8. 如图，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各个矩形都相似，则$\frac{AB}{AD}$等于（）

A.0.618
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.2

B

9. 矩形AGFE∽矩形ABCD，AE，AD分别为它们的最短边，点F在AB上，且$3AE=2AD$。
(1)若矩形ABCD的面积为$450\mathrm{cm}^2$，求矩形AEFG的面积。
(2)求证：$∠1=∠2$。

(1)因为$3AE=2AD$，所以$\frac{AE}{AD}=\frac{2}{3}$。因为矩形AGFE∽矩形ABCD，所以矩形AGFE和矩形ABCD的面积之比为$\frac{4}{9}$。因为矩形ABCD的面积为$450\mathrm{cm}^2$，所以四边形AEFG的面积为$200\mathrm{cm}^2$。
(2)因为矩形AEFG∽矩形ADCB，所以$∠ DAB = ∠ EAG=90°$，$AE:AD=AG:AB$。因为$∠ DAE + ∠ EAF = ∠ GAB + ∠ EAF$，所以$∠ DAE = ∠ GAB$。又因为$AE:AD=AG:AB$，所以$△ ADE ∽ △ ABG$，所以$∠ 1 = ∠ 2$。

10. 根据相似多边形的定义,我们把4个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫作相似四边形。相似四边形对应边的比叫作相似比。
(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)。
①四条边成比例的两个凸四边形相似(命题);
②三个角分别相等的两个凸四边形相似(命题);
③两个大小不同的正方形相似。(命题)。
(2)如图,在四边形ABCD和四边形$A_1B_1C_1D_1$中,$∠ABC=∠A_1B_1C_1$,$∠BCD=∠B_1C_1D_1$,$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}$。求证:四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似。

(1)①假 ②假 ③真
(2)证明:如图,连结$BD$，$B_1D_1$。因为$∠ BCD=∠ B_1C_1D_1$,且$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}$,所以$△ BCD ∽ △ B_1C_1D_1$,所以$∠ CDB=∠ C_1D_1B_1$,$∠ C_1B_1D_1=∠ CBD$,$\frac{BC}{B_1C}=\frac{BD}{B_1D_1}$。因为$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}$,所以$\frac{BD}{B_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$。因为$∠ ABC=∠ A_1B_1C_1$,所以$∠ ABD=∠ A_1B_1D_1$,所以$△ ABD ∽ △ A_1B_1D_1$,所以$\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$,$∠ A=∠ A_1$,$∠ ADB=∠ A_1D_1B_1$,所以$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$,$∠ ADC=∠ A_1D_1C_1$,$∠ A=∠ A_1$,$∠ ABC=∠ A_1B_1C_1$,$∠ BCD=∠ B_1C_1D_1$,所以四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似。