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4. 如图29.2-20，AB为$\odot O$的直径，弦CD交AB于点E，$BE=BC$.若$∠ CAB=40°$，则$∠ BAD$的大小为（
A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$65°$
D
）.A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$65°$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先抓住题干中“AB为$\odot O$的直径”这一条件，根据直径所对圆周角为直角，可得到$Rt△ ACB$，结合已知$∠CAB=40°$就能算出$∠ABC$的度数；再利用“$BE=BC$”的等腰三角形性质，可计算出底角$∠BCE$的度数；最后观察待求角$∠BAD$与$∠BCE$的位置关系，发现二者是同弧所对的圆周角，根据圆周角定理即可求出$∠BAD$的大小。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$Rt△ ACB$中，$∠CAB=40°$，
∴$∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°$。
∵$BE=BC$，
∴$△ BCE$为等腰三角形，$∠BCE=∠BEC$。
由三角形内角和为$180°$可得：
$∠BCE=(180°-∠ABC)÷2=(180°-50°)÷2=65°$。
∵$∠BAD$和$∠BCE$都是弧BD所对的圆周角，
∴$∠BAD=∠BCE=65°$（同弧所对的圆周角相等）。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题的核心是熟练运用直径的圆周角性质、同弧所对圆周角相等的规律，结合等腰三角形角度计算即可求解，属于常考的基础类题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题干中“AB为$\odot O$的直径”这一条件，根据直径所对圆周角为直角，可得到$Rt△ ACB$，结合已知$∠CAB=40°$就能算出$∠ABC$的度数；再利用“$BE=BC$”的等腰三角形性质，可计算出底角$∠BCE$的度数；最后观察待求角$∠BAD$与$∠BCE$的位置关系，发现二者是同弧所对的圆周角，根据圆周角定理即可求出$∠BAD$的大小。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$Rt△ ACB$中，$∠CAB=40°$，
∴$∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°$。
∵$BE=BC$，
∴$△ BCE$为等腰三角形，$∠BCE=∠BEC$。
由三角形内角和为$180°$可得：
$∠BCE=(180°-∠ABC)÷2=(180°-50°)÷2=65°$。
∵$∠BAD$和$∠BCE$都是弧BD所对的圆周角，
∴$∠BAD=∠BCE=65°$（同弧所对的圆周角相等）。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题的核心是熟练运用直径的圆周角性质、同弧所对圆周角相等的规律，结合等腰三角形角度计算即可求解，属于常考的基础类题目。
【难度系数】
0.7
5. 如图29.2-21，$△ ABC$的三个顶点都在$\odot O$上，$AB=AC$，$∠ BCA=65°$，作$CD// AB$，与$\odot O$相交于点D，连接BD，则$∠ DBC$的度数为（
A.$15°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$45°$
图29.2-20
图29.2-21
图29.2-22
A
）.A.$15°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$45°$
图29.2-20
图29.2-21
图29.2-22
答案
5. A
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，利用等腰三角形等边对等角的性质先求出△ABC的两个底角和顶角的度数；再结合CD//AB的条件，利用平行线同旁内角互补的性质求出∠BCD的度数；然后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC的度数；最后在△BCD中利用三角形内角和为180°即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BCA=65°，
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠BCA=65°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠BCA=180°-65°×2=50°。
∵CD//AB，
∴∠ABC + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-65°=115°。
∵∠BDC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=50°（同弧所对的圆周角相等）。
在△BCD中，∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=180°-115°-50°=15°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题的核心是灵活运用同弧所对圆周角相等的性质，结合等腰三角形、平行线的性质推导相关角度，整体逻辑清晰，考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，利用等腰三角形等边对等角的性质先求出△ABC的两个底角和顶角的度数；再结合CD//AB的条件，利用平行线同旁内角互补的性质求出∠BCD的度数；然后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC的度数；最后在△BCD中利用三角形内角和为180°即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BCA=65°，
∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠BCA=65°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠BCA=180°-65°×2=50°。
∵CD//AB，
∴∠ABC + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BCD=180°-∠ABC=180°-65°=115°。
∵∠BDC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=50°（同弧所对的圆周角相等）。
在△BCD中，∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=180°-115°-50°=15°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题的核心是灵活运用同弧所对圆周角相等的性质，结合等腰三角形、平行线的性质推导相关角度，整体逻辑清晰，考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图29.2-22，AB为$\odot O$的直径，C，D为$\odot O$上的点，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.若$∠ CAB=40°$，则$∠ CAD$的度数为
25°
.答案
6. 25°
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：①首先利用圆周角定理，由已知∠CAB的度数求出它所对弧BC的度数，结合直径对应的弧是半圆弧（度数为180°），算出弧AC的度数；②根据$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$的条件，可知两段弧平分弧AC，由此求出弧CD的度数；③再利用圆周角定理，∠CAD是弧CD所对的圆周角，其度数为弧CD度数的一半，即可求出最终角度。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$。
∵$∠ CAB$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ CAB=40°$，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数$=2×40°=80°$，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数$=180° - 80°=100°$。
又
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{CD}$的度数$=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AC}$的度数$=\frac{1}{2}×100°=50°$。
∵$∠ CAD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
圆周角定理；等弧的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题核心是准确对应圆周角和其所对的弧，结合等弧的等分关系即可快速求解，熟练掌握圆周角定理是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时可按照以下思路推导：①首先利用圆周角定理，由已知∠CAB的度数求出它所对弧BC的度数，结合直径对应的弧是半圆弧（度数为180°），算出弧AC的度数；②根据$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$的条件，可知两段弧平分弧AC，由此求出弧CD的度数；③再利用圆周角定理，∠CAD是弧CD所对的圆周角，其度数为弧CD度数的一半，即可求出最终角度。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$。
∵$∠ CAB$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ CAB=40°$，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数$=2×40°=80°$，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数$=180° - 80°=100°$。
又
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{CD}$的度数$=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AC}$的度数$=\frac{1}{2}×100°=50°$。
∵$∠ CAD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
圆周角定理；等弧的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题核心是准确对应圆周角和其所对的弧，结合等弧的等分关系即可快速求解，熟练掌握圆周角定理是解决这类题的前提。
【难度系数】
0.7
7. 如图29.2-23，在$\odot O$中，点E是弦CD的中点，过点E作直径AB（$AE＞BE$），连接BD，过点C作$CF// BD$交AB于点G，交$\odot O$于点F，连接AF.求证$AG=AF$.
图29.2-23
图29.2-23
答案
证明：$\because$点E是弦CD的中点，AB是$\odot O$的直径，
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}.\ \therefore∠B=∠F.$
$\because CF// BD,\ \therefore∠B=∠AGF.$
$\therefore∠F=∠AGF.\ \therefore AG=AF.$
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}.\ \therefore∠B=∠F.$
$\because CF// BD,\ \therefore∠B=∠AGF.$
$\therefore∠F=∠AGF.\ \therefore AG=AF.$
解析
【分析】
要证明AG=AF，可转化为证明两角相等，即证∠F=∠AGF，再利用等角对等边得到结论。首先结合已知条件：AB是过弦CD中点E的直径，根据垂径定理可推出$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}$，由等弧所对的圆周角相等可得∠B=∠F；再利用CF//BD的性质，得到∠B=∠AGF，通过角的等量代换即可得到∠F=∠AGF，进而推出结论。
【解析】
证明：
∵点E是弦CD的中点，AB是$\odot O$的直径，
∴根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}$，
∴等弧所对的圆周角相等，即$∠B=∠F$。
∵$CF// BD$，
∴两直线平行，同位角相等，即$∠B=∠AGF$。
∴$∠F=∠AGF$，
∴根据等角对等边可得$AG=AF$。
【答案】
证明：$\because$点E是弦CD的中点，AB是$\odot O$的直径，
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}.\ \therefore∠B=∠F.$
$\because CF// BD,\ \therefore∠B=∠AGF.$
$\therefore∠F=∠AGF.\ \therefore AG=AF.$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心考查弧、圆周角的转化关系，解题关键是利用垂径定理得到等弧，再结合平行线的性质完成角的等量代换，对学生的基础几何推理能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
要证明AG=AF，可转化为证明两角相等，即证∠F=∠AGF，再利用等角对等边得到结论。首先结合已知条件：AB是过弦CD中点E的直径，根据垂径定理可推出$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}$，由等弧所对的圆周角相等可得∠B=∠F；再利用CF//BD的性质，得到∠B=∠AGF，通过角的等量代换即可得到∠F=∠AGF，进而推出结论。
【解析】
证明：
∵点E是弦CD的中点，AB是$\odot O$的直径，
∴根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}$，
∴等弧所对的圆周角相等，即$∠B=∠F$。
∵$CF// BD$，
∴两直线平行，同位角相等，即$∠B=∠AGF$。
∴$∠F=∠AGF$，
∴根据等角对等边可得$AG=AF$。
【答案】
证明：$\because$点E是弦CD的中点，AB是$\odot O$的直径，
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}.\ \therefore∠B=∠F.$
$\because CF// BD,\ \therefore∠B=∠AGF.$
$\therefore∠F=∠AGF.\ \therefore AG=AF.$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心考查弧、圆周角的转化关系，解题关键是利用垂径定理得到等弧，再结合平行线的性质完成角的等量代换，对学生的基础几何推理能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
8. 如图29.2-24，$\odot O$的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D，求BC，AD，BD的长。
答案
8. 解：$\because$AB是$\odot O$的直径，
$\therefore∠ACB=∠ADB=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理，得
$BC^2=AB^2-AC^2=10^2-6^2=64.$
$\therefore BC=8\ \mathrm{cm}.$
又CD平分$∠ACB$，$\therefore∠ACD=∠BCD.$
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB}.\ \therefore AD=BD.$
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理，得
$AD^2+BD^2=10^2,$
$\therefore AD=BD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}.$
$\therefore∠ACB=∠ADB=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理，得
$BC^2=AB^2-AC^2=10^2-6^2=64.$
$\therefore BC=8\ \mathrm{cm}.$
又CD平分$∠ACB$，$\therefore∠ACD=∠BCD.$
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB}.\ \therefore AD=BD.$
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理，得
$AD^2+BD^2=10^2,$
$\therefore AD=BD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}.$
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：AB是圆的直径，根据直径的性质可直接得到其所对的圆周角∠ACB、∠ADB都是直角，由此得到两个直角三角形。第一步求BC的长，可在Rt△ABC中直接用勾股定理计算；接下来CD是∠ACB的平分线，根据相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AD等于弧BD，再根据等弧对等弦得到AD=BD，此时△ABD是等腰直角三角形，再次使用勾股定理即可求出AD和BD的长度。
【解析】
解：$\because$AB是$\odot O$的直径，
$\therefore∠ACB=∠ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理，得
$BC^2=AB^2-AC^2=10^2-6^2=64$，
$\therefore BC=8\ \mathrm{cm}$。
又CD平分$∠ACB$，$\therefore∠ACD=∠BCD$，
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB}$，$\therefore AD=BD$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理，得
$AD^2+BD^2=10^2$，结合$AD=BD$可得$2AD^2=100$，
$\therefore AD=BD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$BC=8\ \mathrm{cm}$，$AD=BD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 弧、弦、圆周角的关系
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题目，解题的突破口是利用直径的性质得到直角三角形，再结合角平分线的性质转化得到边的等量关系，属于常考的基础题型，熟练掌握圆的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：AB是圆的直径，根据直径的性质可直接得到其所对的圆周角∠ACB、∠ADB都是直角，由此得到两个直角三角形。第一步求BC的长，可在Rt△ABC中直接用勾股定理计算；接下来CD是∠ACB的平分线，根据相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AD等于弧BD，再根据等弧对等弦得到AD=BD，此时△ABD是等腰直角三角形，再次使用勾股定理即可求出AD和BD的长度。
【解析】
解：$\because$AB是$\odot O$的直径，
$\therefore∠ACB=∠ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理，得
$BC^2=AB^2-AC^2=10^2-6^2=64$，
$\therefore BC=8\ \mathrm{cm}$。
又CD平分$∠ACB$，$\therefore∠ACD=∠BCD$，
$\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DB}$，$\therefore AD=BD$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理，得
$AD^2+BD^2=10^2$，结合$AD=BD$可得$2AD^2=100$，
$\therefore AD=BD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$BC=8\ \mathrm{cm}$，$AD=BD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 弧、弦、圆周角的关系
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题目，解题的突破口是利用直径的性质得到直角三角形，再结合角平分线的性质转化得到边的等量关系，属于常考的基础题型，熟练掌握圆的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
