15. 如图，已知点M是定长线段AB上一定点，C，D两点分别从M，B出发以1 cm/s，3 cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)。
(1)若AB=11 cm，当点C，D运动了1 s，求AC+MD的值。
(2)若点C，D运动时，总有MD=3AC，求AM：BM的值。
(3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN−BN=MN，直接写出$\frac{2MN}{3AB}$的值。

15. (1)当点C，D运动了1 s时，$CM=1$ cm，$BD=3$ cm. 因为$AB=11$ cm，所以$AC+MD=AB−CM−BD=7$ cm. (2)设运动时间为t，则$CM=t$，$BD=3t$. 因为$AC=AM−t$，$MD=BM−3t$，又$MD=3AC$，所以$BM−3t=3AM−3t$，即$BM=3AM$，所以$AM:BM=1:3$. (3)由(2)可得$BM=3AM$. 因为$BM=AB−AM$，所以$AB−AM=3AM$，所以$4AM=AB$. 当点N在线段AB上时，，因为$AN−BN=MN$，$AN−AM=MN$，所以$BN=AM=\frac{1}{4}AB$，所以$MN=\frac{1}{2}AB$，即$\frac{2MN}{3AB}=\frac{1}{3}$. 当点N在线段AB的延长线上时，，因为$AN−BN=MN$，$AN−AM=MN$，所以$MN=AB$，所以$\frac{MN}{AB}=1$，即$\frac{2MN}{3AB}=\frac{2}{3}$. 综上所述，$\frac{2MN}{3AB}$的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$.

【分析】
(1) 先根据运动速度和时间计算出CM、BD的长度，再观察线段的组成关系，AC+MD可转化为总长度AB减去CM和BD的长度，代入数值即可求解。
(2) 设运动时间为t，用含t的代数式分别表示AC和MD的长度，结合MD=3AC的等量关系化简，消去t后就能得到AM和BM的数量关系，进而求出比值。
(3) 先根据(2)的结论推出AM与AB的关系，再分两种情况讨论点N的位置：N在线段AB上、N在线段AB的延长线上，结合AN−BN=MN的条件分别推导MN和AB的数量关系，计算目标式的值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 当点C，D运动了1 s时，根据运动速度可得：$CM=1×1=1$ cm，$BD=3×1=3$ cm。
已知$AB=11$ cm，由线段和差关系可得：
$AC+MD=AB - CM - BD=11 - 1 - 3=7$ cm。
(2) 设C、D的运动时间为t s，则$CM=t$ cm，$BD=3t$ cm。
由C在线段AM上得$AC=AM - t$，D在线段BM上得$MD=BM - 3t$。
因为$MD=3AC$，代入得：
$BM - 3t=3(AM - t)$
化简后得$BM=3AM$，因此$AM:BM=1:3$。
(3) 由(2)得$BM=3AM$，又$BM=AB - AM$，代入得$AB - AM=3AM$，即$AM=\frac{1}{4}AB$。
分两种情况讨论：
① 当点N在线段AB上时，，
因为$AN - BN=MN$，且$AN - AM=MN$，所以$BN=AM=\frac{1}{4}AB$，
此时$MN=AB - AM - BN=\frac{1}{2}AB$，代入得$\frac{2MN}{3AB}=\frac{2×\frac{1}{2}AB}{3AB}=\frac{1}{3}$。
② 当点N在线段AB的延长线上时，，
因为$AN - BN=MN$，且$AN - BN=AB$，所以$MN=AB$，
代入得$\frac{2MN}{3AB}=\frac{2AB}{3AB}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$；
(2) $\boldsymbol{1:3}$；
(3) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$或$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$。
【知识点】
线段和差计算、线段动点问题、分类讨论思想
【点评】
本题综合考察线段的和差与动点问题，前两问核心是用运动时间表示线段长度，结合等量关系推导线段比例，第三问需要对动点位置分类讨论，避免漏解，能够有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6