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概念建构
同底数幂的除法
法则
同底数幂相除，底数不变，指数
$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$，$n$都是正整数，且$m＞n$）图1
拓展
零次幂$a^0=$
A基础巩固
知识点1 同底数幂的除法运算
同底数幂的除法
法则
同底数幂相除，底数不变，指数
相减
$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$，$n$都是正整数，且$m＞n$）图1
拓展
零次幂$a^0=$
1
（$a≠0$）A基础巩固
知识点1 同底数幂的除法运算
答案
相减;1
解析
【分析】
本题考查同底数幂除法的基础概念与零次幂的规定，解题可从概念本身出发：①回忆同底数幂除法的运算法则，结合乘方的意义理解，m个a相乘除以n个a相乘，约去n个a后剩余m-n个a，对应指数的运算规律；②零次幂可通过同底数幂除法的特殊情况推导，当被除数和除数是同底数同指数的幂时，商为1，对应得到零次幂的结果，注意底数不为0的前提条件。
【解析】
1. 填写同底数幂除法法则的内容：根据同底数幂的除法运算规则，同底数幂相除时，底数保持不变，指数进行相减运算，因此第一空填“相减”。
2. 填写零次幂的结果：根据零指数幂的规定，当底数a不等于0时，任何非零数的0次幂都等于1，因此第二空填“1”。
【答案】
相减;1
【知识点】
同底数幂的除法法则；零指数幂的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对幂的运算基础规则的识记情况，掌握相关法则是进行复杂幂运算的前提，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查同底数幂除法的基础概念与零次幂的规定，解题可从概念本身出发：①回忆同底数幂除法的运算法则，结合乘方的意义理解，m个a相乘除以n个a相乘，约去n个a后剩余m-n个a，对应指数的运算规律；②零次幂可通过同底数幂除法的特殊情况推导，当被除数和除数是同底数同指数的幂时，商为1，对应得到零次幂的结果，注意底数不为0的前提条件。
【解析】
1. 填写同底数幂除法法则的内容：根据同底数幂的除法运算规则，同底数幂相除时，底数保持不变，指数进行相减运算，因此第一空填“相减”。
2. 填写零次幂的结果：根据零指数幂的规定，当底数a不等于0时，任何非零数的0次幂都等于1，因此第二空填“1”。
【答案】
相减;1
【知识点】
同底数幂的除法法则；零指数幂的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对幂的运算基础规则的识记情况，掌握相关法则是进行复杂幂运算的前提，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
1.(新知回顾 $a^{8} ÷ a^{4}=a^{8}\_\_\_\_\_\_^{4}=$
$a^4$
.答案
1.$-$ ; $a^4$
解析
【分析】
本题考查同底数幂的除法运算，解题时首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。对应题目中的$a^8÷ a^4$，底数a保持不变，指数部分应该是8减去4，因此第一个空填减号，再计算指数的差即可得到最终运算结果。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n均为正整数，且$m＞n$）。
将$m=8$，$n=4$代入法则可得：
$a^8÷ a^4=a^{8-4}=a^4$
因此第一个空填“-”，第二个空填$a^4$。
【答案】
-；$a^4$
【知识点】
同底数幂的除法
【点评】
本题是同底数幂除法法则的基础应用，解题核心是牢记同底数幂除法的运算规则，注意不要和同底数幂乘法的指数运算混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查同底数幂的除法运算，解题时首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。对应题目中的$a^8÷ a^4$，底数a保持不变，指数部分应该是8减去4，因此第一个空填减号，再计算指数的差即可得到最终运算结果。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n均为正整数，且$m＞n$）。
将$m=8$，$n=4$代入法则可得：
$a^8÷ a^4=a^{8-4}=a^4$
因此第一个空填“-”，第二个空填$a^4$。
【答案】
-；$a^4$
【知识点】
同底数幂的除法
【点评】
本题是同底数幂除法法则的基础应用，解题核心是牢记同底数幂除法的运算规则，注意不要和同底数幂乘法的指数运算混淆。
【难度系数】
0.9
2. 计算$(-m)^{15} ÷ (-m)^{5}$的结果是 （
A.$-m^3$
B.$m^3$
C.$-m^{10}$
D.$m^{10}$
D
）A.$-m^3$
B.$m^3$
C.$-m^{10}$
D.$m^{10}$
答案
2.D
解析
【分析】
拿到这道题首先观察算式特征，是两个底数均为(-m)的幂做除法运算，属于同底数幂的除法问题。解题思路分为两步：第一步运用同底数幂的除法法则计算，底数不变，指数相减；第二步根据乘方的符号规律化简结果，判断最终的符号和形式，再匹配选项即可。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，且$m＞n$），可得：
$(-m)^{15} ÷ (-m)^{5} = (-m)^{15-5} = (-m)^{10}$
因为10是偶数，负数的偶次幂为正数，所以$(-m)^{10}=m^{10}$。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法法则，乘方的符号规律
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查同底数幂除法的基本应用，解题时要先确认底数相同再套用法则，最后注意根据指数的奇偶性判断结果符号，熟练掌握相关法则就能快速得分。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先观察算式特征，是两个底数均为(-m)的幂做除法运算，属于同底数幂的除法问题。解题思路分为两步：第一步运用同底数幂的除法法则计算，底数不变，指数相减；第二步根据乘方的符号规律化简结果，判断最终的符号和形式，再匹配选项即可。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，且$m＞n$），可得：
$(-m)^{15} ÷ (-m)^{5} = (-m)^{15-5} = (-m)^{10}$
因为10是偶数，负数的偶次幂为正数，所以$(-m)^{10}=m^{10}$。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的除法法则，乘方的符号规律
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查同底数幂除法的基本应用，解题时要先确认底数相同再套用法则，最后注意根据指数的奇偶性判断结果符号，熟练掌握相关法则就能快速得分。
【难度系数】
0.8
3.计算:
(1)$a^8 ÷ (-a)^6$;
(2)$x^8 ÷ (x^7 ÷ x^6)$;
(3)$(-m-n)^8 ÷ (m+n)^3$.
(1)$a^8 ÷ (-a)^6$;
(2)$x^8 ÷ (x^7 ÷ x^6)$;
(3)$(-m-n)^8 ÷ (m+n)^3$.
答案
3.解: (1)$a^2$. (2)$x^7$. (3)$(m+n)^5$.
解析
【分析】
解题需用到同底数幂的除法法则，结合偶次幂的符号性质、整式运算顺序规则思考：
(1) 先根据负数的偶次幂为正，化简$(-a)^6=a^6$，再对底数相同的$a^8$和$a^6$应用同底数幂除法法则计算即可。
(2) 按照运算顺序，有括号先算括号内的，先算出$x^7÷ x^6$的结果，再用$x^8$除以该结果，两次应用同底数幂除法法则即可得解。
(3) 先统一底数，将$(-m-n)$变形为$-(m+n)$，其8次幂为偶次幂可消去负号，得到底数为$(m+n)$的幂后，再应用同底数幂除法法则计算即可。
【解析】
(1) 先化简乘方：
$(-a)^6=a^6$
再应用同底数幂除法法则：
原式$=a^8÷ a^6=a^{8-6}=a^2$
(2) 先计算括号内的运算：
$x^7÷ x^6=x^{7-6}=x$
再计算括号外的除法：
原式$=x^8÷ x=x^{8-1}=x^7$
(3) 先统一底数：
$(-m-n)^8=[-(m+n)]^8=(m+n)^8$
再应用同底数幂除法法则：
原式$=(m+n)^8÷ (m+n)^3=(m+n)^{8-3}=(m+n)^5$
【答案】
(1)$a^2$；(2)$x^7$；(3)$(m+n)^5$
【知识点】
同底数幂的除法，偶次幂符号性质，整式运算顺序
【点评】
本题是同底数幂除法的基础应用题型，解题核心是先统一运算的底数，遵循运算顺序计算，注意偶次幂的负号处理规则，熟练掌握相关法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题需用到同底数幂的除法法则，结合偶次幂的符号性质、整式运算顺序规则思考：
(1) 先根据负数的偶次幂为正，化简$(-a)^6=a^6$，再对底数相同的$a^8$和$a^6$应用同底数幂除法法则计算即可。
(2) 按照运算顺序，有括号先算括号内的，先算出$x^7÷ x^6$的结果，再用$x^8$除以该结果，两次应用同底数幂除法法则即可得解。
(3) 先统一底数，将$(-m-n)$变形为$-(m+n)$，其8次幂为偶次幂可消去负号，得到底数为$(m+n)$的幂后，再应用同底数幂除法法则计算即可。
【解析】
(1) 先化简乘方：
$(-a)^6=a^6$
再应用同底数幂除法法则：
原式$=a^8÷ a^6=a^{8-6}=a^2$
(2) 先计算括号内的运算：
$x^7÷ x^6=x^{7-6}=x$
再计算括号外的除法：
原式$=x^8÷ x=x^{8-1}=x^7$
(3) 先统一底数：
$(-m-n)^8=[-(m+n)]^8=(m+n)^8$
再应用同底数幂除法法则：
原式$=(m+n)^8÷ (m+n)^3=(m+n)^{8-3}=(m+n)^5$
【答案】
(1)$a^2$；(2)$x^7$；(3)$(m+n)^5$
【知识点】
同底数幂的除法，偶次幂符号性质，整式运算顺序
【点评】
本题是同底数幂除法的基础应用题型，解题核心是先统一运算的底数，遵循运算顺序计算，注意偶次幂的负号处理规则，熟练掌握相关法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.若$a＞0$，且$a^m=15$，$a^n=5$，则$a^{m-n}=$
3
。答案
4.3
解析
【分析】
解题时首先观察所求式子的指数特征，指数为m-n，是两个指数相减的形式，联想到同底数幂的除法法则的逆用：同底数幂相除，底数不变，指数相减，反过来可得$a^{m-n}=a^m÷ a^n$。已知$a^m$和$a^n$的数值，且$a＞0$保证除法运算有意义，直接代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂除法法则的逆运算可得：
$a^{m-n}=a^m÷ a^n$
将$a^m=15$，$a^n=5$代入上式：
$a^{m-n}=15÷5=3$
【答案】
3
【知识点】
同底数幂的除法法则；幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的基础考查题，重点考察对同底数幂除法法则的灵活运用，熟练掌握幂的各类运算性质及其逆用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察所求式子的指数特征，指数为m-n，是两个指数相减的形式，联想到同底数幂的除法法则的逆用：同底数幂相除，底数不变，指数相减，反过来可得$a^{m-n}=a^m÷ a^n$。已知$a^m$和$a^n$的数值，且$a＞0$保证除法运算有意义，直接代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂除法法则的逆运算可得：
$a^{m-n}=a^m÷ a^n$
将$a^m=15$，$a^n=5$代入上式：
$a^{m-n}=15÷5=3$
【答案】
3
【知识点】
同底数幂的除法法则；幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的基础考查题，重点考察对同底数幂除法法则的灵活运用，熟练掌握幂的各类运算性质及其逆用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
5.已知$5^x=75$，则$5^{x-2}$的值为
3
.答案
5.3
解析
【分析】
本题可通过逆用同底数幂的除法法则求解，解题思路如下：首先观察待求式$5^{x-2}$的指数为$x-2$，属于两个指数相减的形式，对应同底数幂除法的运算特征，由此联想到逆用同底数幂的除法公式$a^{m-n}=a^m÷ a^n$（$a\ne0$，$m、n$为正整数且$m＞n$），将待求式转化为含已知条件$5^x$的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
逆用同底数幂的除法运算性质可得：
$5^{x-2}=5^x÷5^2$
已知$5^x=75$，且$5^2=25$，将其代入上式计算：
$5^{x-2}=75÷25=3$
【答案】
3
【知识点】
同底数幂的除法；幂的运算性质逆用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对同底数幂运算性质的灵活运用能力，解题关键是能根据指数的特征逆用运算性质，将待求式转化为可代入已知条件计算的形式。
【难度系数】
0.85
本题可通过逆用同底数幂的除法法则求解，解题思路如下：首先观察待求式$5^{x-2}$的指数为$x-2$，属于两个指数相减的形式，对应同底数幂除法的运算特征，由此联想到逆用同底数幂的除法公式$a^{m-n}=a^m÷ a^n$（$a\ne0$，$m、n$为正整数且$m＞n$），将待求式转化为含已知条件$5^x$的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
逆用同底数幂的除法运算性质可得：
$5^{x-2}=5^x÷5^2$
已知$5^x=75$，且$5^2=25$，将其代入上式计算：
$5^{x-2}=75÷25=3$
【答案】
3
【知识点】
同底数幂的除法；幂的运算性质逆用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对同底数幂运算性质的灵活运用能力，解题关键是能根据指数的特征逆用运算性质，将待求式转化为可代入已知条件计算的形式。
【难度系数】
0.85
6. [2026 芜湖期末]计算$(1-3)^0$的结果是（
A.－2
B.0
C.1
D.4
C
）A.－2
B.0
C.1
D.4
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查零指数幂的运算规则，第一步先计算出幂的底数，再根据零指数幂的成立条件判断是否符合运算规则，最后套用规则得出结果即可。首先回忆零指数幂的核心性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1，要注意底数不能为0是运算的前提条件。
【解析】
首先计算幂的底数：$1 - 3 = -2$
根据零指数幂的运算法则：$a^0 = 1$（$a ≠ 0$）
本题中底数$-2 ≠ 0$，满足零指数幂的运算条件，因此$(-2)^0 = 1$，即$(1-3)^0=1$。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂的运算，有理数的减法
【点评】
本题是基础运算题，核心是牢记零指数幂的运算前提是底数不为0，只要掌握零指数幂的基本性质就能快速得出答案，属于对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确本题考查零指数幂的运算规则，第一步先计算出幂的底数，再根据零指数幂的成立条件判断是否符合运算规则，最后套用规则得出结果即可。首先回忆零指数幂的核心性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1，要注意底数不能为0是运算的前提条件。
【解析】
首先计算幂的底数：$1 - 3 = -2$
根据零指数幂的运算法则：$a^0 = 1$（$a ≠ 0$）
本题中底数$-2 ≠ 0$，满足零指数幂的运算条件，因此$(-2)^0 = 1$，即$(1-3)^0=1$。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂的运算，有理数的减法
【点评】
本题是基础运算题，核心是牢记零指数幂的运算前提是底数不为0，只要掌握零指数幂的基本性质就能快速得出答案，属于对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.9
7.等式$(x+3)^0=1$成立的条件是 （
A.x 为有理数
B.$x≠0$
C.$x≠3$
D.$x≠-3$
D
）A.x 为有理数
B.$x≠0$
C.$x≠3$
D.$x≠-3$
答案
7.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆零指数幂的运算规则：任何非零数的0次幂等于1，也就是说零指数幂成立的前提是底数不能为0。所以我们首先找到等式左边幂的底数是(x+3)，只需要让底数不等于0，解出x的取值范围就能得到答案。
【解析】
根据零指数幂的性质：$a^0 = 1$（$a≠0$），
本题中幂的底数为$x+3$，因此需满足底数不为0，即：
$x + 3 ≠ 0$
解得：$x≠ -3$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂的性质，一元一次不等式求解
【点评】
本题是基础概念题，核心易错点是容易忽略零指数幂的底数不能为0的限制条件，直接认为所有实数都满足，解题时要牢记特殊幂运算的前提要求。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆零指数幂的运算规则：任何非零数的0次幂等于1，也就是说零指数幂成立的前提是底数不能为0。所以我们首先找到等式左边幂的底数是(x+3)，只需要让底数不等于0，解出x的取值范围就能得到答案。
【解析】
根据零指数幂的性质：$a^0 = 1$（$a≠0$），
本题中幂的底数为$x+3$，因此需满足底数不为0，即：
$x + 3 ≠ 0$
解得：$x≠ -3$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
零指数幂的性质，一元一次不等式求解
【点评】
本题是基础概念题，核心易错点是容易忽略零指数幂的底数不能为0的限制条件，直接认为所有实数都满足，解题时要牢记特殊幂运算的前提要求。
【难度系数】
0.8
8.计算：
(1)$13^7 ÷ 13^7 =$
(3)$\sqrt[3]{27} - 2^0 =$
(1)$13^7 ÷ 13^7 =$
1
；(2)$(\dfrac{1}{5})^0 + (-2)^2 =$ 5
；(3)$\sqrt[3]{27} - 2^0 =$
2
。答案
8.(1)1 (2)5 (3)2
解析
【分析】
这三道题均为基础运算题，解题思路清晰：(1) 运用同底数幂的除法法则计算，再结合非零数的0次幂的性质得出结果；(2) 分别计算零指数幂和乘方运算，再将两个结果相加；(3) 先求出27的立方根，再计算2的0次幂，最后做减法运算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），可得$13^7÷13^7=13^{7-7}=13^0$，又因为非零数的0次幂等于1，所以$13^0=1$。
(2) 先计算零指数幂：非零数的0次幂为1，因此$(\dfrac{1}{5})^0=1$；再计算乘方：$(-2)^2=4$，相加得$1+4=5$。
(3) 先计算立方根：因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$；再计算零指数幂：$2^0=1$，相减得$3-1=2$。
【答案】
(1)1；(2)5；(3)2
【知识点】
同底数幂的除法、零指数幂的性质、立方根运算
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查幂的相关运算法则和立方根的计算，熟练掌握相关性质、遵循运算顺序计算即可得分。
【难度系数】
0.9
这三道题均为基础运算题，解题思路清晰：(1) 运用同底数幂的除法法则计算，再结合非零数的0次幂的性质得出结果；(2) 分别计算零指数幂和乘方运算，再将两个结果相加；(3) 先求出27的立方根，再计算2的0次幂，最后做减法运算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），可得$13^7÷13^7=13^{7-7}=13^0$，又因为非零数的0次幂等于1，所以$13^0=1$。
(2) 先计算零指数幂：非零数的0次幂为1，因此$(\dfrac{1}{5})^0=1$；再计算乘方：$(-2)^2=4$，相加得$1+4=5$。
(3) 先计算立方根：因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$；再计算零指数幂：$2^0=1$，相减得$3-1=2$。
【答案】
(1)1；(2)5；(3)2
【知识点】
同底数幂的除法、零指数幂的性质、立方根运算
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查幂的相关运算法则和立方根的计算，熟练掌握相关性质、遵循运算顺序计算即可得分。
【难度系数】
0.9
9. [2026 芜湖期末] 计算$(x^2 y)^5 ÷ (x^2 y)^3$的结果是
$x^4 y^2$
.答案
9.$x^4 y^2$
解析
【分析】
解题时先观察算式的结构，发现被除式和除式的底数均为$x^2 y$，可先将$x^2 y$看作一个整体，运用同底数幂的除法法则计算，再依次运用积的乘方、幂的乘方法则展开化简即可得到结果。
【解析】
解：将$x^2 y$看作整体，根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m,n$为正整数，$m＞n$），可得：
$\begin{aligned}(x^2 y)^5 ÷ (x^2 y)^3&=(x^2 y)^{5-3}\\&=(x^2 y)^2\end{aligned}$
再根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$和幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，展开得：
$(x^2 y)^2=(x^2)^2· y^2=x^4 y^2$
【答案】
$x^4 y^2$
【知识点】
同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，解题的核心是灵活把相同底数的部分看作整体代入运算法则计算，计算时注意区分各幂运算的指数运算规则，避免出现指数计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时先观察算式的结构，发现被除式和除式的底数均为$x^2 y$，可先将$x^2 y$看作一个整体，运用同底数幂的除法法则计算，再依次运用积的乘方、幂的乘方法则展开化简即可得到结果。
【解析】
解：将$x^2 y$看作整体，根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m,n$为正整数，$m＞n$），可得：
$\begin{aligned}(x^2 y)^5 ÷ (x^2 y)^3&=(x^2 y)^{5-3}\\&=(x^2 y)^2\end{aligned}$
再根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$和幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，展开得：
$(x^2 y)^2=(x^2)^2· y^2=x^4 y^2$
【答案】
$x^4 y^2$
【知识点】
同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，解题的核心是灵活把相同底数的部分看作整体代入运算法则计算，计算时注意区分各幂运算的指数运算规则，避免出现指数计算错误。
【难度系数】
0.8
10. [2026杭州期中]若$(t-3)^{2-2t}=1$，则t的值为
1或2或4
。答案
10.1或2或4
解析
【分析】
要使幂的运算结果为1，可结合乘方的性质分三类讨论求解：①任意非零数的0次幂等于1；②1的任意次幂等于1；③-1的偶次幂等于1。我们按照这三类情况分别列方程求解，再验证结果是否符合每类的前提条件，即可得到t的所有取值。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当指数为0，底数不为0时：
令$2-2t=0$，解得$t=1$，此时底数$t-3=1-3=-2≠0$，满足非零数的0次幂为1的条件，故$t=1$是符合要求的解；
2. 当底数为1时：
令$t-3=1$，解得$t=4$，此时指数$2-2×4=-6$，$1^{-6}=1$，符合条件，故$t=4$是符合要求的解；
3. 当底数为-1，且指数为偶数时：
令$t-3=-1$，解得$t=2$，此时指数$2-2×2=-2$，是偶数，$(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^2}=1$，符合条件，故$t=2$是符合要求的解。
综上，t的值为1或2或4。
【答案】
1或2或4
【知识点】
零指数幂的运算；有理数的乘方；幂的运算性质
【点评】
本题考查幂的值为1的分类讨论问题，解题时需注意对应每种情况的前提限制条件，避免漏解或忽略限制条件出现错解。
【难度系数】
0.6
要使幂的运算结果为1，可结合乘方的性质分三类讨论求解：①任意非零数的0次幂等于1；②1的任意次幂等于1；③-1的偶次幂等于1。我们按照这三类情况分别列方程求解，再验证结果是否符合每类的前提条件，即可得到t的所有取值。
【解析】
分三种情况讨论：
1. 当指数为0，底数不为0时：
令$2-2t=0$，解得$t=1$，此时底数$t-3=1-3=-2≠0$，满足非零数的0次幂为1的条件，故$t=1$是符合要求的解；
2. 当底数为1时：
令$t-3=1$，解得$t=4$，此时指数$2-2×4=-6$，$1^{-6}=1$，符合条件，故$t=4$是符合要求的解；
3. 当底数为-1，且指数为偶数时：
令$t-3=-1$，解得$t=2$，此时指数$2-2×2=-2$，是偶数，$(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^2}=1$，符合条件，故$t=2$是符合要求的解。
综上，t的值为1或2或4。
【答案】
1或2或4
【知识点】
零指数幂的运算；有理数的乘方；幂的运算性质
【点评】
本题考查幂的值为1的分类讨论问题，解题时需注意对应每种情况的前提限制条件，避免漏解或忽略限制条件出现错解。
【难度系数】
0.6
11.若实数$m$，$n$满足$2m - n - 4 = 0$，则$9^m ÷ 3^n = \_\_\_\_\_\_$
答案
11.81
解析
【分析】
解题时首先观察所求式子的底数，9和3是倍数关系，可先利用幂的乘方性质将底数统一为3，再根据同底数幂的除法法则化简式子，最后将已知条件变形得到的2m-n的值整体代入计算即可。具体思考步骤：第一步，把$9^m$转化为以3为底的幂；第二步，用同底数幂除法法则化简原式，得到指数为$2m-n$的形式；第三步，从已知等式求出$2m-n$的值，代入计算结果。
【解析】
首先将$9^m$转化为以3为底的幂：
$9^m=(3^2)^m=3^{2m}$
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$9^m ÷ 3^n = 3^{2m} ÷ 3^n = 3^{2m - n}$
已知$2m - n - 4 = 0$，移项得$2m - n = 4$，将其代入上式：
$3^{2m - n}=3^4=81$
【答案】
81
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的除法、整体代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的运算性质的灵活应用，解题的关键是统一底数，再结合已知条件整体代入指数计算，熟练掌握幂的各类运算法则是快速解题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求式子的底数，9和3是倍数关系，可先利用幂的乘方性质将底数统一为3，再根据同底数幂的除法法则化简式子，最后将已知条件变形得到的2m-n的值整体代入计算即可。具体思考步骤：第一步，把$9^m$转化为以3为底的幂；第二步，用同底数幂除法法则化简原式，得到指数为$2m-n$的形式；第三步，从已知等式求出$2m-n$的值，代入计算结果。
【解析】
首先将$9^m$转化为以3为底的幂：
$9^m=(3^2)^m=3^{2m}$
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$9^m ÷ 3^n = 3^{2m} ÷ 3^n = 3^{2m - n}$
已知$2m - n - 4 = 0$，移项得$2m - n = 4$，将其代入上式：
$3^{2m - n}=3^4=81$
【答案】
81
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的除法、整体代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的运算性质的灵活应用，解题的关键是统一底数，再结合已知条件整体代入指数计算，熟练掌握幂的各类运算法则是快速解题的基础。
【难度系数】
0.8
12.若$2^a = 3, 2^b = 5, 2^c = \frac{15}{4}$，则用含$a, b$的代数式表示$c$为
$c=a+b-2$
。答案
12.$c=a+b-2$
解析
【分析】
已知条件均为以2为底的幂，要推导c与a、b的关系，首先可利用同底数幂的乘法法则求出$2^{a+b}$的值，再将$2^c=\frac{15}{4}$中的15替换为$2^{a+b}$、4替换为$2^2$，最后根据同底数幂的除法法则以及“底数相同的两个幂相等，则指数相等”的性质，即可得出c的表达式。
【解析】
解：已知$2^a=3$，$2^b=5$，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^a · 2^b = 2^{a+b} = 3×5=15$
又已知$2^c=\frac{15}{4}$，且$4=2^2$，将15替换为$2^{a+b}$可得：
$2^c=\frac{2^{a+b}}{2^2}$
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$\frac{2^{a+b}}{2^2}=2^{a+b-2}$
即$2^c=2^{a+b-2}$
因为底数2相同且不为0，所以指数相等，即$c=a+b-2$。
【答案】
$c=a+b-2$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂相等的性质
【点评】
本题是幂运算的基础应用题型，解题核心是通过转化将未知幂的表达式与已知幂的运算关联，熟练掌握同底数幂的乘除运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
已知条件均为以2为底的幂，要推导c与a、b的关系，首先可利用同底数幂的乘法法则求出$2^{a+b}$的值，再将$2^c=\frac{15}{4}$中的15替换为$2^{a+b}$、4替换为$2^2$，最后根据同底数幂的除法法则以及“底数相同的两个幂相等，则指数相等”的性质，即可得出c的表达式。
【解析】
解：已知$2^a=3$，$2^b=5$，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^a · 2^b = 2^{a+b} = 3×5=15$
又已知$2^c=\frac{15}{4}$，且$4=2^2$，将15替换为$2^{a+b}$可得：
$2^c=\frac{2^{a+b}}{2^2}$
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$\frac{2^{a+b}}{2^2}=2^{a+b-2}$
即$2^c=2^{a+b-2}$
因为底数2相同且不为0，所以指数相等，即$c=a+b-2$。
【答案】
$c=a+b-2$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂相等的性质
【点评】
本题是幂运算的基础应用题型，解题核心是通过转化将未知幂的表达式与已知幂的运算关联，熟练掌握同底数幂的乘除运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13. 立德树人·关注国计民生 飓风可以看作一个发动机，将收集到的能量以旋风的方式释放出来.某场飓风产生的能量大约为20万亿瓦，约是当地所有发电站一季度总发电量的1 000倍，那么当地所有发电站一季度总发电量约为
$2×10^{10}$
瓦.答案
13.$2×10^{10}$
解析
【分析】
解题时先明确数量关系：飓风产生的能量 = 当地所有发电站一季度总发电量 × 1000，因此求总发电量需用飓风能量除以1000。首先将“20万亿”用科学记数法表示，再根据同底数幂的除法法则计算即可得到结果。
【解析】
解：先将20万亿瓦转化为科学记数法形式：
1万=$10^4$，1亿=$10^8$，所以20万亿=$20×10^4×10^8=2×10^{13}$瓦，
已知飓风能量是发电站一季度总发电量的1000倍，1000=$10^3$，
所以总发电量 = $2×10^{13} ÷ 10^3$，
根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可得：
$2×10^{13} ÷ 10^3 = 2×10^{13-3} = 2×10^{10}$（瓦）。
【答案】
$2×10^{10}$
【知识点】
科学记数法；同底数幂的除法
【点评】
本题结合实际热点情境考查基础运算，解题的核心是理清两个量之间的倍数关系，正确完成大数的科学记数法转化，再运用幂的运算规则求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题时先明确数量关系：飓风产生的能量 = 当地所有发电站一季度总发电量 × 1000，因此求总发电量需用飓风能量除以1000。首先将“20万亿”用科学记数法表示，再根据同底数幂的除法法则计算即可得到结果。
【解析】
解：先将20万亿瓦转化为科学记数法形式：
1万=$10^4$，1亿=$10^8$，所以20万亿=$20×10^4×10^8=2×10^{13}$瓦，
已知飓风能量是发电站一季度总发电量的1000倍，1000=$10^3$，
所以总发电量 = $2×10^{13} ÷ 10^3$，
根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可得：
$2×10^{13} ÷ 10^3 = 2×10^{13-3} = 2×10^{10}$（瓦）。
【答案】
$2×10^{10}$
【知识点】
科学记数法；同底数幂的除法
【点评】
本题结合实际热点情境考查基础运算，解题的核心是理清两个量之间的倍数关系，正确完成大数的科学记数法转化，再运用幂的运算规则求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
14. 推理能力 已知$a^m=2,a^n=4,a^k=32$.
(1)求$a^{3m+2n-k}$的值；
(2)当$a=2$时,求$2k-m-4n$的值.
(1)求$a^{3m+2n-k}$的值；
(2)当$a=2$时,求$2k-m-4n$的值.
答案
14.解: (1)$a^{3m+2n-k}=4$. (2)$2k-m-4n=1$.
解析
【分析】
(1) 求解$a^{3m+2n-k}$，需逆用同底数幂的乘、除法法则和幂的乘方法则，将待求式变形为用$a^m、a^n、a^k$表示的形式，再代入已知数值计算即可。具体来说，先把指数$3m+2n-k$拆分为$3m+2n$与$-k$，对应得到$a^{3m}·a^{2n}÷a^k$，再将$a^{3m}$转化为$(a^m)^3$，$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$，就能代入已知值计算。
(2) 当$a=2$时，先把已知的$a^m、a^n、a^k$都转化为底数为2的幂，根据“同底数幂相等则指数相等”求出$m、n、k$的具体值，再代入代数式$2k-m-4n$计算即可。
【解析】
(1) 根据幂的运算性质可得：
$a^{3m+2n-k}=a^{3m}·a^{2n}÷a^k=(a^m)^3·(a^n)^2÷a^k$
将$a^m=2,a^n=4,a^k=32$代入上式：
原式$=2^3×4^2÷32=8×16÷32=128÷32=4$
(2) 当$a=2$时：
$a^m=2=2^1$，故$m=1$；
$a^n=4=2^2$，故$n=2$；
$a^k=32=2^5$，故$k=5$。
将$m=1,n=2,k=5$代入$2k-m-4n$：
原式$=2×5 -1 -4×2=10-1-8=1$
【答案】
(1)$4$；(2)$1$
【知识点】
1. 同底数幂的乘除法
2. 幂的乘方
3. 代数式求值
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的灵活运用，解题的核心是熟练掌握幂的运算性质，能够根据待求式的特点逆用法则变形，结合已知条件代入计算即可，属于幂运算章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求解$a^{3m+2n-k}$，需逆用同底数幂的乘、除法法则和幂的乘方法则，将待求式变形为用$a^m、a^n、a^k$表示的形式，再代入已知数值计算即可。具体来说，先把指数$3m+2n-k$拆分为$3m+2n$与$-k$，对应得到$a^{3m}·a^{2n}÷a^k$，再将$a^{3m}$转化为$(a^m)^3$，$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$，就能代入已知值计算。
(2) 当$a=2$时，先把已知的$a^m、a^n、a^k$都转化为底数为2的幂，根据“同底数幂相等则指数相等”求出$m、n、k$的具体值，再代入代数式$2k-m-4n$计算即可。
【解析】
(1) 根据幂的运算性质可得：
$a^{3m+2n-k}=a^{3m}·a^{2n}÷a^k=(a^m)^3·(a^n)^2÷a^k$
将$a^m=2,a^n=4,a^k=32$代入上式：
原式$=2^3×4^2÷32=8×16÷32=128÷32=4$
(2) 当$a=2$时：
$a^m=2=2^1$，故$m=1$；
$a^n=4=2^2$，故$n=2$；
$a^k=32=2^5$，故$k=5$。
将$m=1,n=2,k=5$代入$2k-m-4n$：
原式$=2×5 -1 -4×2=10-1-8=1$
【答案】
(1)$4$；(2)$1$
【知识点】
1. 同底数幂的乘除法
2. 幂的乘方
3. 代数式求值
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的灵活运用，解题的核心是熟练掌握幂的运算性质，能够根据待求式的特点逆用法则变形，结合已知条件代入计算即可，属于幂运算章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
15. 整体思想 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x + y = 2m - 1, \\x - y = n\end{cases}$的解满足$x + y = 1$，则$4^m ÷ 2^n$的值是（ ）
A.1
B.2
C.4
D.8
A.1
B.2
C.4
D.8
答案
15.D
解析
【分析】
首先将所求代数式$4^m ÷ 2^n$利用幂的运算性质转化为同底数幂的形式，可得$2^{2m-n}$，因此解题核心是求出$2m-n$的值。观察给出的二元一次方程组，将两个方程作差即可凑出$x+y$的整体结构，结合已知条件$x+y=1$，无需单独求解$x,y$就能直接算出$2m-n$的值，符合题目提示的整体思想。
【解析】
1. 化简所求代数式：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，得$4^m=(2^2)^m=2^{2m}$；
再根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$，可得：
$4^m ÷ 2^n = 2^{2m} ÷ 2^n = 2^{2m-n}$。
2. 求$2m-n$的值：
记方程组为$\begin{cases}3x + y = 2m - 1&① \\x - y = n&②\end{cases}$，
用①式减去②式，左右两边分别相减：
$(3x + y) - (x - y) = (2m - 1) - n$
化简左边：$3x + y - x + y = 2x + 2y = 2(x + y)$，
已知$x + y = 1$，代入左边得$2×1=2$，
因此有$2 = 2m - 1 - n$，移项整理得$2m - n = 3$。
3. 代入计算：
将$2m - n = 3$代入$2^{2m-n}$，得$2^3=8$。
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方；整体代入求值
【点评】本题综合考查幂的运算性质与二元一次方程组的应用，解题关键是灵活运用整体思想，通过对方程组的变形凑出已知的$x+y$整体，大幅简化计算过程，避免了单独求解未知数的繁琐。
【难度系数】0.7
首先将所求代数式$4^m ÷ 2^n$利用幂的运算性质转化为同底数幂的形式，可得$2^{2m-n}$，因此解题核心是求出$2m-n$的值。观察给出的二元一次方程组，将两个方程作差即可凑出$x+y$的整体结构，结合已知条件$x+y=1$，无需单独求解$x,y$就能直接算出$2m-n$的值，符合题目提示的整体思想。
【解析】
1. 化简所求代数式：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，得$4^m=(2^2)^m=2^{2m}$；
再根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$，可得：
$4^m ÷ 2^n = 2^{2m} ÷ 2^n = 2^{2m-n}$。
2. 求$2m-n$的值：
记方程组为$\begin{cases}3x + y = 2m - 1&① \\x - y = n&②\end{cases}$，
用①式减去②式，左右两边分别相减：
$(3x + y) - (x - y) = (2m - 1) - n$
化简左边：$3x + y - x + y = 2x + 2y = 2(x + y)$，
已知$x + y = 1$，代入左边得$2×1=2$，
因此有$2 = 2m - 1 - n$，移项整理得$2m - n = 3$。
3. 代入计算：
将$2m - n = 3$代入$2^{2m-n}$，得$2^3=8$。
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方；整体代入求值
【点评】本题综合考查幂的运算性质与二元一次方程组的应用，解题关键是灵活运用整体思想，通过对方程组的变形凑出已知的$x+y$整体，大幅简化计算过程，避免了单独求解未知数的繁琐。
【难度系数】0.7
