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9.下面各式中,积与$0.034×2.5$不相等的是(
A.$3.4×0.025$
B.$3.4×0.25$
C.$0.34×0.25$
D.$2.5×0.034$
B
)。A.$3.4×0.025$
B.$3.4×0.25$
C.$0.34×0.25$
D.$2.5×0.034$
答案
9.B
解析
【分析】
要判断哪个算式的积与$0.034×2.5$不相等，我们可以用两种思路：一是根据积的变化规律，观察每个选项中两个因数相对原式的变化，若一个因数扩大的倍数和另一个因数缩小的倍数相同，积就不变；二是先算出原式的积，再分别计算各选项的积，对比结果即可。
【解析】
方法1：计算各算式的积对比
先计算原式：$0.034×2.5 = 0.085$
A选项：$3.4×0.025 = 0.085$，和原式积相等；
B选项：$3.4×0.25 = 0.85$，和原式积不相等；
C选项：$0.34×0.25 = 0.085$，和原式积相等；
D选项：根据乘法交换律，交换两个因数的位置积不变，所以$2.5×0.034 = 0.034×2.5 = 0.085$，和原式积相等。
方法2：用积的变化规律判断
原式两个因数的小数位数总和是$3+1=4$位，积为4位小数（末尾的0可省略）。
A选项因数小数位数总和是$1+3=4$位，积和原式相等；
B选项因数小数位数总和是$1+2=3$位，积和原式不相等；
C选项因数小数位数总和是$2+2=4$位，积和原式相等；
D选项交换因数位置，积不变。
综上，积与原式不相等的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
小数乘法计算、积的变化规律、乘法交换律
【点评】
本题是小数乘法的基础常考题，既可以通过直接计算对比结果，也可以通过积的变化规律快速判断，有助于巩固对小数乘法算理的理解。
【难度系数】
0.8
要判断哪个算式的积与$0.034×2.5$不相等，我们可以用两种思路：一是根据积的变化规律，观察每个选项中两个因数相对原式的变化，若一个因数扩大的倍数和另一个因数缩小的倍数相同，积就不变；二是先算出原式的积，再分别计算各选项的积，对比结果即可。
【解析】
方法1：计算各算式的积对比
先计算原式：$0.034×2.5 = 0.085$
A选项：$3.4×0.025 = 0.085$，和原式积相等；
B选项：$3.4×0.25 = 0.85$，和原式积不相等；
C选项：$0.34×0.25 = 0.085$，和原式积相等；
D选项：根据乘法交换律，交换两个因数的位置积不变，所以$2.5×0.034 = 0.034×2.5 = 0.085$，和原式积相等。
方法2：用积的变化规律判断
原式两个因数的小数位数总和是$3+1=4$位，积为4位小数（末尾的0可省略）。
A选项因数小数位数总和是$1+3=4$位，积和原式相等；
B选项因数小数位数总和是$1+2=3$位，积和原式不相等；
C选项因数小数位数总和是$2+2=4$位，积和原式相等；
D选项交换因数位置，积不变。
综上，积与原式不相等的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
小数乘法计算、积的变化规律、乘法交换律
【点评】
本题是小数乘法的基础常考题，既可以通过直接计算对比结果，也可以通过积的变化规律快速判断，有助于巩固对小数乘法算理的理解。
【难度系数】
0.8
10.如果$a × b ＞ a$（$a$是非零自然数），那么$b$一定（$\quad\quad$）。
A.大于1
B.小于1
C.等于1
D.无法确定
A.大于1
B.小于1
C.等于1
D.无法确定
答案
10.A
解析
【分析】
我们可以结合乘法中积随因数变化的规律来解题，首先明确已知条件：a是非零自然数，说明a是大于0的数。我们可以通过分情况讨论b和1的大小关系，分别验证不同情况下a×b和a的大小关系，也可以通过举符合条件的实例快速排除错误选项，最终得出正确结论。
【解析】
已知a是非零自然数，因此a是大于0的数，我们分三种情况分析b的取值：
1. 若$b=1$：根据乘法性质，$a×1=a$，此时$a×b=a$，不满足$a×b＞a$，排除C选项；
2. 若$b＜1$：一个大于0的数乘小于1的数，积比原数小，即$a×b＜a$，不满足条件，排除B选项；
3. 若$b＞1$：一个大于0的数乘大于1的数，积比原数大，即$a×b＞a$，符合题目要求。
因此b一定大于1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
积与因数的关系；自然数的认识
【点评】
本题考察乘法运算中因数大小对积的影响，既可以直接用运算规律推导，也可以通过举实例的方法验证选项，属于基础运算规律的应用类题目。
【难度系数】
0.8
我们可以结合乘法中积随因数变化的规律来解题，首先明确已知条件：a是非零自然数，说明a是大于0的数。我们可以通过分情况讨论b和1的大小关系，分别验证不同情况下a×b和a的大小关系，也可以通过举符合条件的实例快速排除错误选项，最终得出正确结论。
【解析】
已知a是非零自然数，因此a是大于0的数，我们分三种情况分析b的取值：
1. 若$b=1$：根据乘法性质，$a×1=a$，此时$a×b=a$，不满足$a×b＞a$，排除C选项；
2. 若$b＜1$：一个大于0的数乘小于1的数，积比原数小，即$a×b＜a$，不满足条件，排除B选项；
3. 若$b＞1$：一个大于0的数乘大于1的数，积比原数大，即$a×b＞a$，符合题目要求。
因此b一定大于1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
积与因数的关系；自然数的认识
【点评】
本题考察乘法运算中因数大小对积的影响，既可以直接用运算规律推导，也可以通过举实例的方法验证选项，属于基础运算规律的应用类题目。
【难度系数】
0.8
11.两个数的积的近似数是5.87，这个积可能是(
A.5.876
B.5.873
C.5.864
D.5.870
B
)。A.5.876
B.5.873
C.5.864
D.5.870
答案
11.B
解析
【分析】
解题思路：本题考查小数近似数的求法，首先明确近似数5.87是原数保留两位小数得到的，我们需要用四舍五入法将每个选项保留两位小数，判断结果是否为5.87，同时注意精确等于5.87的数不属于“近似数是5.87”的范畴。具体步骤：1. 回忆四舍五入保留两位小数的规则：看千分位上的数字，千分位≥5则向百分位进1，千分位＜5则舍去千分位及后面的数；2. 逐个计算每个选项保留两位小数的结果；3. 筛选出符合要求的选项，排除精确值选项。
【解析】
根据四舍五入法，将各选项保留两位小数：
A. 5.876的千分位是6，6＞5，向百分位进1，得5.87+0.01=5.88，不符合要求；
B. 5.873的千分位是3，3＜5，舍去千分位，得5.87，符合要求；
C. 5.864的千分位是4，4＜5，舍去千分位，得5.86，不符合要求；
D. 5.870=5.87，是精确相等的数值，不是通过取近似数得到的5.87，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
小数近似数、四舍五入法
【点评】
本题重点考查小数近似数的求法，解题关键是熟练掌握四舍五入的规则，同时要注意区分精确值和近似数，避免误选精确等于近似数的选项。
【难度系数】
0.7
解题思路：本题考查小数近似数的求法，首先明确近似数5.87是原数保留两位小数得到的，我们需要用四舍五入法将每个选项保留两位小数，判断结果是否为5.87，同时注意精确等于5.87的数不属于“近似数是5.87”的范畴。具体步骤：1. 回忆四舍五入保留两位小数的规则：看千分位上的数字，千分位≥5则向百分位进1，千分位＜5则舍去千分位及后面的数；2. 逐个计算每个选项保留两位小数的结果；3. 筛选出符合要求的选项，排除精确值选项。
【解析】
根据四舍五入法，将各选项保留两位小数：
A. 5.876的千分位是6，6＞5，向百分位进1，得5.87+0.01=5.88，不符合要求；
B. 5.873的千分位是3，3＜5，舍去千分位，得5.87，符合要求；
C. 5.864的千分位是4，4＜5，舍去千分位，得5.86，不符合要求；
D. 5.870=5.87，是精确相等的数值，不是通过取近似数得到的5.87，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
小数近似数、四舍五入法
【点评】
本题重点考查小数近似数的求法，解题关键是熟练掌握四舍五入的规则，同时要注意区分精确值和近似数，避免误选精确等于近似数的选项。
【难度系数】
0.7
12.已知$10.3×□ - □×0.3 = 23.5$，那么里应该填的数是(
A.2.35
B.23.5
C.235
D.无法确定
A
)。A.2.35
B.23.5
C.235
D.无法确定
答案
12.A
解析
【分析】
本题可以运用乘法分配律的逆运算简化计算。首先观察等式左边，两个乘法算式中都含有相同的未知量，可以先提取公共的，计算10.3与0.3的差，再根据“因数=积÷另一个因数”，用23.5除以所得的差，就能求出里的数。
【解析】
根据乘法分配律的逆运算：$a× c - b× c=(a-b)× c$，对原式变形：
$(10.3 - 0.3)×□ = 23.5$
计算括号内的减法：$10.3 - 0.3=10$，可得：
$10×□=23.5$
根据乘除法的互逆关系，$□=23.5÷10=2.35$
【答案】
A
【知识点】
乘法分配律；小数四则运算；简易方程求解
【点评】
本题是小数运算的典型题型，核心考查乘法分配律的灵活运用，通过提取公因数简化计算过程，能帮助学生快速得出结果，掌握该方法可以大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
本题可以运用乘法分配律的逆运算简化计算。首先观察等式左边，两个乘法算式中都含有相同的未知量，可以先提取公共的，计算10.3与0.3的差，再根据“因数=积÷另一个因数”，用23.5除以所得的差，就能求出里的数。
【解析】
根据乘法分配律的逆运算：$a× c - b× c=(a-b)× c$，对原式变形：
$(10.3 - 0.3)×□ = 23.5$
计算括号内的减法：$10.3 - 0.3=10$，可得：
$10×□=23.5$
根据乘除法的互逆关系，$□=23.5÷10=2.35$
【答案】
A
【知识点】
乘法分配律；小数四则运算；简易方程求解
【点评】
本题是小数运算的典型题型，核心考查乘法分配律的灵活运用，通过提取公因数简化计算过程，能帮助学生快速得出结果，掌握该方法可以大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
13.下面与$7.1×19.9$的计算结果最接近的算式是(
A.$7×20$
B.$7×19$
C.$8×20$
D.$8×19$
A
)。A.$7×20$
B.$7×19$
C.$8×20$
D.$8×19$
答案
13.A
解析
【分析】
这道题考查小数乘法的估算能力，解题思路是先找到每个乘数最接近的整数，再匹配对应的选项。首先观察乘数7.1，它和7的差值是0.1，和8的差值是0.9，显然更接近整数7；再看乘数19.9，它和19的差值是0.9，和20的差值是0.1，显然更接近整数20，因此两个乘数估算后相乘的算式就是最接近原算式结果的。
【解析】
方法一：估算法
根据四舍五入规则取近似值：
1. 7.1的十分位是1，小于5，舍去十分位后近似为7；
2. 19.9的十分位是9，大于5，向个位进1后近似为20；
因此$7.1×19.9$的计算结果最接近$7×20$。
方法二：精确计算验证
先计算原式结果：$7.1×19.9=141.29$
再分别计算各选项的结果及与原式结果的差值：
选项A：$7×20=140$，差值为$141.29-140=1.29$
选项B：$7×19=133$，差值为$141.29-133=8.29$
选项C：$8×20=160$，差值为$160-141.29=18.71$
选项D：$8×19=152$，差值为$152-141.29=10.71$
对比可知选项A的差值最小，最接近原式结果。
【答案】
A
【知识点】
小数乘法估算、四舍五入法
【点评】
本题是小数估算的基础题型，掌握把乘数近似为最接近的整数的方法就能快速解题，也可通过精确计算比对差值验证结论。
【难度系数】
0.85
这道题考查小数乘法的估算能力，解题思路是先找到每个乘数最接近的整数，再匹配对应的选项。首先观察乘数7.1，它和7的差值是0.1，和8的差值是0.9，显然更接近整数7；再看乘数19.9，它和19的差值是0.9，和20的差值是0.1，显然更接近整数20，因此两个乘数估算后相乘的算式就是最接近原算式结果的。
【解析】
方法一：估算法
根据四舍五入规则取近似值：
1. 7.1的十分位是1，小于5，舍去十分位后近似为7；
2. 19.9的十分位是9，大于5，向个位进1后近似为20；
因此$7.1×19.9$的计算结果最接近$7×20$。
方法二：精确计算验证
先计算原式结果：$7.1×19.9=141.29$
再分别计算各选项的结果及与原式结果的差值：
选项A：$7×20=140$，差值为$141.29-140=1.29$
选项B：$7×19=133$，差值为$141.29-133=8.29$
选项C：$8×20=160$，差值为$160-141.29=18.71$
选项D：$8×19=152$，差值为$152-141.29=10.71$
对比可知选项A的差值最小，最接近原式结果。
【答案】
A
【知识点】
小数乘法估算、四舍五入法
【点评】
本题是小数估算的基础题型，掌握把乘数近似为最接近的整数的方法就能快速解题，也可通过精确计算比对差值验证结论。
【难度系数】
0.85
14. 王阿姨要买4 kg鸡蛋,每千克12.6元,50元够吗?下面估算方法最合理的是(
A. 把12.6元看作12元,$4×12=$48(元),$4850$,所以不够
C. 把12.6元看作12.5元,$4×12.5=$50(元),实际总价比50元多,所以不够
D. 把12.6元看作12.5元,$4×12.5=$50(元),所以够
C
)。A. 把12.6元看作12元,$4×12=$48(元),$4850$,所以不够
C. 把12.6元看作12.5元,$4×12.5=$50(元),实际总价比50元多,所以不够
D. 把12.6元看作12.5元,$4×12.5=$50(元),所以够
答案
14.C
解析
【分析】
要判断50元够不够买4kg鸡蛋，需结合实际场景选择合理的估算方法。估算购物金额是否足够时，若过度估低商品单价，会导致判断出错：如果把单价估得比实际低很多，即使算出来的总价小于带的钱，也没法确定实际总价是否真的小于带的钱。我们可以选择和实际单价接近的数值估算，若估小后算出的总价等于带的钱，说明实际总价比带的钱更多，就能得出准确结论。
【解析】
首先计算实际总价验证：$12.6×4=50.4$元，$50.4＞50$，所以50元不够。
再逐个判断估算方法：
1. 选项A：把12.6看作12元，估低了0.6元，计算得$4×12=48$元$＜50$元，但实际单价更高，总价肯定大于48元，无法确定是否小于50元，估算不合理。
2. 选项C、D：把12.6看作接近的12.5元，计算得$4×12.5=50$元，因为实际单价$12.6＞12.5$，所以实际总价$＞50$元，因此50元不够。C的估算和结论都正确，D的结论错误。
综上，最合理的估算方法是C。
【答案】
C
【知识点】
小数乘法估算；估算的实际应用
【点评】
这道题结合生活购物场景考查估算方法的选择，解题关键是根据实际需求选择合适的估算策略，判断钱是否足够时，要注意估算值和实际值的大小关系，避免估算偏差导致结论错误。
【难度系数】
0.7
要判断50元够不够买4kg鸡蛋，需结合实际场景选择合理的估算方法。估算购物金额是否足够时，若过度估低商品单价，会导致判断出错：如果把单价估得比实际低很多，即使算出来的总价小于带的钱，也没法确定实际总价是否真的小于带的钱。我们可以选择和实际单价接近的数值估算，若估小后算出的总价等于带的钱，说明实际总价比带的钱更多，就能得出准确结论。
【解析】
首先计算实际总价验证：$12.6×4=50.4$元，$50.4＞50$，所以50元不够。
再逐个判断估算方法：
1. 选项A：把12.6看作12元，估低了0.6元，计算得$4×12=48$元$＜50$元，但实际单价更高，总价肯定大于48元，无法确定是否小于50元，估算不合理。
2. 选项C、D：把12.6看作接近的12.5元，计算得$4×12.5=50$元，因为实际单价$12.6＞12.5$，所以实际总价$＞50$元，因此50元不够。C的估算和结论都正确，D的结论错误。
综上，最合理的估算方法是C。
【答案】
C
【知识点】
小数乘法估算；估算的实际应用
【点评】
这道题结合生活购物场景考查估算方法的选择，解题关键是根据实际需求选择合适的估算策略，判断钱是否足够时，要注意估算值和实际值的大小关系，避免估算偏差导致结论错误。
【难度系数】
0.7
二、简答题
15.某超市的牛奶促销(如下图所示),李奶奶想买20盒,至少需要多少钱？
15.某超市的牛奶促销(如下图所示),李奶奶想买20盒,至少需要多少钱？
答案
买3盒送1盒，需要买20÷(3+1)=5(组)，
实际需要付款的是5×3=15(盒)，
15×3.8=57(元)。
答：至少需要57元。
解析
【分析】
首先要理解“买三送一”的促销规则：支付3盒牛奶的钱，实际可以得到3+1=4盒牛奶。我们可以把4盒看作1组，先计算20盒里有多少个这样的4盒组，再根据每组仅需付3盒的费用，算出总共需要付款的牛奶盒数，最后用需要付款的盒数乘单价，就能得出最少需要花的钱。
【解析】
1. 计算1组（买三送一）的牛奶总数量：$3+1=4$（盒）
2. 计算20盒牛奶包含的组数：$20÷4=5$（组）
3. 计算实际需要付款的牛奶盒数：每组只需付3盒的钱，因此总付款盒数为$5×3=15$（盒）
4. 计算总费用：$15×3.8=57$（元）
答：至少需要57元。
【答案】
买3盒送1盒，需要买20÷(3+1)=5(组)，
实际需要付款的是5×3=15(盒)，
15×3.8=57(元)。
答：至少需要57元。
【知识点】
小数乘法计算 促销问题求解 除法实际应用
【点评】
本题结合生活中常见的商品促销场景，考查学生对优惠规则的理解能力和乘除法的实际运用能力，解题核心是准确理解“买三送一”的含义，算出实际需要付费的商品数量，题型贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.8
首先要理解“买三送一”的促销规则：支付3盒牛奶的钱，实际可以得到3+1=4盒牛奶。我们可以把4盒看作1组，先计算20盒里有多少个这样的4盒组，再根据每组仅需付3盒的费用，算出总共需要付款的牛奶盒数，最后用需要付款的盒数乘单价，就能得出最少需要花的钱。
【解析】
1. 计算1组（买三送一）的牛奶总数量：$3+1=4$（盒）
2. 计算20盒牛奶包含的组数：$20÷4=5$（组）
3. 计算实际需要付款的牛奶盒数：每组只需付3盒的钱，因此总付款盒数为$5×3=15$（盒）
4. 计算总费用：$15×3.8=57$（元）
答：至少需要57元。
【答案】
买3盒送1盒，需要买20÷(3+1)=5(组)，
实际需要付款的是5×3=15(盒)，
15×3.8=57(元)。
答：至少需要57元。
【知识点】
小数乘法计算 促销问题求解 除法实际应用
【点评】
本题结合生活中常见的商品促销场景，考查学生对优惠规则的理解能力和乘除法的实际运用能力，解题核心是准确理解“买三送一”的含义，算出实际需要付费的商品数量，题型贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.8
16. $0.\underbrace{0···0}_{8个0}25 × 0.\underbrace{0···0}_{9个0}4$ 的积的小数部分有多少个0？
答案
$0.\underbrace{0···0}_{8个0}25$ 的小数部分有 8+2=10(位)，
$0.\underbrace{0···0}_{9个0}4$ 的小数部分有 9+1=10(位)，
10+10=20(位)，
因为 25×4=100，相当于占了小数部分的 3 位，
所以 20-3=17(个)。
答：积的小数部分有 17 个 0。
$0.\underbrace{0···0}_{9个0}4$ 的小数部分有 9+1=10(位)，
10+10=20(位)，
因为 25×4=100，相当于占了小数部分的 3 位，
所以 20-3=17(个)。
答：积的小数部分有 17 个 0。
解析
【分析】
解决这道题我们可以结合小数乘法的计算规则来思考：首先回忆小数乘法的计算规律，积的小数位数等于两个因数的小数位数之和；第一步先分别确定两个因数的小数位数，相加得到积的总小数位数；第二步计算两个因数去掉小数点后的整数乘积，明确整数乘积占用的小数位数；最后用总小数位数减去整数乘积占用的位数，就能得到积的小数部分0的个数。
【解析】
1. 计算两个因数的小数位数：
第一个因数$0.\underbrace{0···0}_{8个0}25$的小数部分包含8个0和2、5两个数字，总小数位数为$8+2=10$（位）；
第二个因数$0.\underbrace{0···0}_{9个0}4$的小数部分包含9个0和4一个数字，总小数位数为$9+1=10$（位）。
2. 计算积的总小数位数：两个因数小数位数之和为$10+10=20$（位），即乘积的小数部分总共有20位。
3. 计算整数乘积：去掉小数点后两个数的乘积为$25×4=100$，这个结果是3位数，会占用积的小数部分最后3位。
4. 计算小数部分0的个数：$20-3=17$（个）
【答案】
积的小数部分有17个0。
【知识点】
小数乘法计算法则、小数位数判定
【点评】
本题重点考查小数乘法中积与因数的小数位数关系，解题核心是准确判断因数的小数总位数，同时要注意整数乘积本身的位数会占用部分小数位，避免直接累加两个因数里0的个数导致出错。
【难度系数】
0.6
解决这道题我们可以结合小数乘法的计算规则来思考：首先回忆小数乘法的计算规律，积的小数位数等于两个因数的小数位数之和；第一步先分别确定两个因数的小数位数，相加得到积的总小数位数；第二步计算两个因数去掉小数点后的整数乘积，明确整数乘积占用的小数位数；最后用总小数位数减去整数乘积占用的位数，就能得到积的小数部分0的个数。
【解析】
1. 计算两个因数的小数位数：
第一个因数$0.\underbrace{0···0}_{8个0}25$的小数部分包含8个0和2、5两个数字，总小数位数为$8+2=10$（位）；
第二个因数$0.\underbrace{0···0}_{9个0}4$的小数部分包含9个0和4一个数字，总小数位数为$9+1=10$（位）。
2. 计算积的总小数位数：两个因数小数位数之和为$10+10=20$（位），即乘积的小数部分总共有20位。
3. 计算整数乘积：去掉小数点后两个数的乘积为$25×4=100$，这个结果是3位数，会占用积的小数部分最后3位。
4. 计算小数部分0的个数：$20-3=17$（个）
【答案】
积的小数部分有17个0。
【知识点】
小数乘法计算法则、小数位数判定
【点评】
本题重点考查小数乘法中积与因数的小数位数关系，解题核心是准确判断因数的小数总位数，同时要注意整数乘积本身的位数会占用部分小数位，避免直接累加两个因数里0的个数导致出错。
【难度系数】
0.6
