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7.观察下列式子: $\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，将这三个式子相加得$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
【初步探究】
(1)猜想: $\frac{1}{n(n+1)}=$
(2)计算: $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{208×209}$；
(3)归纳: $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}=$
【拓展探究】
(4)计算: $\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+…+\frac{2}{199×201}$；
(5)归纳: $\frac{k}{n(n+k)}=$
【元认知·归纳】
“裂项相消法”的核心思想是将算式中的每一项拆分成两项之差或和，使得在计算过程中，部分项可以相互抵消，从而简化计算过程。
【初步探究】
(1)猜想: $\frac{1}{n(n+1)}=$
$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
；(n为正整数)(2)计算: $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{208×209}$；
(3)归纳: $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}=$
$\frac{n}{n+1}$
；(n为正整数)【拓展探究】
(4)计算: $\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+…+\frac{2}{199×201}$；
(5)归纳: $\frac{k}{n(n+k)}=$
$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}$
。【元认知·归纳】
“裂项相消法”的核心思想是将算式中的每一项拆分成两项之差或和，使得在计算过程中，部分项可以相互抵消，从而简化计算过程。
答案
解：(1)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{208×209}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{208}-\frac{1}{209}=1-\frac{1}{209}=\frac{208}{209}.$
(3)$\frac{n}{n+1}$
(4)$\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+…+\frac{2}{199×201}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{199}-\frac{1}{201}=1-\frac{1}{201}=\frac{200}{201}.$
(5)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}$
(2)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{208×209}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{208}-\frac{1}{209}=1-\frac{1}{209}=\frac{208}{209}.$
(3)$\frac{n}{n+1}$
(4)$\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+…+\frac{2}{199×201}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{199}-\frac{1}{201}=1-\frac{1}{201}=\frac{200}{201}.$
(5)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}$
解析
【分析】
本题是裂项相消规律探究类题目，解题思路如下：
1. 第(1)问：观察题干给出的3个示例，可发现分母为两个连续正整数$n$、$n+1$的乘积、分子为1的分数，均可拆分为以这两个数为分母、分子为1的分数的差，直接写出规律即可。
2. 第(2)问：利用第(1)问的拆分规律，把算式中每一项都拆成两个分数的差，中间相邻的正负项会相互抵消，最后只剩首项1和末项$-\frac{1}{209}$，计算差值即可得到结果。
3. 第(3)问：将第(2)问的计算过程推广到一般情况，$n$项拆分抵消后只剩$1-\frac{1}{n+1}$，通分化简即可得到通式。
4. 第(4)问：观察分母为差是2的两个数的乘积、分子为2的分数，可类比前序规律，每一项拆分为前一个数的倒数减后一个数的倒数，拆分后中间项抵消，计算剩余项的差值即可。
5. 第(5)问：将第(4)问的规律一般化，验证可知分子为$k$、分母为$n(n+k)$的分数可拆分为$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}$。
【解析】
(1) 根据给出的等式规律，可得$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
(2) 利用裂项规律拆分各项：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{208×209}\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{208}-\frac{1}{209}\\=&1-\frac{1}{209}\\=&\frac{208}{209}\end{aligned}$
(3) 推广到$n$项的一般情况：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\=&1-\frac{1}{n+1}\\=&\frac{n}{n+1}\end{aligned}$
(4) 对对应项拆分计算：
$\begin{aligned}&\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+…+\frac{2}{199×201}\\=&1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{199}-\frac{1}{201}\\=&1-\frac{1}{201}\\=&\frac{200}{201}\end{aligned}$
(5) 推导一般化裂项公式：$\frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；(2)$\frac{208}{209}$；(3)$\frac{n}{n+1}$；(4)$\frac{200}{201}$；(5)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}$
【知识点】
裂项相消法；有理数加减运算；规律探究
【点评】
本题通过从特殊例子到一般规律的推导，考查裂项相消运算技巧的应用，掌握拆分规则后可大幅简化多分数求和的计算过程，是有理数简便运算的常用方法。
【难度系数】
0.7
本题是裂项相消规律探究类题目，解题思路如下：
1. 第(1)问：观察题干给出的3个示例，可发现分母为两个连续正整数$n$、$n+1$的乘积、分子为1的分数，均可拆分为以这两个数为分母、分子为1的分数的差，直接写出规律即可。
2. 第(2)问：利用第(1)问的拆分规律，把算式中每一项都拆成两个分数的差，中间相邻的正负项会相互抵消，最后只剩首项1和末项$-\frac{1}{209}$，计算差值即可得到结果。
3. 第(3)问：将第(2)问的计算过程推广到一般情况，$n$项拆分抵消后只剩$1-\frac{1}{n+1}$，通分化简即可得到通式。
4. 第(4)问：观察分母为差是2的两个数的乘积、分子为2的分数，可类比前序规律，每一项拆分为前一个数的倒数减后一个数的倒数，拆分后中间项抵消，计算剩余项的差值即可。
5. 第(5)问：将第(4)问的规律一般化，验证可知分子为$k$、分母为$n(n+k)$的分数可拆分为$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}$。
【解析】
(1) 根据给出的等式规律，可得$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
(2) 利用裂项规律拆分各项：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{208×209}\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{208}-\frac{1}{209}\\=&1-\frac{1}{209}\\=&\frac{208}{209}\end{aligned}$
(3) 推广到$n$项的一般情况：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\=&1-\frac{1}{n+1}\\=&\frac{n}{n+1}\end{aligned}$
(4) 对对应项拆分计算：
$\begin{aligned}&\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+…+\frac{2}{199×201}\\=&1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{199}-\frac{1}{201}\\=&1-\frac{1}{201}\\=&\frac{200}{201}\end{aligned}$
(5) 推导一般化裂项公式：$\frac{k}{n(n+k)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；(2)$\frac{208}{209}$；(3)$\frac{n}{n+1}$；(4)$\frac{200}{201}$；(5)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}$
【知识点】
裂项相消法；有理数加减运算；规律探究
【点评】
本题通过从特殊例子到一般规律的推导，考查裂项相消运算技巧的应用，掌握拆分规则后可大幅简化多分数求和的计算过程，是有理数简便运算的常用方法。
【难度系数】
0.7
8.计算:
(1)$(-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})×(-36);$
(2)$999×(-15).$
(1)$(-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2})×(-36);$
(2)$999×(-15).$
答案
解：(1)原式$=-\frac{1}{12}×(-36)+\frac{1}{3}×(-36)-\frac{1}{2}×(-36)=3-12+18=9.$
(2)原式$=(1000-1)×(-15)=1000×(-15)-1×(-15)=-15000+15=-14985.$
(2)原式$=(1000-1)×(-15)=1000×(-15)-1×(-15)=-15000+15=-14985.$
解析
【分析】
这两道有理数运算题都可以利用乘法分配律简化计算，避免复杂的通分或多位数竖式运算。第(1)题括号外的-36是括号内各分数分母的公倍数，直接运用乘法分配律将括号内每一项分别与-36相乘，再计算加减即可；第(2)题中999接近整千数1000，可先将999转化为(1000-1)，再运用乘法分配律展开计算，降低运算难度。
【解析】
(1) 运用乘法分配律展开计算：
原式$=-\dfrac{1}{12}×(-36)+\dfrac{1}{3}×(-36)-\dfrac{1}{2}×(-36)$
$=3-12+18$
$=9$
(2) 先将999拆分为$1000-1$，再运用乘法分配律展开计算：
原式$=(1000-1)×(-15)$
$=1000×(-15)-1×(-15)$
$=-15000+15$
$=-14985$
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{-14985}$
【知识点】
1. 乘法分配律 2. 有理数简便运算
【点评】
这两道题是有理数简便运算的典型题型，核心是灵活运用乘法分配律，通过合理去括号、拆分项的方式简化计算过程，既能提升运算速度，也能降低运算出错的概率，该技巧在有理数运算中应用十分广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85
这两道有理数运算题都可以利用乘法分配律简化计算，避免复杂的通分或多位数竖式运算。第(1)题括号外的-36是括号内各分数分母的公倍数，直接运用乘法分配律将括号内每一项分别与-36相乘，再计算加减即可；第(2)题中999接近整千数1000，可先将999转化为(1000-1)，再运用乘法分配律展开计算，降低运算难度。
【解析】
(1) 运用乘法分配律展开计算：
原式$=-\dfrac{1}{12}×(-36)+\dfrac{1}{3}×(-36)-\dfrac{1}{2}×(-36)$
$=3-12+18$
$=9$
(2) 先将999拆分为$1000-1$，再运用乘法分配律展开计算：
原式$=(1000-1)×(-15)$
$=1000×(-15)-1×(-15)$
$=-15000+15$
$=-14985$
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{-14985}$
【知识点】
1. 乘法分配律 2. 有理数简便运算
【点评】
这两道题是有理数简便运算的典型题型，核心是灵活运用乘法分配律，通过合理去括号、拆分项的方式简化计算过程，既能提升运算速度，也能降低运算出错的概率，该技巧在有理数运算中应用十分广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85
9.计算: $999 × 118 \frac{4}{5} + 999 × (-\frac{1}{5}) - 999 × 18 \frac{3}{5}$
答案
解：原式$=999×[118\frac{4}{5}+(-\frac{1}{5})-18\frac{3}{5}]$
$=999×100=99900.$
$=999×100=99900.$
解析
【分析】
观察算式可发现每一项都含有相同的因数999，因此可以逆用乘法分配律简化计算：先把公因数999提取出来，再计算括号内的分数加减运算，括号内的整数部分和分数部分分别计算后可凑得整数100，无需计算大数乘法，能有效降低计算量、避免运算错误。
【解析】
解：原式$=999×[118\frac{4}{5}+(-\frac{1}{5})-18\frac{3}{5}]$
先计算括号内的运算：
$118\frac{4}{5}-\frac{1}{5}-18\frac{3}{5}=(118-18)+(\frac{4}{5}-\frac{1}{5}-\frac{3}{5})=100+0=100$
代入得原式$=999×100=99900$
【答案】
99900
【知识点】
乘法分配律逆用；有理数混合运算
【点评】
本题考查有理数运算中的简便计算技巧，解题核心是快速识别出算式中的公共因数，灵活运用运算律简化运算，这类题型是有理数运算的常考类型，熟练掌握后能大幅提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
观察算式可发现每一项都含有相同的因数999，因此可以逆用乘法分配律简化计算：先把公因数999提取出来，再计算括号内的分数加减运算，括号内的整数部分和分数部分分别计算后可凑得整数100，无需计算大数乘法，能有效降低计算量、避免运算错误。
【解析】
解：原式$=999×[118\frac{4}{5}+(-\frac{1}{5})-18\frac{3}{5}]$
先计算括号内的运算：
$118\frac{4}{5}-\frac{1}{5}-18\frac{3}{5}=(118-18)+(\frac{4}{5}-\frac{1}{5}-\frac{3}{5})=100+0=100$
代入得原式$=999×100=99900$
【答案】
99900
【知识点】
乘法分配律逆用；有理数混合运算
【点评】
本题考查有理数运算中的简便计算技巧，解题核心是快速识别出算式中的公共因数，灵活运用运算律简化运算，这类题型是有理数运算的常考类型，熟练掌握后能大幅提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
10.计算：$(-\dfrac{1}{30})÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{5}).$
答案
解：原式的倒数为
$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})$
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)$
$=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)$
$=-20+3-5+12=-10.$
故原式$=-\frac{1}{10}.$
$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})$
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)$
$=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)$
$=-20+3-5+12=-10.$
故原式$=-\frac{1}{10}.$
解析
【分析】
观察算式可发现，括号内各分数的分母都是30的因数，若直接先计算括号内的加减再做除法，通分过程繁琐易出错。我们可以利用有理数除法的性质：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，先求原式的倒数，将除法转化为乘法后就能用乘法分配律简化计算，最后对算出的结果取倒数即可得到原式的答案。
【解析】
解：先计算原式的倒数：
$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})$
根据有理数除法法则转化为乘法：
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)$
运用乘法分配律展开计算：
$=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)$
$=-20+3-5+12$
$=-10$
因为上述结果是原式的倒数，因此原式为$-10$的倒数，即$-\frac{1}{10}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{10}$
【知识点】
有理数除法、乘法分配律、倒数的应用
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，灵活运用倒数法将除法转化为乘法，再结合乘法分配律可以避免复杂的通分步骤，大幅降低计算量，减少计算失误，是有理数运算中非常实用的技巧。
【难度系数】
0.6
观察算式可发现，括号内各分数的分母都是30的因数，若直接先计算括号内的加减再做除法，通分过程繁琐易出错。我们可以利用有理数除法的性质：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，先求原式的倒数，将除法转化为乘法后就能用乘法分配律简化计算，最后对算出的结果取倒数即可得到原式的答案。
【解析】
解：先计算原式的倒数：
$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})$
根据有理数除法法则转化为乘法：
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)$
运用乘法分配律展开计算：
$=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)$
$=-20+3-5+12$
$=-10$
因为上述结果是原式的倒数，因此原式为$-10$的倒数，即$-\frac{1}{10}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{10}$
【知识点】
有理数除法、乘法分配律、倒数的应用
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，灵活运用倒数法将除法转化为乘法，再结合乘法分配律可以避免复杂的通分步骤，大幅降低计算量，减少计算失误，是有理数运算中非常实用的技巧。
【难度系数】
0.6
