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科技前沿·人工智能 项目背景:人工智能的发展为人们的生活与学习带来了诸多便利,初中生也能借助人工智能提升学习效率.为此,综合实践小组的同学们围绕“依托人工智能平台的自主高效学习”开展了项目学习活动,形成了如下活动报告.
| 项目主题 | 依托人工智能平台的自主高效学习 |
| --- | --- |
| 活动内容 | 选择人工智能平台,开展以问题驱动为核心的高效学习 |
| 活动过程 | 活动1:选择人工智能平台 | 小组成员通过网络调研,对比了市面上多款主流的人工智能学习平台.经过对功能丰富度、易用性及市场热度等方面的综合考量,最终选择了一款人工智能平台.在搜集该平台的背景资料时,小组成员发现其用户增长势头强劲:据统计,该平台发布首日,在某下载市场下载量为 100 万次,且第二、三天连续增长,至第三天下载量达到 121 万次.鉴于其强大的市场影响力和活跃的用户基础,小组成员最终确定使用该平台进行后续的自主高效学习 |
| | 活动2:向人工智能平台提出问题 | 向平台提出的首个问题:如图,把一根长 32 cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,问这两个正方形的面积之和能否等于 $30\ \mathrm{cm}^2$
|
| | 平台回复的结果:…… |
| 交流展示 | …… |
请根据上面的活动报告,解答下列问题:
(1)求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率.
(2)请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”,并说明理由.
| 项目主题 | 依托人工智能平台的自主高效学习 |
| --- | --- |
| 活动内容 | 选择人工智能平台,开展以问题驱动为核心的高效学习 |
| 活动过程 | 活动1:选择人工智能平台 | 小组成员通过网络调研,对比了市面上多款主流的人工智能学习平台.经过对功能丰富度、易用性及市场热度等方面的综合考量,最终选择了一款人工智能平台.在搜集该平台的背景资料时,小组成员发现其用户增长势头强劲:据统计,该平台发布首日,在某下载市场下载量为 100 万次,且第二、三天连续增长,至第三天下载量达到 121 万次.鉴于其强大的市场影响力和活跃的用户基础,小组成员最终确定使用该平台进行后续的自主高效学习 |
| | 活动2:向人工智能平台提出问题 | 向平台提出的首个问题:如图,把一根长 32 cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,问这两个正方形的面积之和能否等于 $30\ \mathrm{cm}^2$
|| | 平台回复的结果:…… |
| 交流展示 | …… |
请根据上面的活动报告,解答下列问题:
(1)求所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率.
(2)请猜想人工智能平台回复的结果是“能”还是“不能”,并说明理由.
答案
(1)设下载量的日平均增长率为 x. 根据题意,得 100(1+x)²=121,解得 x₁=0.1=10%,x₂=-2.1(不合题意,舍去).答:所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为 10%.
(2)猜想:人工智能平台回复的结果是“不能”.理由如下:设其中一段铁丝的长度为 y cm,则另一段铁丝的长度为(32-y)cm. 根据题意,得$(\frac{y}{4})^2 + (\frac{32-y}{4})^2=30$,即 y²-32y+272=0.
∵Δ=(-32)²-4×1×272=1024-1088=-64＜0,
∴原方程没有实数根.
∴这两个正方形的面积之和不能等于 30 cm².故人工智能平台回复的结果是“不能”.
(2)猜想:人工智能平台回复的结果是“不能”.理由如下:设其中一段铁丝的长度为 y cm,则另一段铁丝的长度为(32-y)cm. 根据题意,得$(\frac{y}{4})^2 + (\frac{32-y}{4})^2=30$,即 y²-32y+272=0.
∵Δ=(-32)²-4×1×272=1024-1088=-64＜0,
∴原方程没有实数根.
∴这两个正方形的面积之和不能等于 30 cm².故人工智能平台回复的结果是“不能”.
解析
【分析】
(1) 第一问为增长率问题，解题思路是套用增长率通用公式：初始量×(1+日平均增长率)^增长次数=最终量。本题初始下载量为100万次，连续增长2次后最终下载量为121万次，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际意义的根。
(2) 第二问为存在性判断问题，先假设结论成立，设其中一段铁丝的长度为未知数，用总长表示出另一段的长度，再结合正方形周长与边长、边长与面积的关系，列出面积和等于30的方程，通过判断方程是否有正实数根，即可得出结论。
【解析】
(1) 设下载量的日平均增长率为$ x $。
根据题意列方程：
$ 100(1+x)^2=121 $
解得$ 1+x=\pm1.1 $，即$ x_1=0.1=10\% $，$ x_2=-2.1 $。
因为增长率不能为负数，所以$ x_2=-2.1 $不合题意，舍去。
(2) 猜想：人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下：
设其中一段铁丝的长度为$ y\ \mathrm{cm} $，则另一段铁丝的长度为$ (32-y)\ \mathrm{cm} $。
根据题意列面积和的方程：
$ (\frac{y}{4})^2 + (\frac{32-y}{4})^2=30 $
整理得：$ y^2-32y+272=0 $
计算根的判别式：$ \Delta=(-32)^2-4×1×272=1024-1088=-64＜0 $
因此原方程没有实数根，即不存在符合条件的剪法，两个正方形的面积之和不能等于$ 30\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
(1) 所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为10%；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用；增长率计算；根的判别式应用
【点评】
本题结合人工智能的热点背景设计问题，将数学知识与实际生活场景结合，既考查了一元二次方程的基础列解能力，又通过存在性判断考查了学生灵活运用根的判别式解决实际问题的能力，能有效引导学生建立用数学思维解决生活问题的意识。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问为增长率问题，解题思路是套用增长率通用公式：初始量×(1+日平均增长率)^增长次数=最终量。本题初始下载量为100万次，连续增长2次后最终下载量为121万次，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际意义的根。
(2) 第二问为存在性判断问题，先假设结论成立，设其中一段铁丝的长度为未知数，用总长表示出另一段的长度，再结合正方形周长与边长、边长与面积的关系，列出面积和等于30的方程，通过判断方程是否有正实数根，即可得出结论。
【解析】
(1) 设下载量的日平均增长率为$ x $。
根据题意列方程：
$ 100(1+x)^2=121 $
解得$ 1+x=\pm1.1 $，即$ x_1=0.1=10\% $，$ x_2=-2.1 $。
因为增长率不能为负数，所以$ x_2=-2.1 $不合题意，舍去。
(2) 猜想：人工智能平台回复的结果是“不能”，理由如下：
设其中一段铁丝的长度为$ y\ \mathrm{cm} $，则另一段铁丝的长度为$ (32-y)\ \mathrm{cm} $。
根据题意列面积和的方程：
$ (\frac{y}{4})^2 + (\frac{32-y}{4})^2=30 $
整理得：$ y^2-32y+272=0 $
计算根的判别式：$ \Delta=(-32)^2-4×1×272=1024-1088=-64＜0 $
因此原方程没有实数根，即不存在符合条件的剪法，两个正方形的面积之和不能等于$ 30\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
(1) 所使用平台刚发布后的前三天下载量的日平均增长率为10%；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用；增长率计算；根的判别式应用
【点评】
本题结合人工智能的热点背景设计问题，将数学知识与实际生活场景结合，既考查了一元二次方程的基础列解能力，又通过存在性判断考查了学生灵活运用根的判别式解决实际问题的能力，能有效引导学生建立用数学思维解决生活问题的意识。
【难度系数】
0.75
