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7.【综合与实践】阅读下面材料，完成相应任务。
利用二次函数的图象求方程$x^2 + x - 1 = 0$的近似解。
解:设$y = x^2 + x - 1$，则方程$x^2 + x - 1 = 0$的解就是该函数图象与$x$轴交点的横坐标。在平面直角坐标系中画出函数$y = x^2 + x - 1$的图象，它与$x$轴的交点为$A,B$，则点$A,B$的横坐标$x_1,x_2$就是方程的解。观察图象得到$x_1≈0.6,x_2≈-1.6$，所以方程$x^2 + x - 1 = 0$的近似解为$x_1 = 0.6,x_2 = -1.6$。
(1)在上述求解过程中，主要体现的数学思想是
A. 数形结合思想
B. 分类讨论思想
C. 统计思想
D. 转化思想
(2)填表并判断:方程$3x^2 - x - 1 = 0$的解$x_1,x_2(x_1 ＜ x_2)$分别在哪两个相邻的整数之间?
(3)若抛物线$y = ax^2 + bx + 2$的开口向下，试判断方程$ax^2 + bx = -2$根的情况。
利用二次函数的图象求方程$x^2 + x - 1 = 0$的近似解。
解:设$y = x^2 + x - 1$，则方程$x^2 + x - 1 = 0$的解就是该函数图象与$x$轴交点的横坐标。在平面直角坐标系中画出函数$y = x^2 + x - 1$的图象，它与$x$轴的交点为$A,B$，则点$A,B$的横坐标$x_1,x_2$就是方程的解。观察图象得到$x_1≈0.6,x_2≈-1.6$，所以方程$x^2 + x - 1 = 0$的近似解为$x_1 = 0.6,x_2 = -1.6$。
(1)在上述求解过程中，主要体现的数学思想是
AD
。(从以下选项中选2个)A. 数形结合思想
B. 分类讨论思想
C. 统计思想
D. 转化思想
(2)填表并判断:方程$3x^2 - x - 1 = 0$的解$x_1,x_2(x_1 ＜ x_2)$分别在哪两个相邻的整数之间?
(3)若抛物线$y = ax^2 + bx + 2$的开口向下，试判断方程$ax^2 + bx = -2$根的情况。
答案
7.(1)AD
(2)解:填表如下：
| $x$ 的值 | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $3x^2-x-1$ 的值 | $13$ | $3$ | $-1$ | $1$ |
根据上表得 $-1＜x_1＜0,0＜x_2＜1$。
(3)解: $\because y=ax^2+bx+2$，
∴当 $x=0$ 时,$y=2$。
∵抛物线的开口向下，
∴方程 $ax^2+bx+2=0$ 有两个不相等的实数根，
∴方程 $ax^2+bx=-2$ 有两个不相等的实数根。
(2)解:填表如下：
| $x$ 的值 | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $3x^2-x-1$ 的值 | $13$ | $3$ | $-1$ | $1$ |
根据上表得 $-1＜x_1＜0,0＜x_2＜1$。
(3)解: $\because y=ax^2+bx+2$，
∴当 $x=0$ 时,$y=2$。
∵抛物线的开口向下，
∴方程 $ax^2+bx+2=0$ 有两个不相等的实数根，
∴方程 $ax^2+bx=-2$ 有两个不相等的实数根。
解析
【分析】
(1) 求解时先将一元二次方程的解转化为对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，属于将解方程问题转化为函数图象问题的转化思想；再通过观察函数图象（形）得到方程解（数）的近似值，属于数形结合思想，因此选AD。
(2) 要判断方程根所在的整数区间，先计算给定x值对应的代数式$3x^2-x-1$的值，根据二次函数的连续性，相邻两个整数对应的函数值一正一负时，该区间内存在方程的根。
(3) 先将方程$ax^2+bx=-2$变形为$ax^2+bx+2=0$，对应抛物线为$y=ax^2+bx+2$，结合抛物线过点$(0,2)$且开口向下的性质，可判断抛物线与x轴的交点个数，即可得方程根的情况。
【解析】
(1) 解题过程将方程解的问题转化为二次函数与x轴交点横坐标问题，体现转化思想；结合函数图象求解方程的解，体现数形结合思想，故选AD。
(2) 计算各x对应的$3x^2-x-1$的值：
当$x=-2$时，$3×(-2)^2 - (-2) -1=13$；
当$x=-1$时，$3×(-1)^2 - (-1) -1=3$；
当$x=0$时，$3×0^2 - 0 -1=-1$；
当$x=1$时，$3×1^2 - 1 -1=1$。
填表如下：
| $x$ 的值 | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $3x^2-x-1$ 的值 | $13$ | $3$ | $-1$ | $1$ |
观察表格可知，$x=-1$时函数值为正，$x=0$时函数值为负，因此$-1＜x_1＜0$；$x=0$时函数值为负，$x=1$时函数值为正，因此$0＜x_2＜1$。
(3) 将方程$ax^2+bx=-2$移项得$ax^2+bx+2=0$，其根对应抛物线$y=ax^2+bx+2$与x轴交点的横坐标。
当$x=0$时，$y=2$，即抛物线过点$(0,2)$；又因为抛物线开口向下，所以抛物线必然与x轴有两个不同的交点，因此方程$ax^2+bx+2=0$有两个不相等的实数根，即方程$ax^2+bx=-2$有两个不相等的实数根。
【答案】
(1)$\boldsymbol{AD}$
(2)填表如上，方程的解所在区间为$\boldsymbol{-1＜x_1＜0,0＜x_2＜1}$
(3)方程$ax^2+bx=-2$有$\boldsymbol{两个不相等的实数根}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、数形结合思想、方程根的判定
【点评】
本题围绕二次函数与一元二次方程的关联设置问题，既考查了数学思想的识别，又考查了利用函数值符号判断根的区间、结合抛物线性质判断根的情况的能力，侧重对基础方法的理解与应用。
【难度系数】
0.7
(1) 求解时先将一元二次方程的解转化为对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，属于将解方程问题转化为函数图象问题的转化思想；再通过观察函数图象（形）得到方程解（数）的近似值，属于数形结合思想，因此选AD。
(2) 要判断方程根所在的整数区间，先计算给定x值对应的代数式$3x^2-x-1$的值，根据二次函数的连续性，相邻两个整数对应的函数值一正一负时，该区间内存在方程的根。
(3) 先将方程$ax^2+bx=-2$变形为$ax^2+bx+2=0$，对应抛物线为$y=ax^2+bx+2$，结合抛物线过点$(0,2)$且开口向下的性质，可判断抛物线与x轴的交点个数，即可得方程根的情况。
【解析】
(1) 解题过程将方程解的问题转化为二次函数与x轴交点横坐标问题，体现转化思想；结合函数图象求解方程的解，体现数形结合思想，故选AD。
(2) 计算各x对应的$3x^2-x-1$的值：
当$x=-2$时，$3×(-2)^2 - (-2) -1=13$；
当$x=-1$时，$3×(-1)^2 - (-1) -1=3$；
当$x=0$时，$3×0^2 - 0 -1=-1$；
当$x=1$时，$3×1^2 - 1 -1=1$。
填表如下：
| $x$ 的值 | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $3x^2-x-1$ 的值 | $13$ | $3$ | $-1$ | $1$ |
观察表格可知，$x=-1$时函数值为正，$x=0$时函数值为负，因此$-1＜x_1＜0$；$x=0$时函数值为负，$x=1$时函数值为正，因此$0＜x_2＜1$。
(3) 将方程$ax^2+bx=-2$移项得$ax^2+bx+2=0$，其根对应抛物线$y=ax^2+bx+2$与x轴交点的横坐标。
当$x=0$时，$y=2$，即抛物线过点$(0,2)$；又因为抛物线开口向下，所以抛物线必然与x轴有两个不同的交点，因此方程$ax^2+bx+2=0$有两个不相等的实数根，即方程$ax^2+bx=-2$有两个不相等的实数根。
【答案】
(1)$\boldsymbol{AD}$
(2)填表如上，方程的解所在区间为$\boldsymbol{-1＜x_1＜0,0＜x_2＜1}$
(3)方程$ax^2+bx=-2$有$\boldsymbol{两个不相等的实数根}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、数形结合思想、方程根的判定
【点评】
本题围绕二次函数与一元二次方程的关联设置问题，既考查了数学思想的识别，又考查了利用函数值符号判断根的区间、结合抛物线性质判断根的情况的能力，侧重对基础方法的理解与应用。
【难度系数】
0.7
