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1. 下列等式变形错误的是（
A.由$a=b$得$a+1=b+1$
B.由$a=b$得$5a=5b$
C.由$x+3=y+3$得$x=y$
D.由$x÷2=2÷y$得$x=y$
D
）A.由$a=b$得$a+1=b+1$
B.由$a=b$得$5a=5b$
C.由$x+3=y+3$得$x=y$
D.由$x÷2=2÷y$得$x=y$
答案
D
解析
【分析】
本题考查等式性质的应用，解题核心是熟练掌握等式的两条基本性质，逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，就能找出变形错误的选项。等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
【解析】
我们根据等式的性质逐个分析选项：
A. 已知$a=b$，等式两边同时加1，符合等式性质1，可得$a+1=b+1$，变形正确；
B. 已知$a=b$，等式两边同时乘5，符合等式性质2，可得$5a=5b$，变形正确；
C. 已知$x+3=y+3$，等式两边同时减3，符合等式性质1，可得$x=y$，变形正确；
D. 已知$x÷2=2÷ y$，即$\frac{x}{2}=\frac{2}{y}$，交叉相乘可得$xy=4$，无法直接推出$x=y$，例如$x=1、y=4$时等式也成立，此时$x≠ y$，变形错误。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等式性质的理解和运用，做题时要注意明确等式两边的运算对象，避免随意推导变形。
【难度系数】
0.8
本题考查等式性质的应用，解题核心是熟练掌握等式的两条基本性质，逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求，就能找出变形错误的选项。等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
【解析】
我们根据等式的性质逐个分析选项：
A. 已知$a=b$，等式两边同时加1，符合等式性质1，可得$a+1=b+1$，变形正确；
B. 已知$a=b$，等式两边同时乘5，符合等式性质2，可得$5a=5b$，变形正确；
C. 已知$x+3=y+3$，等式两边同时减3，符合等式性质1，可得$x=y$，变形正确；
D. 已知$x÷2=2÷ y$，即$\frac{x}{2}=\frac{2}{y}$，交叉相乘可得$xy=4$，无法直接推出$x=y$，例如$x=1、y=4$时等式也成立，此时$x≠ y$，变形错误。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等式性质的理解和运用，做题时要注意明确等式两边的运算对象，避免随意推导变形。
【难度系数】
0.8
2. 解方程$-\frac{1}{2}x=2$时，要想得到$x=m$(常数)的形式，方程两边应同时（
A.乘-2
B.乘$-\frac{1}{2}$
C.除以2
D.除以$\frac{1}{2}$
A
）A.乘-2
B.乘$-\frac{1}{2}$
C.除以2
D.除以$\frac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
这道题考查利用等式的性质将一元一次方程系数化为1的方法。解题思路为：我们的目标是把方程左边$x$的系数$-\frac{1}{2}$转化为1，根据等式的性质，给系数乘它的倒数即可得到1，$-\frac{1}{2}$的倒数是-2，因此只需给方程两边同时乘-2，就能得到$x=m$的形式，再对应选项判断即可。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
当前方程为$-\frac{1}{2}x=2$，要将$x$的系数化为1，需要给方程两边同时乘$-\frac{1}{2}$的倒数-2：
左边：$-\frac{1}{2}x × (-2) = x$
右边：$2 × (-2) = -4$
即可得到$x=-4$的形式。
逐一核对选项：
A选项符合操作要求；
B选项乘$-\frac{1}{2}$后左边系数变为$\frac{1}{4}$，无法得到$x$，错误；
C选项除以2等价于乘$\frac{1}{2}$，左边系数变为$-\frac{1}{4}$，错误；
D选项除以$\frac{1}{2}$等价于乘2，左边系数变为-1，无法直接得到$x$，错误。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；一元一次方程系数化1
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，是解一元一次方程的核心基础步骤，解题时要注意系数的符号，避免漏乘负号出错。
【难度系数】
0.9
这道题考查利用等式的性质将一元一次方程系数化为1的方法。解题思路为：我们的目标是把方程左边$x$的系数$-\frac{1}{2}$转化为1，根据等式的性质，给系数乘它的倒数即可得到1，$-\frac{1}{2}$的倒数是-2，因此只需给方程两边同时乘-2，就能得到$x=m$的形式，再对应选项判断即可。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
当前方程为$-\frac{1}{2}x=2$，要将$x$的系数化为1，需要给方程两边同时乘$-\frac{1}{2}$的倒数-2：
左边：$-\frac{1}{2}x × (-2) = x$
右边：$2 × (-2) = -4$
即可得到$x=-4$的形式。
逐一核对选项：
A选项符合操作要求；
B选项乘$-\frac{1}{2}$后左边系数变为$\frac{1}{4}$，无法得到$x$，错误；
C选项除以2等价于乘$\frac{1}{2}$，左边系数变为$-\frac{1}{4}$，错误；
D选项除以$\frac{1}{2}$等价于乘2，左边系数变为-1，无法直接得到$x$，错误。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；一元一次方程系数化1
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，是解一元一次方程的核心基础步骤，解题时要注意系数的符号，避免漏乘负号出错。
【难度系数】
0.9
3. 关于x的一元一次方程$2x + m = 5$的解为$x=1$,则$m$的值为 (
A.3
B.-3
C.7
D.-7
A
)A.3
B.-3
C.7
D.-7
答案
A
解析
【分析】
根据一元一次方程解的定义，方程的解代入原方程可使等式左右两边相等，因此我们只需把x=1代入给定的方程，就能得到仅含未知数m的一元一次方程，再利用等式的性质求解即可得到m的值。
【解析】
解：
∵x=1是方程$2x + m = 5$的解
∴将$x=1$代入原方程，可得：
$2×1 + m = 5$
化简得：$2 + m = 5$
根据等式的性质，等式两边同时减2，得：
$m = 5 - 2$
解得$m=3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解；等式的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查方程解的应用，解题的关键是将已知的方程解代入原式，转化为求参数的简易方程，计算量小，掌握相关概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
根据一元一次方程解的定义，方程的解代入原方程可使等式左右两边相等，因此我们只需把x=1代入给定的方程，就能得到仅含未知数m的一元一次方程，再利用等式的性质求解即可得到m的值。
【解析】
解：
∵x=1是方程$2x + m = 5$的解
∴将$x=1$代入原方程，可得：
$2×1 + m = 5$
化简得：$2 + m = 5$
根据等式的性质，等式两边同时减2，得：
$m = 5 - 2$
解得$m=3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解；等式的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查方程解的应用，解题的关键是将已知的方程解代入原式，转化为求参数的简易方程，计算量小，掌握相关概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
4. 小明学习等式的性质后,对等式$5m-2=3m-2$进行变形,得出“5=3”的错误结论.小明同学将等式进行变形的具体过程如下:
(1)哪一步变形产生了错误?
(2)请你分析产生错误的原因.
(1)哪一步变形产生了错误?
(2)请你分析产生错误的原因.
答案
(1)第②步变形产生了错误；
(2)等式的两边只有除以同一个不为0的数,得到的等式才能成立. 小明在不确定$m$是不是0的情况下,把方程两边除以$m$而导致出错. (说法不唯一,合理即可)
(2)等式的两边只有除以同一个不为0的数,得到的等式才能成立. 小明在不确定$m$是不是0的情况下,把方程两边除以$m$而导致出错. (说法不唯一,合理即可)
解析
【分析】
解决本题需要结合等式的性质判断每一步变形是否合法：首先回忆等式的性质内容，等式两边加/减同一个数（或式子）、乘同一个数、除以同一个不为0的数，等式才仍然成立。第一步变形是给原等式两边同时加2，符合等式性质1，是正确的；第二步变形是给$5m=3m$两边同时除以$m$得到$5=3$，此时需要考虑除数$m$是否为0，由此可判断错误步骤并分析错误原因。
【解析】
(1) 先验证两步变形的正确性：
第①步：对等式$5m-2=3m-2$两边同时加2，根据等式的性质1，等式两边加同一个数，等式仍然成立，因此得到$5m=3m$的变形是正确的。
第②步：对$5m=3m$两边同时除以$m$得到$5=3$，不符合等式变形的要求，因此第②步变形产生了错误。
(2) 根据等式的性质2，等式两边除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。本题中变形时无法确定$m$的取值不为0，若$m=0$，两边同时除以$m$相当于除以0，该操作没有意义，小明未考虑$m$可能为0的情况直接给等式两边除以$m$，因此得出了错误的结论。
【答案】
(1)第②步变形产生了错误；
(2)等式的两边只有除以同一个不为0的数,得到的等式才能成立. 小明在不确定$m$是不是0的情况下,把方程两边除以$m$而导致出错.
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，重点考查对等式性质2中“除以的数不能为0”这一限制条件的理解，提醒我们在对等式做除法变形前，必须先确认除数不为0，避免出现类似的错误。
【难度系数】
0.7
解决本题需要结合等式的性质判断每一步变形是否合法：首先回忆等式的性质内容，等式两边加/减同一个数（或式子）、乘同一个数、除以同一个不为0的数，等式才仍然成立。第一步变形是给原等式两边同时加2，符合等式性质1，是正确的；第二步变形是给$5m=3m$两边同时除以$m$得到$5=3$，此时需要考虑除数$m$是否为0，由此可判断错误步骤并分析错误原因。
【解析】
(1) 先验证两步变形的正确性：
第①步：对等式$5m-2=3m-2$两边同时加2，根据等式的性质1，等式两边加同一个数，等式仍然成立，因此得到$5m=3m$的变形是正确的。
第②步：对$5m=3m$两边同时除以$m$得到$5=3$，不符合等式变形的要求，因此第②步变形产生了错误。
(2) 根据等式的性质2，等式两边除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。本题中变形时无法确定$m$的取值不为0，若$m=0$，两边同时除以$m$相当于除以0，该操作没有意义，小明未考虑$m$可能为0的情况直接给等式两边除以$m$，因此得出了错误的结论。
【答案】
(1)第②步变形产生了错误；
(2)等式的两边只有除以同一个不为0的数,得到的等式才能成立. 小明在不确定$m$是不是0的情况下,把方程两边除以$m$而导致出错.
【知识点】
等式的性质
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，重点考查对等式性质2中“除以的数不能为0”这一限制条件的理解，提醒我们在对等式做除法变形前，必须先确认除数不为0，避免出现类似的错误。
【难度系数】
0.7
5.（教材例4改编）利用等式的性质解下列方程：
(1)$x+4=3$；
(2)$4m-7=9$；
(3)$6(x+2)=18$；
(4)$0.5x=0.4x-5$；
(5)$-\frac{3}{5}x-1=4$；
(6)$\frac{3x}{100}+2=\frac{45}{100}+2$。
(1)$x+4=3$；
(2)$4m-7=9$；
(3)$6(x+2)=18$；
(4)$0.5x=0.4x-5$；
(5)$-\frac{3}{5}x-1=4$；
(6)$\frac{3x}{100}+2=\frac{45}{100}+2$。
答案
(1)方程两边减4,得$x+4-4=3-4$.
所以$x=-1$.
(2)方程两边加7,得$4m-7+7=9+7$.
化简,得$4m=16$.
方程两边除以4,得$m=4$.
(3)方程两边除以6,得$x+2=3$.
方程两边减2,得$x+2-2=3-2$.
化简,得$x=1$.
(4)方程两边减去$0.4x$,得$0.1x=-5$.
方程两边除以0.1,得$x=-50$.
(5)方程两边加1,得$-\frac{3}{5}x=5$.
方程两边乘$-\frac{5}{3}$,得$x=-\frac{25}{3}$.
(6)方程两边减2,得$\frac{3x}{100}=\frac{45}{100}$.
方程两边乘$\frac{100}{3}$,得$x=15$.
所以$x=-1$.
(2)方程两边加7,得$4m-7+7=9+7$.
化简,得$4m=16$.
方程两边除以4,得$m=4$.
(3)方程两边除以6,得$x+2=3$.
方程两边减2,得$x+2-2=3-2$.
化简,得$x=1$.
(4)方程两边减去$0.4x$,得$0.1x=-5$.
方程两边除以0.1,得$x=-50$.
(5)方程两边加1,得$-\frac{3}{5}x=5$.
方程两边乘$-\frac{5}{3}$,得$x=-\frac{25}{3}$.
(6)方程两边减2,得$\frac{3x}{100}=\frac{45}{100}$.
方程两边乘$\frac{100}{3}$,得$x=15$.
解析
【分析】
解此类方程的核心依据是等式的两条基本性质：①等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时遵循的思路是：通过对等式两边同步做相同的运算，逐步消去未知数旁的常数项和系数，最终将方程变形为“未知数=常数”的最简形式，每一步运算都要保证两边同步操作，避免漏算、符号错误等问题。
【解析】
(1)方程两边减4，得$x+4-4=3-4$，所以$x=-1$。
(2)方程两边加7，得$4m-7+7=9+7$，化简，得$4m=16$，方程两边除以4，得$m=4$。
(3)方程两边除以6，得$x+2=3$，方程两边减2，得$x+2-2=3-2$，化简，得$x=1$。
(4)方程两边减去$0.4x$，得$0.1x=-5$，方程两边除以0.1，得$x=-50$。
(5)方程两边加1，得$-\frac{3}{5}x=5$，方程两边乘$-\frac{5}{3}$，得$x=-\frac{25}{3}$。
(6)方程两边减2，得$\frac{3x}{100}=\frac{45}{100}$，方程两边乘$\frac{100}{3}$，得$x=15$。
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$m=4$；(3)$x=1$；(4)$x=-50$；(5)$x=-\frac{25}{3}$；(6)$x=15$
【知识点】
1.等式的性质 2.解一元一次方程 3.系数化为1
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础训练题，覆盖了多种常见的一元一次方程形式，重点考查对等式性质的理解和灵活运用能力，熟练掌握这类题型的解法能为后续复杂方程的学习打下坚实基础，解题时需注意每一步变形的合规性，避免出现运算失误。
【难度系数】
0.8
解此类方程的核心依据是等式的两条基本性质：①等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时遵循的思路是：通过对等式两边同步做相同的运算，逐步消去未知数旁的常数项和系数，最终将方程变形为“未知数=常数”的最简形式，每一步运算都要保证两边同步操作，避免漏算、符号错误等问题。
【解析】
(1)方程两边减4，得$x+4-4=3-4$，所以$x=-1$。
(2)方程两边加7，得$4m-7+7=9+7$，化简，得$4m=16$，方程两边除以4，得$m=4$。
(3)方程两边除以6，得$x+2=3$，方程两边减2，得$x+2-2=3-2$，化简，得$x=1$。
(4)方程两边减去$0.4x$，得$0.1x=-5$，方程两边除以0.1，得$x=-50$。
(5)方程两边加1，得$-\frac{3}{5}x=5$，方程两边乘$-\frac{5}{3}$，得$x=-\frac{25}{3}$。
(6)方程两边减2，得$\frac{3x}{100}=\frac{45}{100}$，方程两边乘$\frac{100}{3}$，得$x=15$。
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$m=4$；(3)$x=1$；(4)$x=-50$；(5)$x=-\frac{25}{3}$；(6)$x=15$
【知识点】
1.等式的性质 2.解一元一次方程 3.系数化为1
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础训练题，覆盖了多种常见的一元一次方程形式，重点考查对等式性质的理解和灵活运用能力，熟练掌握这类题型的解法能为后续复杂方程的学习打下坚实基础，解题时需注意每一步变形的合规性，避免出现运算失误。
【难度系数】
0.8
