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例 某环保组织开发了一个AI模型，用于识别不同树种的年龄(单位：年)。现已收集6种树木的年龄数据，并按从小到大的顺序排列：
5，8，12，15，18，35。
工程师需按照组内离差平方和最小的原则将树木分为幼树组和成树组两组。
(1)共有
(2)填写表格(保留整数)：
(3)对应分组：
幼树组：
成树组：
5，8，12，15，18，35。
工程师需按照组内离差平方和最小的原则将树木分为幼树组和成树组两组。
(1)共有
5
种分组方式。(2)填写表格(保留整数)：
(3)对应分组：
幼树组：
{5, 8, 12, 15, 18}
；成树组：
{35}
。答案
(1). 5
(2).
| 分组 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- |
| {5}, {8, 12, 15, 18, 35} | 433 |
| {5, 8}, {12, 15, 18, 35} | 323 |
| {5, 8, 12}, {15, 18, 35} | 257 |
| {5, 8, 12, 15}, {18, 35} | 203 |
| {5, 8, 12, 15, 18}, {35} | 109 |
(3). 幼树组：{5, 8, 12, 15, 18}，成树组：{35}
(2).
| 分组 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- |
| {5}, {8, 12, 15, 18, 35} | 433 |
| {5, 8}, {12, 15, 18, 35} | 323 |
| {5, 8, 12}, {15, 18, 35} | 257 |
| {5, 8, 12, 15}, {18, 35} | 203 |
| {5, 8, 12, 15, 18}, {35} | 109 |
(3). 幼树组：{5, 8, 12, 15, 18}，成树组：{35}
解析
【分析】
首先，题目要求将6个有序排列的数据分为两组，按组内离差平方和最小的原则分组。由于数据是从小到大排列的，分组只能是前k个数据为一组、后6−k个数据为另一组（k=1,2,3,4,5），因此共有5种分组方式。接下来需计算每种分组的组内离差平方和，组内离差平方和是每组中每个数据减去该组均值的平方和，比较所有结果后找到最小的对应分组即可。
【解析】
(1) 因数据有序，分组仅为前k个与后6−k个（k=1到5），故分组方式共5种。
(2) 计算每组的组内离差平方和：
① 分组{5}和{8,12,15,18,35}：
组1离差平方和：$(5-5)^2=0$；
组2均值：$\frac{8+12+15+18+35}{5}=17.6$，离差平方和：$(8-17.6)^2+(12-17.6)^2+(15-17.6)^2+(18-17.6)^2+(35-17.6)^2=433$；
总离差平方和：$0+433=433$。
② 分组{5,8}和{12,15,18,35}：
组1均值：$\frac{5+8}{2}=6.5$，离差平方和：$(5-6.5)^2+(8-6.5)^2=4.5$；
组2均值：$\frac{12+15+18+35}{4}=20$，离差平方和：$(12-20)^2+(15-20)^2+(18-20)^2+(35-20)^2=318$；
总离差平方和：$4.5+318=322.5≈323$。
③ 分组{5,8,12}和{15,18,35}：
组1均值：$\frac{5+8+12}{3}≈8.33$，离差平方和：$(5-8.33)^2+(8-8.33)^2+(12-8.33)^2≈24.67$；
组2均值：$\frac{15+18+35}{3}≈22.67$，离差平方和：$(15-22.67)^2+(18-22.67)^2+(35-22.67)^2≈232.67$；
总离差平方和：$24.67+232.67≈257.34≈257$。
④ 分组{5,8,12,15}和{18,35}：
组1均值：$\frac{5+8+12+15}{4}=10$，离差平方和：$(5-10)^2+(8-10)^2+(12-10)^2+(15-10)^2=58$；
组2均值：$\frac{18+35}{2}=26.5$，离差平方和：$(18-26.5)^2+(35-26.5)^2=144.5$；
总离差平方和：$58+144.5=202.5≈203$。
⑤ 分组{5,8,12,15,18}和{35}：
组1均值：$\frac{5+8+12+15+18}{5}=11.6$，离差平方和：$(5-11.6)^2+(8-11.6)^2+(12-11.6)^2+(15-11.6)^2+(18-11.6)^2=109$；
组2离差平方和：$(35-35)^2=0$；
总离差平方和：$109+0=109$。
(3) 比较5种分组的总离差平方和，最小的是109，对应分组为幼树组{5,8,12,15,18}，成树组{35}。
【答案】
(1) 5
(2)
| 分组 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- |
| {5}, {8,12,15,18,35} | 433 |
| {5,8}, {12,15,18,35} | 323 |
| {5,8,12}, {15,18,35} | 257 |
| {5,8,12,15}, {18,35} | 203 |
| {5,8,12,15,18}, {35} | 109 |
(3) 幼树组：{5,8,12,15,18}；成树组：{35}
【知识点】
数据分组、离差平方和、均值计算
【点评】
本题考查统计中数据分组的离差平方和计算，需明确有序数据的分组方式，掌握组内离差平方和的计算方法，通过比较找到最优分组，属于基础统计应用题目。
【难度系数】
0.5
首先，题目要求将6个有序排列的数据分为两组，按组内离差平方和最小的原则分组。由于数据是从小到大排列的，分组只能是前k个数据为一组、后6−k个数据为另一组（k=1,2,3,4,5），因此共有5种分组方式。接下来需计算每种分组的组内离差平方和，组内离差平方和是每组中每个数据减去该组均值的平方和，比较所有结果后找到最小的对应分组即可。
【解析】
(1) 因数据有序，分组仅为前k个与后6−k个（k=1到5），故分组方式共5种。
(2) 计算每组的组内离差平方和：
① 分组{5}和{8,12,15,18,35}：
组1离差平方和：$(5-5)^2=0$；
组2均值：$\frac{8+12+15+18+35}{5}=17.6$，离差平方和：$(8-17.6)^2+(12-17.6)^2+(15-17.6)^2+(18-17.6)^2+(35-17.6)^2=433$；
总离差平方和：$0+433=433$。
② 分组{5,8}和{12,15,18,35}：
组1均值：$\frac{5+8}{2}=6.5$，离差平方和：$(5-6.5)^2+(8-6.5)^2=4.5$；
组2均值：$\frac{12+15+18+35}{4}=20$，离差平方和：$(12-20)^2+(15-20)^2+(18-20)^2+(35-20)^2=318$；
总离差平方和：$4.5+318=322.5≈323$。
③ 分组{5,8,12}和{15,18,35}：
组1均值：$\frac{5+8+12}{3}≈8.33$，离差平方和：$(5-8.33)^2+(8-8.33)^2+(12-8.33)^2≈24.67$；
组2均值：$\frac{15+18+35}{3}≈22.67$，离差平方和：$(15-22.67)^2+(18-22.67)^2+(35-22.67)^2≈232.67$；
总离差平方和：$24.67+232.67≈257.34≈257$。
④ 分组{5,8,12,15}和{18,35}：
组1均值：$\frac{5+8+12+15}{4}=10$，离差平方和：$(5-10)^2+(8-10)^2+(12-10)^2+(15-10)^2=58$；
组2均值：$\frac{18+35}{2}=26.5$，离差平方和：$(18-26.5)^2+(35-26.5)^2=144.5$；
总离差平方和：$58+144.5=202.5≈203$。
⑤ 分组{5,8,12,15,18}和{35}：
组1均值：$\frac{5+8+12+15+18}{5}=11.6$，离差平方和：$(5-11.6)^2+(8-11.6)^2+(12-11.6)^2+(15-11.6)^2+(18-11.6)^2=109$；
组2离差平方和：$(35-35)^2=0$；
总离差平方和：$109+0=109$。
(3) 比较5种分组的总离差平方和，最小的是109，对应分组为幼树组{5,8,12,15,18}，成树组{35}。
【答案】
(1) 5
(2)
| 分组 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- |
| {5}, {8,12,15,18,35} | 433 |
| {5,8}, {12,15,18,35} | 323 |
| {5,8,12}, {15,18,35} | 257 |
| {5,8,12,15}, {18,35} | 203 |
| {5,8,12,15,18}, {35} | 109 |
(3) 幼树组：{5,8,12,15,18}；成树组：{35}
【知识点】
数据分组、离差平方和、均值计算
【点评】
本题考查统计中数据分组的离差平方和计算，需明确有序数据的分组方式，掌握组内离差平方和的计算方法，通过比较找到最优分组，属于基础统计应用题目。
【难度系数】
0.5
把数据3，8，11，4，13按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（
A.$\{3\}$，$\{4,8,11,13\}$
B.$\{3,4\}$，$\{8,11,13\}$
C.$\{3,4,8\}$，$\{11,13\}$
D.$\{3,4,8,11\}$，$\{13\}$
B
）A.$\{3\}$，$\{4,8,11,13\}$
B.$\{3,4\}$，$\{8,11,13\}$
C.$\{3,4,8\}$，$\{11,13\}$
D.$\{3,4,8,11\}$，$\{13\}$
答案
B
解析
【分析】
要解决该问题，需明确组内离差平方和的定义：每组数据的离差平方和是组内各数据与组均值差值的平方和，总离差平方和为两组离差平方和之和。解题思路是依次计算每个选项对应的两组数据的总离差平方和，比较后选择总离差平方和最小的选项。
【解析】
分别计算各选项的总离差平方和：
1. 选项A：分组为$\{3\}$、$\{4,8,11,13\}$
第一组仅1个数据，离差平方和为0；
第二组均值：$\frac{4+8+11+13}{4}=9$，离差平方和=$(4-9)^2+(8-9)^2+(11-9)^2+(13-9)^2=25+1+4+16=46$；
总离差平方和：$0+46=46$。
2. 选项B：分组为$\{3,4\}$、$\{8,11,13\}$
第一组均值：$\frac{3+4}{2}=3.5$，离差平方和=$(3-3.5)^2+(4-3.5)^2=0.25+0.25=0.5$；
第二组均值：$\frac{8+11+13}{3}=\frac{32}{3}$，离差平方和=$(8-\frac{32}{3})^2+(11-\frac{32}{3})^2+(13-\frac{32}{3})^2=\frac{64+1+49}{9}\approx12.67$；
总离差平方和：$0.5+\frac{114}{9}\approx13.17$。
3. 选项C：分组为$\{3,4,8\}$、$\{11,13\}$
第一组均值：$\frac{3+4+8}{3}=5$，离差平方和=$(3-5)^2+(4-5)^2+(8-5)^2=4+1+9=14$；
第二组均值：$\frac{11+13}{2}=12$，离差平方和=$(11-12)^2+(13-12)^2=1+1=2$；
总离差平方和：$14+2=16$。
4. 选项D：分组为$\{3,4,8,11\}$、$\{13\}$
第一组均值：$\frac{3+4+8+11}{4}=6.5$，离差平方和=$(3-6.5)^2+(4-6.5)^2+(8-6.5)^2+(11-6.5)^2=12.25+6.25+2.25+20.25=41$；
第二组仅1个数据，离差平方和为0；
总离差平方和：$41+0=41$。
对比四个总离差平方和：$13.17＜16＜41＜46$，故选项B的总离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和，数据分组
【点评】
本题考查离差平方和的计算与应用，核心是准确计算每组的离差平方和并求和，通过对比得出结果，需注意计算时的数值准确性。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需明确组内离差平方和的定义：每组数据的离差平方和是组内各数据与组均值差值的平方和，总离差平方和为两组离差平方和之和。解题思路是依次计算每个选项对应的两组数据的总离差平方和，比较后选择总离差平方和最小的选项。
【解析】
分别计算各选项的总离差平方和：
1. 选项A：分组为$\{3\}$、$\{4,8,11,13\}$
第一组仅1个数据，离差平方和为0；
第二组均值：$\frac{4+8+11+13}{4}=9$，离差平方和=$(4-9)^2+(8-9)^2+(11-9)^2+(13-9)^2=25+1+4+16=46$；
总离差平方和：$0+46=46$。
2. 选项B：分组为$\{3,4\}$、$\{8,11,13\}$
第一组均值：$\frac{3+4}{2}=3.5$，离差平方和=$(3-3.5)^2+(4-3.5)^2=0.25+0.25=0.5$；
第二组均值：$\frac{8+11+13}{3}=\frac{32}{3}$，离差平方和=$(8-\frac{32}{3})^2+(11-\frac{32}{3})^2+(13-\frac{32}{3})^2=\frac{64+1+49}{9}\approx12.67$；
总离差平方和：$0.5+\frac{114}{9}\approx13.17$。
3. 选项C：分组为$\{3,4,8\}$、$\{11,13\}$
第一组均值：$\frac{3+4+8}{3}=5$，离差平方和=$(3-5)^2+(4-5)^2+(8-5)^2=4+1+9=14$；
第二组均值：$\frac{11+13}{2}=12$，离差平方和=$(11-12)^2+(13-12)^2=1+1=2$；
总离差平方和：$14+2=16$。
4. 选项D：分组为$\{3,4,8,11\}$、$\{13\}$
第一组均值：$\frac{3+4+8+11}{4}=6.5$，离差平方和=$(3-6.5)^2+(4-6.5)^2+(8-6.5)^2+(11-6.5)^2=12.25+6.25+2.25+20.25=41$；
第二组仅1个数据，离差平方和为0；
总离差平方和：$41+0=41$。
对比四个总离差平方和：$13.17＜16＜41＜46$，故选项B的总离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和，数据分组
【点评】
本题考查离差平方和的计算与应用，核心是准确计算每组的离差平方和并求和，通过对比得出结果，需注意计算时的数值准确性。
【难度系数】
0.6
任务二 利用统计数据作决策
阅读材料，完成下列探究。
我们已经学过用方差来描述一组数据的离散程度，其实我们还可以用“平均差”来描述一组数据的离散程度。在一组数据$x_1$，$x_2$，…，$x_n$中，各数据与它们的平均数$\bar{x}$的差的绝对值的平均数，即$T=\frac{1}{n}(|x_1 - \bar{x}| + |x_2 - \bar{x}| + \dots + |x_n - \bar{x}|)$叫作这组数据的“平均差”。“平均差”也能描述一组数据的离散程度。
探究1：分别计算下列甲、乙两个样本数据的“平均差”，并根据计算结果判断哪个样本波动较大。
甲：12，13，11，10，14。
乙：10，17，10，13，10。
探究2：分别计算甲、乙两个样本数据的方差和标准差，并根据计算结果判断哪个样本波动较大。
探究3：以上两种方法判断的结果是否一致？
阅读材料，完成下列探究。
我们已经学过用方差来描述一组数据的离散程度，其实我们还可以用“平均差”来描述一组数据的离散程度。在一组数据$x_1$，$x_2$，…，$x_n$中，各数据与它们的平均数$\bar{x}$的差的绝对值的平均数，即$T=\frac{1}{n}(|x_1 - \bar{x}| + |x_2 - \bar{x}| + \dots + |x_n - \bar{x}|)$叫作这组数据的“平均差”。“平均差”也能描述一组数据的离散程度。
探究1：分别计算下列甲、乙两个样本数据的“平均差”，并根据计算结果判断哪个样本波动较大。
甲：12，13，11，10，14。
乙：10，17，10，13，10。
探究2：分别计算甲、乙两个样本数据的方差和标准差，并根据计算结果判断哪个样本波动较大。
探究3：以上两种方法判断的结果是否一致？
答案
探究1 解：甲的平均差为1.2，乙的平均差为2.4，
∴乙样本波动较大。
探究2 解：甲的方差为2，标准差为$\sqrt{2}$，乙的方差为$\frac{38}{5}$，标准差为$\frac{\sqrt{190}}{5}$，
∴乙样本波动较大。
探究3 解：以上两种方法判断的结果一致。
∴乙样本波动较大。
探究2 解：甲的方差为2，标准差为$\sqrt{2}$，乙的方差为$\frac{38}{5}$，标准差为$\frac{\sqrt{190}}{5}$，
∴乙样本波动较大。
探究3 解：以上两种方法判断的结果一致。
解析
【分析】
要解决本题，需分三个探究逐步推进：
1. 探究1：先计算甲、乙两组数据的平均数，再依据平均差公式（各数据与平均数差的绝对值的平均数）计算两组平均差，平均差越大，数据波动越大，据此判断波动情况；
2. 探究2：根据方差公式（各数据与平均数差的平方和除以数据个数）计算两组方差，标准差为方差的算术平方根，方差或标准差越大，数据波动越大，据此判断波动情况；
3. 探究3：对比探究1和探究2的判断结果，确定是否一致。
【解析】
探究1：计算平均差并判断波动
甲样本数据：12，13，11，10，14
甲的平均数$\bar{x}_甲=\frac{12+13+11+10+14}{5}=12$
甲的平均差$T_甲=\frac{1}{5}(|12-12|+|13-12|+|11-12|+|10-12|+|14-12|)=\frac{0+1+1+2+2}{5}=1.2$
乙样本数据：10，17，10，13，10
乙的平均数$\bar{x}_乙=\frac{10+17+10+13+10}{5}=12$
乙的平均差$T_乙=\frac{1}{5}(|10-12|+|17-12|+|10-12|+|13-12|+|10-12|)=\frac{2+5+2+1+2}{5}=2.4$
因为$2.4＞1.2$，所以乙样本波动较大。
探究2：计算方差和标准差并判断波动
甲样本的方差$s_甲^2=\frac{1}{5}[(12-12)^2+(13-12)^2+(11-12)^2+(10-12)^2+(14-12)^2]=\frac{0+1+1+4+4}{5}=2$
甲的标准差$s_甲=\sqrt{2}$
乙样本的方差$s_乙^2=\frac{1}{5}[(10-12)^2+(17-12)^2+(10-12)^2+(13-12)^2+(10-12)^2]=\frac{4+25+4+1+4}{5}=\frac{38}{5}$
乙的标准差$s_乙=\sqrt{\frac{38}{5}}=\frac{\sqrt{190}}{5}$
因为$\frac{38}{5}＞2$，所以乙样本波动较大。
探究3：判断结果是否一致
探究1和探究2均得出乙样本波动较大的结论，因此两种方法判断的结果一致。
【答案】
探究1：甲的平均差为1.2，乙的平均差为2.4，乙样本波动较大；探究2：甲的方差为2，标准差为$\sqrt{2}$，乙的方差为$\frac{38}{5}$，标准差为$\frac{\sqrt{190}}{5}$，乙样本波动较大；探究3：两种方法判断的结果一致。
【知识点】
平均差、方差、标准差
【点评】
本题考查描述数据离散程度的统计量（平均差、方差、标准差）的计算与应用，核心是掌握各统计量的公式及意义，通过两种方法对比，加深对数据波动程度判断的理解，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需分三个探究逐步推进：
1. 探究1：先计算甲、乙两组数据的平均数，再依据平均差公式（各数据与平均数差的绝对值的平均数）计算两组平均差，平均差越大，数据波动越大，据此判断波动情况；
2. 探究2：根据方差公式（各数据与平均数差的平方和除以数据个数）计算两组方差，标准差为方差的算术平方根，方差或标准差越大，数据波动越大，据此判断波动情况；
3. 探究3：对比探究1和探究2的判断结果，确定是否一致。
【解析】
探究1：计算平均差并判断波动
甲样本数据：12，13，11，10，14
甲的平均数$\bar{x}_甲=\frac{12+13+11+10+14}{5}=12$
甲的平均差$T_甲=\frac{1}{5}(|12-12|+|13-12|+|11-12|+|10-12|+|14-12|)=\frac{0+1+1+2+2}{5}=1.2$
乙样本数据：10，17，10，13，10
乙的平均数$\bar{x}_乙=\frac{10+17+10+13+10}{5}=12$
乙的平均差$T_乙=\frac{1}{5}(|10-12|+|17-12|+|10-12|+|13-12|+|10-12|)=\frac{2+5+2+1+2}{5}=2.4$
因为$2.4＞1.2$，所以乙样本波动较大。
探究2：计算方差和标准差并判断波动
甲样本的方差$s_甲^2=\frac{1}{5}[(12-12)^2+(13-12)^2+(11-12)^2+(10-12)^2+(14-12)^2]=\frac{0+1+1+4+4}{5}=2$
甲的标准差$s_甲=\sqrt{2}$
乙样本的方差$s_乙^2=\frac{1}{5}[(10-12)^2+(17-12)^2+(10-12)^2+(13-12)^2+(10-12)^2]=\frac{4+25+4+1+4}{5}=\frac{38}{5}$
乙的标准差$s_乙=\sqrt{\frac{38}{5}}=\frac{\sqrt{190}}{5}$
因为$\frac{38}{5}＞2$，所以乙样本波动较大。
探究3：判断结果是否一致
探究1和探究2均得出乙样本波动较大的结论，因此两种方法判断的结果一致。
【答案】
探究1：甲的平均差为1.2，乙的平均差为2.4，乙样本波动较大；探究2：甲的方差为2，标准差为$\sqrt{2}$，乙的方差为$\frac{38}{5}$，标准差为$\frac{\sqrt{190}}{5}$，乙样本波动较大；探究3：两种方法判断的结果一致。
【知识点】
平均差、方差、标准差
【点评】
本题考查描述数据离散程度的统计量（平均差、方差、标准差）的计算与应用，核心是掌握各统计量的公式及意义，通过两种方法对比，加深对数据波动程度判断的理解，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.8
