【例1】已知式子:①$3-4=-1$;②$2x-5y$;③$1+2x=0$;④$6x+4y=2$;⑤$3x^2-2x+1=0$,其中是等式的有,是方程的有.

是等式的有①③④⑤，是方程的有③④⑤

【分析】
解题前需要先明确两个核心概念：1. 等式的定义：用等号连接的表示相等关系的式子叫做等式，判断要点是式子中必须含有“=”；2. 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判断要点是既要满足是等式，还要含有未知数。接下来逐个分析给出的5个式子：
①有等号，是等式，没有未知数，所以不是方程；
②没有等号，属于代数式，既不是等式也不是方程；
③有等号，是等式，且含有未知数x，所以是方程；
④有等号，是等式，且含有未知数x、y，所以是方程；
⑤有等号，是等式，且含有未知数x，所以是方程。
按照要求分类汇总即可得到结果。
【解析】
首先根据等式的定义（含有等号的式子）筛选：
式子①$3-4=-1$、③$1+2x=0$、④$6x+4y=2$、⑤$3x^2-2x+1=0$都含有等号，属于等式；式子②$2x-5y$没有等号，是代数式，不属于等式。
再根据方程的定义（含有未知数的等式）在等式中筛选：
等式①没有未知数，不属于方程；等式③、④、⑤都含有未知数，属于方程。
【答案】
是等式的有①③④⑤，是方程的有③④⑤
【知识点】
等式的定义；方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分等式和方程的包含关系：方程一定是等式，但等式不一定包含未知数，因此不一定是方程，解题时注意先判断是否为等式，再判断是否含未知数，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

【例2】根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1)某数与8的和的6倍是45；
(2)某数的36%减去19的差比这个数大7；
(3)某煤矿预计今年比去年增产15%，达到年产煤60万吨，求去年产煤多少万吨。

(1)设该数为$x$,由题意,可列出方程 $6(x+8)=45$.
(2)设该数为$x$,由题意,可列出方程 $36\%x-19=x+7$.
(3)设去年产煤$x$万吨,由题意,可列出方程$(1+15\%)x=60$.

【分析】
解决这类列方程的问题，核心思路分为三步：第一步设未知数，通常将题目中提到的“某数”或者要求的未知量设为$x$；第二步梳理运算顺序，把文字描述的数量关系转化为对应的数学代数式；第三步找准题目中的等量关系，将左右两边的代数式用等号连接即可得到方程。对应各小问的思考逻辑：(1)先算某数与8的和，再将和乘6，最终结果为45，按该运算顺序列等式；(2)先算某数的36%再减19，得到的差比这个数大7，即差等于这个数加7；(3)今年比去年增产15%，说明今年产量是去年的$(1+15\%)$倍，已知今年产量为60万吨，据此列等量关系。
【解析】
(1) 设该数为$x$，某数与8的和为$x+8$，和的6倍等于45，因此列方程：$6(x+8)=45$。
(2) 设该数为$x$，某数的36%为$36\%x$，减去19的差比$x$大7，即差等于$x+7$，因此列方程：$36\%x-19=x+7$。
(3) 设去年产煤$x$万吨，今年产量是去年的$(1+15\%)$倍，且今年产量为60万吨，因此列方程：$(1+15\%)x=60$。
【答案】
(1)设该数为$x$,由题意,可列出方程 $6(x+8)=45$.
(2)设该数为$x$,由题意,可列出方程 $36\%x-19=x+7$.
(3)设去年产煤$x$万吨,由题意,可列出方程$(1+15\%)x=60$.
【知识点】
1. 列一元一次方程 2. 寻找等量关系 3. 设未知数
【点评】
本题是列一元一次方程的基础题型，重点考查将文字语言转化为数学表达式的能力，解题的关键是理清运算先后顺序，准确捕捉题目中的相等关系，是后续学习用方程解应用题的必备基础。
【难度系数】
0.85

【例3】检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解.
(1)$2x=x+3(x=3,x=2)$;
(2)$4y=8-2y(y=4,y=\dfrac{4}{3})$.

(1)把 $x=3$ 代入方程,左边$=2×3=6$,右边$=3+3=6$,左边$=$右边,即 $x=3$ 是该方程的解；
把 $x=2$ 代入方程,左边$=2×2=4$,右边$=2+3=5$,左边$≠$右边,即 $x=2$ 不是该方程的解.
(2)把 $y=4$ 代入方程,左边$=4×4=16$,右边$=8-2×4=0$,左边$≠$右边,即 $y=4$ 不是该方程的解；
把 $y=\dfrac{4}{3}$ 代入方程,左边$=4×\dfrac{4}{3}=\dfrac{16}{3}$,右边$=8-2×\dfrac{4}{3}=\dfrac{16}{3}$,左边$=$右边,即 $y=\dfrac{4}{3}$ 是该方程的解.

【分析】
检验未知数的值是否为方程的解的核心方法是“代入比较法”：第一步将待检验的数值分别代入方程的左边和右边，第二步分别计算两边代数式的结果，第三步比较两边结果，若左边=右边，则该值是方程的解，若左边≠右边，则该值不是方程的解。按照这个方法对两个小题中的数值逐一检验即可。
【解析】
(1) 检验$x=3$：
把$x=3$代入方程左右两边，
左边$=2×3=6$，右边$=3+3=6$，
左边$=$右边，因此$x=3$是该方程的解；
检验$x=2$：
把$x=2$代入方程左右两边，
左边$=2×2=4$，右边$=2+3=5$，
左边$≠$右边，因此$x=2$不是该方程的解。
(2) 检验$y=4$：
把$y=4$代入方程左右两边，
左边$=4×4=16$，右边$=8-2×4=0$，
左边$≠$右边，因此$y=4$不是该方程的解；
检验$y=\dfrac{4}{3}$：
把$y=\dfrac{4}{3}$代入方程左右两边，
左边$=4×\dfrac{4}{3}=\dfrac{16}{3}$，右边$=8-2×\dfrac{4}{3}=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$，
左边$=$右边，因此$y=\dfrac{4}{3}$是该方程的解。
【答案】
(1) $x=3$是该方程的解，$x=2$不是该方程的解；
(2) $y=4$不是该方程的解，$y=\dfrac{4}{3}$是该方程的解。
【知识点】
方程的解的定义、代数式求值、方程解的检验
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的检验逻辑，熟练掌握代入求值、比较左右两边是否相等的步骤即可正确解答，计算时要注意分数运算的准确性，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.9

【例4】(2024秋浦北县期末)下列各式中，是一元一次方程的是（）

A.$x+1$
B.$6x-1=0$
C.$x+y=3$
D.$4x^2+5=0$

B

【分析】
要判断一个式子是不是一元一次方程，首先要明确一元一次方程的核心判定条件：第一，必须是含有未知数的等式（即首先得是方程）；第二，只含有1个未知数；第三，未知数的最高次数是1；第四，等号左右两边都是整式。解题时用这几个条件逐一排查每个选项，不符合的直接排除即可找到正确答案。
【解析】
首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式的等式叫做一元一次方程。
选项A：$x+1$是代数式，没有等号，不属于方程，排除；
选项B：$6x-1=0$中只含有$x$1个未知数，$x$的最高次数是1，且两边都是整式，满足一元一次方程的所有条件，符合要求；
选项C：$x+y=3$中含有$x$、$y$2个未知数，属于二元一次方程，不符合一元一次方程的要求，排除；
选项D：$4x^2+5=0$中未知数$x$的最高次数是2，属于一元二次方程，不符合一元一次方程的要求，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的概念
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考查对一元一次方程判定标准的掌握，做题时只要牢记判定要点逐项核对，就能快速得出正确结果，是方程章节的基础常考题。
【难度系数】
0.9