锥底面直径求出底面半径，再计算底面积，最后代入公式求出体积。
(2) 要确定饮料能倒满几杯，需先算出圆柱形饮料罐的容积（即圆柱体积），圆柱体积公式为$V=Sh$，先根据圆柱底面直径求出半径，计算出底面积后结合高求出圆柱体积，再用圆柱体积除以圆锥体积，结合实际情况取整数得到杯数。
【解析】
(1) 计算圆锥形高脚杯的容积：
① 求圆锥底面半径：
$10÷2=5$（厘米）
② 代入圆锥体积公式计算：
$3.14×5^2×6÷3$
$=3.14×25×6÷3$
$=3.14×25×2$
$=157$（立方厘米）
答：图中圆锥形高脚杯的容积约是157立方厘米。
(2) 计算能倒满的杯数：
① 求圆柱底面半径：
$8÷2=4$（厘米）
② 计算圆柱饮料罐的容积：
$3.14×4^2×16$
$=3.14×16×16$
$=803.84$（立方厘米）
③ 计算杯数：
$803.84÷157\approx5$（杯）
答：每瓶饮料大约能倒满这样的高脚杯5杯。
【答案】
(1) 157立方厘米；(2) 5杯
【知识点】
圆锥体积计算、圆柱体积计算
【点评】
本题考查圆锥和圆柱体积公式在实际场景中的应用，解题核心是准确提取图形的底面直径和高这两个关键数据，熟练运用体积公式计算，同时注意求杯数时需结合实际情况对结果取整。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算圆锥形高脚杯的容积，本质是求圆锥的体积。首先回忆圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$为底面积，$h$为高），先根据圆锥底面直径求出底面半径，再计算底面积，最后代入公式求出体积。
(2) 要确定饮料能倒满几杯，需先算出圆柱形饮料罐的容积（即圆柱体积），圆柱体积公式为$V=Sh$，先根据圆柱底面直径求出半径，计算出底面积后结合高求出圆柱体积，再用圆柱体积除以圆锥体积，结合实际情况取整数得到杯数。
【解析】
(1) 计算圆锥形高脚杯的容积：
① 求圆锥底面半径：
$10÷2=5$（厘米）
② 代入圆锥体积公式计算：
$3.14×5^2×6÷3$
$=3.14×25×6÷3$
$=3.14×25×2$
$=157$（立方厘米）
答：图中圆锥形高脚杯的容积约是157立方厘米。
(2) 计算能倒满的杯数：
① 求圆柱底面半径：
$8÷2=4$（厘米）
② 计算圆柱饮料罐的容积：
$3.14×4^2×16$
$=3.14×16×16$
$=803.84$（立方厘米）
③ 计算杯数：
$803.84÷157\approx5$（杯）
答：每瓶饮料大约能倒满这样的高脚杯5杯。
【答案】
(1) 157立方厘米；(2) 5杯
【知识点】
圆锥体积计算、圆柱体积计算
【点评】
本题考查圆锥和圆柱体积公式在实际场景中的应用，解题核心是准确提取图形的底面直径和高这两个关键数据，熟练运用体积公式计算，同时注意求杯数时需结合实际情况对结果取整。
【难度系数】
0.7
四、拓展延伸。
如图所示，将一个圆锥从顶点沿高切开，其表面积比原来增加了$30\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}$。如果圆锥的高是$6\mathrm{c}\mathrm{m}$，圆锥的体积是()$\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{3}$。
如图所示，将一个圆锥从顶点沿高切开，其表面积比原来增加了$30\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{2}$。如果圆锥的高是$6\mathrm{c}\mathrm{m}$，圆锥的体积是()$\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{3}$。
答案
39.25
解析
【分析】
首先要明确圆锥沿高切开后，表面积增加的部分是两个完全相同的等腰三角形，这两个三角形的底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高。我们可以先通过增加的总面积求出单个三角形的面积，再利用三角形面积公式反推出圆锥的底面直径，进而得到底面半径，最后代入圆锥体积公式计算出体积。
【解析】
1. 计算单个增加的三角形的面积：
因为切开后表面积增加了$30\mathrm{cm}^2$，这是两个等腰三角形的面积和，所以单个三角形面积为：$30÷2=15(\mathrm{cm}^2)$。
2. 求圆锥的底面直径：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}dh$（其中$d$为底，$h$为高），已知三角形的高就是圆锥的高$6\mathrm{cm}$，可得底面直径$d=\frac{2S}{h}=\frac{2×15}{6}=5(\mathrm{cm})$，则底面半径$r=5÷2=2.5(\mathrm{cm})$。
3. 计算圆锥的体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入数据：
$V=\frac{1}{3}×3.14×(2.5)^2×6$
$=\frac{1}{3}×6×3.14×6.25$
$=2×3.14×6.25$
$=39.25(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
39.25
【知识点】
圆锥体积计算；圆锥切割表面积变化；三角形面积计算
【点评】
本题的关键是理解圆锥沿高切开后表面积增加的部分的形状及各边与圆锥的关系，需要灵活运用三角形面积公式和圆锥体积公式，考查对立体图形切割后特征的理解及公式的综合应用能力。
【难度系数】
0.4
首先要明确圆锥沿高切开后，表面积增加的部分是两个完全相同的等腰三角形，这两个三角形的底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高。我们可以先通过增加的总面积求出单个三角形的面积，再利用三角形面积公式反推出圆锥的底面直径，进而得到底面半径，最后代入圆锥体积公式计算出体积。
【解析】
1. 计算单个增加的三角形的面积：
因为切开后表面积增加了$30\mathrm{cm}^2$，这是两个等腰三角形的面积和，所以单个三角形面积为：$30÷2=15(\mathrm{cm}^2)$。
2. 求圆锥的底面直径：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}dh$（其中$d$为底，$h$为高），已知三角形的高就是圆锥的高$6\mathrm{cm}$，可得底面直径$d=\frac{2S}{h}=\frac{2×15}{6}=5(\mathrm{cm})$，则底面半径$r=5÷2=2.5(\mathrm{cm})$。
3. 计算圆锥的体积：
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入数据：
$V=\frac{1}{3}×3.14×(2.5)^2×6$
$=\frac{1}{3}×6×3.14×6.25$
$=2×3.14×6.25$
$=39.25(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
39.25
【知识点】
圆锥体积计算；圆锥切割表面积变化；三角形面积计算
【点评】
本题的关键是理解圆锥沿高切开后表面积增加的部分的形状及各边与圆锥的关系，需要灵活运用三角形面积公式和圆锥体积公式，考查对立体图形切割后特征的理解及公式的综合应用能力。
【难度系数】
0.4
