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4. 先化简$(1 + \dfrac{3}{x - 1}) ÷ \dfrac{x^2 + 4x + 4}{2x - 2}$，再从$-2$，$1$，$0$，$2$中选取一个合适的数作为$x$的值代入求值。
答案
原式$=\frac{x+2}{x-1}÷\frac{x^2+4x+4}{2x-2}$
$=\frac{x+2}{x-1}·\frac{2x-2}{x^2+4x+4}$
$=\frac{x+2}{x-1}·\frac{2(x-1)}{(x+2)^2}$
$=\frac{2}{x+2}$。
因为$x-1≠0$，$x^2+4x+4≠0$且$2x-2≠0$，
所以$x≠1$且$x≠-2$。
取$x=0$，原式$=\frac{2}{0+2}=1$。
$=\frac{x+2}{x-1}·\frac{2x-2}{x^2+4x+4}$
$=\frac{x+2}{x-1}·\frac{2(x-1)}{(x+2)^2}$
$=\frac{2}{x+2}$。
因为$x-1≠0$，$x^2+4x+4≠0$且$2x-2≠0$，
所以$x≠1$且$x≠-2$。
取$x=0$，原式$=\frac{2}{0+2}=1$。
典型例题
定义：如果两个分式$ M $与$ N $的和为常数$ k $，且$ k $为正整数，那么称$ M $与$ N $互为“和整分式”，常数$ k $称为“和整数值”。例如，若$ M=\frac{x}{x+1} $，$ N=\frac{1}{x+1} $，$ M+N=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}=1 $，则$ M $与$ N $互为“和整分式”，“和整数值”$ k $为$ 1 $。
（1）已知分式$ A=\frac{x-7}{x-2} $，$ B=\frac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)} $，判断$ A $与$ B $是否互为“和整分式”，若是，则求出“和整数值”$ k $；若不是，则说明理由。
（2）已知分式$ C=\frac{3x-4}{x-2} $，$ D=\frac{P}{x^2-4} $，$ C $与$ D $互为“和整分式”，且“和整数值”$ k $为$ 3 $。
①求$ P $所表示的代数式；
②若分式$ D $的值为正整数，求正整数$ x $的值。
解（1）$ A+B $
$ =\frac{x-7}{x-2}+\frac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)} $
$ =\frac{x-7}{x-2}+\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)} $
$ =\frac{x-7}{x-2}+\frac{x+3}{x-2} $
$ =\frac{2x-4}{x-2} $
$ =\frac{2(x-2)}{x-2} $
$ =2 $
所以$ A $与$ B $互为“和整分式”，“和整数值”$ k $为$ 2 $。
（2）①$ C+D=\frac{3x-4}{x-2}+\frac{P}{x^2-4} $
$ =\frac{(3x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{P}{(x+2)(x-2)} $
$ =\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)} $
因为$ C $与$ D $互为“和整分式”，且“和整数值”$ k $为$ 3 $，
所以$ \frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)} = 3 $，即$ 3x^2+2x-8+P=3(x+2)(x-2) $。
所以$ P=3(x^2-4)-(3x^2+2x-8)=-2x-4 $。
②因为$ D=\frac{P}{x^2-4}=\frac{-2x-4}{(x+2)(x-2)}=\frac{-2(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-\frac{2}{x-2} $，且分式$ D $的值为正整数，$ x $为正整数，
所以$ x-2=-1 $或$ x-2=-2 $。
解得$ x=1 $或$ x=0 $（舍去）。
所以正整数$ x $的值为$ 1 $。
定义：如果两个分式$ M $与$ N $的和为常数$ k $，且$ k $为正整数，那么称$ M $与$ N $互为“和整分式”，常数$ k $称为“和整数值”。例如，若$ M=\frac{x}{x+1} $，$ N=\frac{1}{x+1} $，$ M+N=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}=1 $，则$ M $与$ N $互为“和整分式”，“和整数值”$ k $为$ 1 $。
（1）已知分式$ A=\frac{x-7}{x-2} $，$ B=\frac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)} $，判断$ A $与$ B $是否互为“和整分式”，若是，则求出“和整数值”$ k $；若不是，则说明理由。
（2）已知分式$ C=\frac{3x-4}{x-2} $，$ D=\frac{P}{x^2-4} $，$ C $与$ D $互为“和整分式”，且“和整数值”$ k $为$ 3 $。
①求$ P $所表示的代数式；
②若分式$ D $的值为正整数，求正整数$ x $的值。
解（1）$ A+B $
$ =\frac{x-7}{x-2}+\frac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)} $
$ =\frac{x-7}{x-2}+\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)} $
$ =\frac{x-7}{x-2}+\frac{x+3}{x-2} $
$ =\frac{2x-4}{x-2} $
$ =\frac{2(x-2)}{x-2} $
$ =2 $
所以$ A $与$ B $互为“和整分式”，“和整数值”$ k $为$ 2 $。
（2）①$ C+D=\frac{3x-4}{x-2}+\frac{P}{x^2-4} $
$ =\frac{(3x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{P}{(x+2)(x-2)} $
$ =\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)} $
因为$ C $与$ D $互为“和整分式”，且“和整数值”$ k $为$ 3 $，
所以$ \frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)} = 3 $，即$ 3x^2+2x-8+P=3(x+2)(x-2) $。
所以$ P=3(x^2-4)-(3x^2+2x-8)=-2x-4 $。
②因为$ D=\frac{P}{x^2-4}=\frac{-2x-4}{(x+2)(x-2)}=\frac{-2(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-\frac{2}{x-2} $，且分式$ D $的值为正整数，$ x $为正整数，
所以$ x-2=-1 $或$ x-2=-2 $。
解得$ x=1 $或$ x=0 $（舍去）。
所以正整数$ x $的值为$ 1 $。
答案
解：
（1）计算$A+B$：
$\begin{aligned}A+B&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)}\\&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)}\\&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{x+3}{x-2}\\&=\frac{x-7+x+3}{x-2}\\&=\frac{2x-4}{x-2}\\&=\frac{2(x-2)}{x-2}\\&=2\end{aligned}$
和为2，是正整数，因此$A$与$B$互为“和整分式”，“和整数值”$k=2$。
（2）① 计算$C+D$：
$\begin{aligned}C+D&=\frac{3x-4}{x-2}+\frac{P}{x^2-4}\\&=\frac{(3x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{P}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}\end{aligned}$
由题意知$C+D=3$，因此：
$\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}=3$
两边同乘$(x+2)(x-2)$得：
$3x^2+2x-8+P=3(x^2-4)$
整理得：
$P=3x^2-12-3x^2-2x+8=-2x-4$
② 将$P=-2x-4$代入$D$得：
$D=\frac{-2x-4}{x^2-4}=\frac{-2(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-\frac{2}{x-2}$
因为分式$D$的值为正整数，$x$为正整数，所以$-\frac{2}{x-2}$为正整数，即$x-2$是2的负整数因数。
可得$x-2=-1$或$x-2=-2$，
解得$x=1$或$x=0$。
又因为$x$是正整数，且分式有意义要求$x≠\pm2$，$x=0$不是正整数，舍去。
因此正整数$x$的值为1。
（1）计算$A+B$：
$\begin{aligned}A+B&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{x^2+6x+9}{(x+3)(x-2)}\\&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-2)}\\&=\frac{x-7}{x-2}+\frac{x+3}{x-2}\\&=\frac{x-7+x+3}{x-2}\\&=\frac{2x-4}{x-2}\\&=\frac{2(x-2)}{x-2}\\&=2\end{aligned}$
和为2，是正整数，因此$A$与$B$互为“和整分式”，“和整数值”$k=2$。
（2）① 计算$C+D$：
$\begin{aligned}C+D&=\frac{3x-4}{x-2}+\frac{P}{x^2-4}\\&=\frac{(3x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{P}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}\end{aligned}$
由题意知$C+D=3$，因此：
$\frac{3x^2+2x-8+P}{(x+2)(x-2)}=3$
两边同乘$(x+2)(x-2)$得：
$3x^2+2x-8+P=3(x^2-4)$
整理得：
$P=3x^2-12-3x^2-2x+8=-2x-4$
② 将$P=-2x-4$代入$D$得：
$D=\frac{-2x-4}{x^2-4}=\frac{-2(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-\frac{2}{x-2}$
因为分式$D$的值为正整数，$x$为正整数，所以$-\frac{2}{x-2}$为正整数，即$x-2$是2的负整数因数。
可得$x-2=-1$或$x-2=-2$，
解得$x=1$或$x=0$。
又因为$x$是正整数，且分式有意义要求$x≠\pm2$，$x=0$不是正整数，舍去。
因此正整数$x$的值为1。
