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9. 如图29.2-25，在$\odot O$中，弦AB，CD相交于点P，$∠ CAB = 40°$，$∠ ABD = 30°$，则$∠ APD$的度数为（
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$70°$
D
）.A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$70°$
答案
9. D
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，可将已知的∠CAB转化为同弧BC所对的∠CDB，再观察∠APD的位置，它是△BPD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两个内角的和，直接代入已知角度即可计算出∠APD的度数。
【解析】
解：
∵∠CDB与∠CAB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠CDB = ∠CAB = 40°（同弧所对的圆周角相等）。
∵∠APD是△BPD的外角，
∴∠APD = ∠ABD + ∠CDB（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
将∠ABD=30°，∠CDB=40°代入得：
∠APD = 30° + 40° = 70°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题的核心是利用同弧所对圆周角相等实现未知角到已知角的转化，再结合三角形外角性质快速求解，熟练掌握圆周角相关推论是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，可将已知的∠CAB转化为同弧BC所对的∠CDB，再观察∠APD的位置，它是△BPD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两个内角的和，直接代入已知角度即可计算出∠APD的度数。
【解析】
解：
∵∠CDB与∠CAB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠CDB = ∠CAB = 40°（同弧所对的圆周角相等）。
∵∠APD是△BPD的外角，
∴∠APD = ∠ABD + ∠CDB（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
将∠ABD=30°，∠CDB=40°代入得：
∠APD = 30° + 40° = 70°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题的核心是利用同弧所对圆周角相等实现未知角到已知角的转化，再结合三角形外角性质快速求解，熟练掌握圆周角相关推论是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 如图29.2-26，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的两点，且BC平分$∠ ABD$，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（
A.$OC// BD$
B.$AD⊥ OC$
C.$△ CEF≌△ BED$
D.$AF=FD$
C
）。A.$OC// BD$
B.$AD⊥ OC$
C.$△ CEF≌△ BED$
D.$AF=FD$
答案
10. C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件回忆圆的相关性质：直径所对的圆周角为直角，同圆半径相等，角平分线性质，垂径定理，全等三角形判定定理等，再逐个验证每个选项的结论是否一定成立，最终选出符合要求的选项。首先利用角平分线和等腰三角形等边对等角的性质推导角的等量关系，判断平行线是否成立；再结合直径的圆周角性质推导垂直关系，用垂径定理判断弦的等分关系；最后分析全等三角形的判定条件是否齐全。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证选项A：
∵ BC平分∠ABD，
∴ ∠OBC=∠DBC。
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB。
等量代换得∠OCB=∠DBC，内错角相等，两直线平行，
∴ OC//BD，A选项结论一定成立。
2. 验证选项B：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD⊥AD。
由A知OC//BD，
∴ AD⊥OC，B选项结论一定成立。
3. 验证选项D：
∵ OC是⊙O的半径，且OC⊥AD（由B得），根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴ AF=FD，D选项结论一定成立。
4. 验证选项C：
在△CEF和△BED中，∠CEF=∠BED（对顶角相等），∠ECF=∠EBD（由OC//BD，内错角相等），但没有对应边相等的必然条件，因此无法证明△CEF≌△BED，C选项结论不一定成立。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；全等三角形的判定
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，需要结合角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质逐一分析选项，解题时注意审题，明确题目要求选择“不一定成立”的结论，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件回忆圆的相关性质：直径所对的圆周角为直角，同圆半径相等，角平分线性质，垂径定理，全等三角形判定定理等，再逐个验证每个选项的结论是否一定成立，最终选出符合要求的选项。首先利用角平分线和等腰三角形等边对等角的性质推导角的等量关系，判断平行线是否成立；再结合直径的圆周角性质推导垂直关系，用垂径定理判断弦的等分关系；最后分析全等三角形的判定条件是否齐全。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证选项A：
∵ BC平分∠ABD，
∴ ∠OBC=∠DBC。
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB。
等量代换得∠OCB=∠DBC，内错角相等，两直线平行，
∴ OC//BD，A选项结论一定成立。
2. 验证选项B：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD⊥AD。
由A知OC//BD，
∴ AD⊥OC，B选项结论一定成立。
3. 验证选项D：
∵ OC是⊙O的半径，且OC⊥AD（由B得），根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴ AF=FD，D选项结论一定成立。
4. 验证选项C：
在△CEF和△BED中，∠CEF=∠BED（对顶角相等），∠ECF=∠EBD（由OC//BD，内错角相等），但没有对应边相等的必然条件，因此无法证明△CEF≌△BED，C选项结论不一定成立。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；垂径定理；全等三角形的判定
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，需要结合角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质逐一分析选项，解题时注意审题，明确题目要求选择“不一定成立”的结论，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.7
11. 如图29.2-27，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$. 以$AB$为直径作$\odot O$，交$AC$于点$D$，连接$BD$. 作$∠ ACB$的平分线，交$BD$于点$F$，交$AB$于点$E$.
(1) 求证$BE=BF$；
(2) 若$AB=6$，$∠ A=30°$，求$DF$的长.
(1) 求证$BE=BF$；
(2) 若$AB=6$，$∠ A=30°$，求$DF$的长.
答案
11. (1) 证明：$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ADB=90°$.
$\therefore ∠DCF+∠DFC=90°$.
$\because ∠ABC=90°$,
$\therefore ∠BCE+∠CEB=90°$.
$\because CE$为$∠ACB$的平分线，
$\therefore ∠DCF=∠BCE. \therefore ∠DFC=∠CEB$.
$\because ∠DFC=∠BFE, \therefore ∠BEF=∠BFE$.
$\therefore BE=BF$.
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ABD$中，
$\because ∠A=30°, AB=6, \therefore BD=3$.
在$\mathrm{Rt}△ACB$中，
$\because ∠A=30°, AB=6$,
$\therefore ∠ACB=60°, AC=2BC$.
由勾股定理，得$AC^2 = AB^2 + BC^2$，即
$(2BC)^2=6^2+BC^2$.
$\therefore BC=2\sqrt{3}$.
$\because CE$平分$∠ACB$,
$\therefore ∠ACE=∠BCE=30°$.
在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$\because ∠BCE=30°, BC=2\sqrt{3}$,
$\therefore CE=2BE$.
由勾股定理，得$CE^2=BC^2+BE^2$,
即$(2BE)^2=(2\sqrt{3})^2+BE^2$.
$\therefore BE=2. \therefore BF=2$.
$\therefore DF=BD-BF=3-2=1$.
$\therefore ∠ADB=90°$.
$\therefore ∠DCF+∠DFC=90°$.
$\because ∠ABC=90°$,
$\therefore ∠BCE+∠CEB=90°$.
$\because CE$为$∠ACB$的平分线，
$\therefore ∠DCF=∠BCE. \therefore ∠DFC=∠CEB$.
$\because ∠DFC=∠BFE, \therefore ∠BEF=∠BFE$.
$\therefore BE=BF$.
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ABD$中，
$\because ∠A=30°, AB=6, \therefore BD=3$.
在$\mathrm{Rt}△ACB$中，
$\because ∠A=30°, AB=6$,
$\therefore ∠ACB=60°, AC=2BC$.
由勾股定理，得$AC^2 = AB^2 + BC^2$，即
$(2BC)^2=6^2+BC^2$.
$\therefore BC=2\sqrt{3}$.
$\because CE$平分$∠ACB$,
$\therefore ∠ACE=∠BCE=30°$.
在$\mathrm{Rt}△BCE$中，$\because ∠BCE=30°, BC=2\sqrt{3}$,
$\therefore CE=2BE$.
由勾股定理，得$CE^2=BC^2+BE^2$,
即$(2BE)^2=(2\sqrt{3})^2+BE^2$.
$\therefore BE=2. \therefore BF=2$.
$\therefore DF=BD-BF=3-2=1$.
解析
【分析】
(1) 要证$BE=BF$，可通过证明两角相等推导，即证$∠ BEF=∠ BFE$。首先利用直径所对圆周角为直角得$∠ ADB=90°$，结合$∠ ABC=90°$，可得两个直角三角形中两锐角互余；再结合角平分线的定义得$∠ DCF=∠ BCE$，利用等角的余角相等得$∠ DFC=∠ CEB$，最后结合对顶角相等即可推导出$∠ BEF=∠ BFE$，从而得证。
(2) 求$DF$的长，观察图形可知$DF=BD-BF$，因此只需分别求出$BD$和$BF$的长度即可。首先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中利用$30°$角的性质求$BD$；再在$\mathrm{Rt}△ ABC$中用勾股定理求$BC$的长，结合角平分线定义得$∠ BCE=30°$，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中用勾股定理求$BE$的长，由(1)知$BE=BF$，最后作差即可得$DF$的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$.
$\therefore ∠ DCF+∠ DFC=90°$.
$\because ∠ ABC=90°$,
$\therefore ∠ BCE+∠ CEB=90°$.
$\because CE$为$∠ ACB$的平分线，
$\therefore ∠ DCF=∠ BCE$，可得$∠ DFC=∠ CEB$.
又$\because ∠ DFC=∠ BFE$, $\therefore ∠ BEF=∠ BFE$.
$\therefore BE=BF$.
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，
$\because ∠ A=30°$, $AB=6$, $\therefore BD=\frac{1}{2}AB=3$.
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，
$\because ∠ A=30°$, $AB=6$,
$\therefore ∠ ACB=60°$, $AC=2BC$.
由勾股定理，得$AC^2 = AB^2 + BC^2$，即
$(2BC)^2=6^2+BC^2$，解得$BC=2\sqrt{3}$（舍去负根）.
$\because CE$平分$∠ ACB$,
$\therefore ∠ ACE=∠ BCE=30°$.
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$\because ∠ BCE=30°$, $BC=2\sqrt{3}$,
$\therefore CE=2BE$.
由勾股定理，得$CE^2=BC^2+BE^2$,
即$(2BE)^2=(2\sqrt{3})^2+BE^2$，解得$BE=2$（舍去负根）.
$\therefore BF=BE=2$.
$\therefore DF=BD-BF=3-2=1$.
【答案】
(1) 证明成立，$BE=BF$；
(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定以及特殊直角三角形的相关计算，解题关键是灵活转化角的等量关系，结合勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$BE=BF$，可通过证明两角相等推导，即证$∠ BEF=∠ BFE$。首先利用直径所对圆周角为直角得$∠ ADB=90°$，结合$∠ ABC=90°$，可得两个直角三角形中两锐角互余；再结合角平分线的定义得$∠ DCF=∠ BCE$，利用等角的余角相等得$∠ DFC=∠ CEB$，最后结合对顶角相等即可推导出$∠ BEF=∠ BFE$，从而得证。
(2) 求$DF$的长，观察图形可知$DF=BD-BF$，因此只需分别求出$BD$和$BF$的长度即可。首先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中利用$30°$角的性质求$BD$；再在$\mathrm{Rt}△ ABC$中用勾股定理求$BC$的长，结合角平分线定义得$∠ BCE=30°$，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中用勾股定理求$BE$的长，由(1)知$BE=BF$，最后作差即可得$DF$的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$.
$\therefore ∠ DCF+∠ DFC=90°$.
$\because ∠ ABC=90°$,
$\therefore ∠ BCE+∠ CEB=90°$.
$\because CE$为$∠ ACB$的平分线，
$\therefore ∠ DCF=∠ BCE$，可得$∠ DFC=∠ CEB$.
又$\because ∠ DFC=∠ BFE$, $\therefore ∠ BEF=∠ BFE$.
$\therefore BE=BF$.
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，
$\because ∠ A=30°$, $AB=6$, $\therefore BD=\frac{1}{2}AB=3$.
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，
$\because ∠ A=30°$, $AB=6$,
$\therefore ∠ ACB=60°$, $AC=2BC$.
由勾股定理，得$AC^2 = AB^2 + BC^2$，即
$(2BC)^2=6^2+BC^2$，解得$BC=2\sqrt{3}$（舍去负根）.
$\because CE$平分$∠ ACB$,
$\therefore ∠ ACE=∠ BCE=30°$.
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$\because ∠ BCE=30°$, $BC=2\sqrt{3}$,
$\therefore CE=2BE$.
由勾股定理，得$CE^2=BC^2+BE^2$,
即$(2BE)^2=(2\sqrt{3})^2+BE^2$，解得$BE=2$（舍去负根）.
$\therefore BF=BE=2$.
$\therefore DF=BD-BF=3-2=1$.
【答案】
(1) 证明成立，$BE=BF$；
(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定以及特殊直角三角形的相关计算，解题关键是灵活转化角的等量关系，结合勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.7
12. 如图29.2-28，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}$，点C在$\overset{\frown}{BD}$上，$BH ⊥ AC$，垂足为H. 求证$AH=DC+CH$.
答案
12. 证明：如图，在HA上截取AE=CD，连接BE。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}, \therefore AB=BD.$
$\because ∠ BAC=∠ BDC, \therefore △ BAE≌△ BDC.$
$\therefore BE=BC.$
$\because BH⊥ AC, \therefore EH=CH.$
$\therefore AH=AE+EH=DC+CH.$
解析
【分析】
要证明线段和差关系$AH=DC+CH$，可采用截长补短的解题思路：在较长线段$AH$上截取一段等于$DC$，再证明剩余线段等于$CH$即可。首先结合已知条件$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}$，可得弦$AB=BD$，再利用同弧所对的圆周角相等，构造全等三角形，最后结合等腰三角形三线合一的性质完成证明。
【解析】
证明：在$HA$上截取$AE=CD$，连接$BE$。
1. 由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}$，根据等弧对等弦的性质，可得$AB=BD$。
2. $∠ BAC$和$∠ BDC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ BAC=∠ BDC$。
3. 在$△ BAE$和$△ BDC$中：
$\begin{cases}AB=BD \\∠ BAE=∠ BDC \\AE=CD\end{cases}$
$\therefore △ BAE ≌ △ BDC(\mathrm{SAS})$，由全等三角形对应边相等得$BE=BC$。
4. $\because BH ⊥ AC$，$△ BEC$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$EH=CH$。
5. $\therefore AH=AE+EH=DC+CH$，原式得证。
【答案】
证明：如图，在HA上截取AE=CD，连接BE。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}, \therefore AB=BD.$
$\because ∠ BAC=∠ BDC, \therefore △ BAE≌△ BDC.$
$\therefore BE=BC.$
$\because BH⊥ AC, \therefore EH=CH.$
$\therefore AH=AE+EH=DC+CH.$
【知识点】
圆周角定理、全等三角形判定与性质、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题型，核心考查截长补短法在线段和差证明中的应用，解题的关键是合理构造辅助线，结合圆的性质找到全等三角形的判定条件，是线段和差证明类的典型题，需熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
要证明线段和差关系$AH=DC+CH$，可采用截长补短的解题思路：在较长线段$AH$上截取一段等于$DC$，再证明剩余线段等于$CH$即可。首先结合已知条件$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}$，可得弦$AB=BD$，再利用同弧所对的圆周角相等，构造全等三角形，最后结合等腰三角形三线合一的性质完成证明。
【解析】
证明：在$HA$上截取$AE=CD$，连接$BE$。
1. 由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}$，根据等弧对等弦的性质，可得$AB=BD$。
2. $∠ BAC$和$∠ BDC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ BAC=∠ BDC$。
3. 在$△ BAE$和$△ BDC$中：
$\begin{cases}AB=BD \\∠ BAE=∠ BDC \\AE=CD\end{cases}$
$\therefore △ BAE ≌ △ BDC(\mathrm{SAS})$，由全等三角形对应边相等得$BE=BC$。
4. $\because BH ⊥ AC$，$△ BEC$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$EH=CH$。
5. $\therefore AH=AE+EH=DC+CH$，原式得证。
【答案】
证明：如图，在HA上截取AE=CD，连接BE。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}, \therefore AB=BD.$
$\because ∠ BAC=∠ BDC, \therefore △ BAE≌△ BDC.$
$\therefore BE=BC.$
$\because BH⊥ AC, \therefore EH=CH.$
$\therefore AH=AE+EH=DC+CH.$
【知识点】
圆周角定理、全等三角形判定与性质、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题型，核心考查截长补短法在线段和差证明中的应用，解题的关键是合理构造辅助线，结合圆的性质找到全等三角形的判定条件，是线段和差证明类的典型题，需熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
