8. $\frac{5}{4}$的倒数除以4的相反数等于 ()

A.$-5$
B.$5$
C.$\frac{1}{5}$
D.$-\frac{1}{5}$

D

【分析】
解题时需分三步思考：第一步，回忆倒数的定义，求出$\frac{5}{4}$的倒数；第二步，回忆相反数的定义，求出4的相反数；第三步，根据题意列出除法算式，再结合有理数的除法法则计算出结果，计算时要注意符号的确定。
【解析】
1. 求$\frac{5}{4}$的倒数：乘积为1的两个数互为倒数，因此$\frac{5}{4}$的倒数是$\frac{4}{5}$；
2. 求4的相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，因此4的相反数是$-4$；
3. 根据题意列算式并计算：
$\frac{4}{5} ÷ (-4) = \frac{4}{5} × (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{5}$
【答案】
D
【知识点】
倒数的定义；相反数的定义；有理数除法法则
【点评】
本题侧重基础概念的理解与应用，只要准确掌握倒数、相反数的概念，熟练运用有理数除法法则，注意运算过程中的符号判断，就能轻松得出正确结果。
【难度系数】
0.8

9. 推理能力 某同学在计算－16÷a时，误将“÷”看成“＋”，结果是－12，则－16÷a的结果是()

A.6
B.－6
C.4
D.－4

D

【分析】
解题可分两步推进：第一步，根据“误将‘÷’看成‘+’得到结果-12”的条件，列出错误运算对应的等式，先求出未知参数a的值；第二步，把求得的a代入正确的算式$-16÷a$中，按照有理数除法法则算出结果，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据题意，错误运算对应的算式为：
$\boldsymbol{-16 + a = -12}$
移项计算a的值：
$a = -12 - (-16) = -12 + 16 = 4$
将$a=4$代入正确的算式$-16÷a$计算：
$-16÷4 = -4$
【答案】
D
【知识点】
有理数加减运算；有理数除法运算；一元一次方程求解
【点评】
本题属于典型的错中求解类题型，解题核心是先通过错误的运算关系求出未知参数，再代入正确运算式计算，侧重考查基础运算能力和简单的推理能力。
【难度系数】
0.8

10.若a+b＞0，且$\frac{b}{a}＞0$，则下列结论成立的是()

A.a＞0,b＞0
B.a

A

【分析】
解题时先从已知的两个条件入手，第一步先根据有理数除法的符号规律（同号得正，异号得负）分析$\frac{b}{a}＞0$的含义，确定a和b的符号关系是同号；第二步再结合$a+b＞0$的条件，排除两数同为负的情况，最终确定a、b的符号，对应选出正确选项。
【解析】
解：① 根据有理数除法的符号法则：两数相除，同号得正，异号得负。
因为$\frac{b}{a}＞0$，说明a和b符号相同，即存在两种情况：情况1：$a＞0,b＞0$；情况2：$a＜0,b＜0$。
② 再结合条件$a+b＞0$分析：
若为情况2，即a、b均为负数，两个负数相加的和仍为负数，可得$a+b＜0$，与已知$a+b＞0$矛盾，故情况2不成立。
因此仅情况1成立，即$a＞0,b＞0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数除法法则；有理数加法法则
【点评】
本题是有理数运算符号规律的综合应用类题目，解题的核心是先通过除法运算的符号判断两数同号，再结合加法运算的符号筛选出符合条件的符号情况，掌握有理数运算的符号规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

【变式·代数推理】老师让大家写出三个互不相等的有理数，小聪写的是1，$a+b$，$a$，小明写的是0，$\frac{b}{a}$，$b$，老师说两人写的数完全一样，则字母$a$表示的有理数是。

$-1$

【分析】
两组互不相等的有理数完全相同，说明两组包含的数完全一致。首先从小明写的数里的特殊值0入手，判断小聪的三个数中必有0，结合分数分母不为0的要求，可排除a=0的情况，得到a+b=0即b=-a，再代入$\frac{b}{a}$求出这个值为-1，进而确定三个数是0、1、-1，最后结合“互不相等”的要求排除错误情况，就能求出a的值。
【解析】
解：
∵两人写的三个互不相等的有理数完全相同，
∴两组数包含的数完全一致，
∵小明写的数中有0，
∴小聪写的1、$a+b$、$a$中必有一个是0，
又
∵小明写的数中有$\frac{b}{a}$，分数的分母不能为0，
∴$a≠0$，
∴只能$a+b=0$，即$b=-a$，
将$b=-a$代入$\frac{b}{a}$得：$\frac{b}{a}=\frac{-a}{a}=-1$，
此时小聪的三个数为1、0、$a$，小明的三个数为0、-1、$b$，
可知这三个互不相等的数就是0、1、-1，
∵$b=-a$，若$a=1$，则$b=-1$，此时小明的数为0、-1、-1，出现重复，不符合题意，
∴$a=-1$，此时$b=1$，小聪的数为1、0、-1，小明的数为0、-1、1，完全相同且互不相等，符合要求。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 分数有意义的条件 2. 有理数的除法运算 3. 有理数相等的性质
【点评】
本题解题的突破口是先抓住特殊值0，结合分母不为0的限制缩小推导范围，最后一定要验证结果是否满足“三个互不相等”的前提，避免得到错误的解。
【难度系数】
0.6

11.计算：
(1) $-6 ÷ (-1\dfrac{1}{2})$；
(2) $-4 ÷ (-\dfrac{2}{3}) ÷ (-\dfrac{2}{3})$；
(3) $-8 ÷ (-0.2) ÷ (-2\dfrac{2}{3})$。

解：(1)$-6÷(-1\dfrac{1}{2})=-6÷(-\dfrac{3}{2})=-6×(-\dfrac{2}{3})=4.$
(2)$-4÷(-\dfrac{2}{3})÷(-\dfrac{2}{3})=-4×(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})=6×(-\dfrac{3}{2})=-9.$
(3)$-8÷(-0.2)÷(-2\dfrac{2}{3})=-8÷(-\dfrac{1}{5})÷(-\dfrac{8}{3})=40×(-\dfrac{3}{8})=-15.$

【分析】
做有理数除法运算时可按以下步骤思考：第一步先将算式中的带分数、小数统一转化为假分数，方便后续计算；第二步根据有理数除法法则，把所有除法运算转化为乘法运算（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数）；第三步先确定结果的符号：几个非0有理数相乘，负因数个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正；最后计算绝对值的乘积，约分得到最终结果即可。
【解析】
(1) $-6 ÷ (-1\dfrac{1}{2})$
$=-6÷(-\dfrac{3}{2})$
$=-6×(-\dfrac{2}{3})$
$=4$
(2) $-4 ÷ (-\dfrac{2}{3}) ÷ (-\dfrac{2}{3})$
$=-4×(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})$
$=6×(-\dfrac{3}{2})$
$=-9$
(3) $-8 ÷ (-0.2) ÷ (-2\dfrac{2}{3})$
$=-8÷(-\dfrac{1}{5})÷(-\dfrac{8}{3})$
$=40×(-\dfrac{3}{8})$
$=-15$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{-9}$；(3) $\boldsymbol{-15}$
【知识点】
有理数除法法则，乘除混合运算，分数与小数/带分数互化
【点评】
本题是有理数除法的基础运算题，解题核心是熟练掌握除法转乘法的规则，运算前先统一数的形式，优先确定符号再计算绝对值，计算过程中注意约分的正确性，避免因符号判断错误或约分失误失分。
【难度系数】
0.8

12. 中考趋势·阅读理解 在解决数学问题时，我们常用到分类讨论的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题.
【提出问题】三个有理数a,b,c满足abc＞0，求$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}$的值.
【解决问题】
解:由题意得a,b,c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.
①当a,b,c都为正数，即a＞0,b＞0,c＞0时，
$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}=1+1+1=3$；
②当a,b,c中有一个为正数，另两个为负数时,不妨假设 $a＞0,b＜0,c＜0$,
则$\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}=\dfrac{a}{a}+\dfrac{-b}{b}+\dfrac{-c}{c}=1-1-1=-1.$
所以$\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}$的值为3或$-1$.
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题:三个有理数$a,b,c$满足$abc＜0$,求$\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}+\dfrac{|c|}{c}$的值.

解:由题意得a,b,c都是负数,或其中一个为负数,另两个为正数.
①当a,b,c都是负数,即$a＜0,b＜0,c＜0$时,$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}=-1-1-1=-3$；
②当a,b,c中有一个为负数,另两个为正数时,不妨假设$a＞0,b＞0,c＜0$,则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{-c}{c}=1+1-1=1.$
所以$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}$的值为$-3$或$1$.

【分析】
首先根据有理数乘法的符号规律：几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数个数为奇数时积为负。已知$abc＜0$，可判断$a、b、c$中负因数的个数为1个或3个，因此分两种情况讨论：①三个数都为负数；②其中一个为负数，另外两个为正数。再根据绝对值的性质，分别对两种情况化简求值即可。
【解析】
解：由题意得，$a,b,c$三个有理数都为负数，或其中一个为负数，另两个为正数。
①当$a,b,c$都为负数，即$a＜0,b＜0,c＜0$时，
$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}=-1-1-1=-3$；
②当$a,b,c$中有一个为负数，另两个为正数时，不妨假设$a＞0,b＞0,c＜0$，
则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{-c}{c}=1+1-1=1$。
所以$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}$的值为$-3$或$1$。
【答案】
$-3$或$1$
【知识点】
有理数乘法符号法则，绝对值的性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于阅读理解类题型，需要结合材料给出的解题思路运用分类讨论思想求解，解题关键是根据积的符号准确判断三个数的正负分布情况，避免遗漏分类情况导致漏解。
【难度系数】
0.7

已知三个有理数$a,b,c(abc≠0)$，则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}$的值可能是。

3或1或－1或－3

【分析】
要解决这道题，首先回忆绝对值的性质：非零有理数的绝对值要么等于它本身（正数时），要么等于它的相反数（负数时）。因此对任意非零有理数x，$\frac{|x|}{x}$的取值只有两种可能：x为正时等于1，x为负时等于-1。接下来我们只需要按a、b、c三个数中正数的个数分4种情况讨论，分别计算求和即可得到所有可能的结果。
【解析】
对任意非零有理数x：
当x＞0时，|x|=x，因此$\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1$；
当x＜0时，|x|=-x，因此$\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1$。
接下来分4种情况讨论：
1. 若a、b、c均为正数：$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=1+1+1=3$；
2. 若a、b、c中有2个正数、1个负数：$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=1+1+(-1)=1$；
3. 若a、b、c中有1个正数、2个负数：$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=1+(-1)+(-1)=-1$；
4. 若a、b、c均为负数：$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=(-1)+(-1)+(-1)=-3$。
因此原式的值可能是3、1、-1、-3。
【答案】
3或1或－1或－3
【知识点】
绝对值的性质；有理数的除法；分类讨论思想
【点评】
本题核心是利用绝对值的性质确定单个分式的取值，再通过分类讨论计算所有可能的结果，解题时要注意按正数的个数有序分类，避免漏算情况。
【难度系数】
0.7