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学习任务一 一元二次方程的概念
|情境探究|
情境1:《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”
大意:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?(尺、寸、丈均是我国古代长度单位,1尺=10寸,1丈=10尺.)
情境2:已知两个数的和为8,积为12,求这两个数.
问题1:对于情境1,如果假设门的宽为x尺,那么门的高为
问题2:对于情境2,若设一个数为x,则由两数之和为8,可得另一个数为
问题3:问题1和问题2中的方程整理后各含有几个未知数?
问题4:观察问题1和问题2中整理后的两个方程,未知数的最高次数分别是几次?
|情境探究|
情境1:《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”
大意:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?(尺、寸、丈均是我国古代长度单位,1尺=10寸,1丈=10尺.)
情境2:已知两个数的和为8,积为12,求这两个数.
问题1:对于情境1,如果假设门的宽为x尺,那么门的高为
x+6.8
尺.根据题意,可列方程为x²+(x+6.8)²=10²
,整理并化简,得x²+6.8x-26.88=0
.问题2:对于情境2,若设一个数为x,则由两数之和为8,可得另一个数为
8−x
.根据两数之积为12,可列方程为x(8−x)=12
,整理,得x²−8x+12=0
.问题3:问题1和问题2中的方程整理后各含有几个未知数?
问题4:观察问题1和问题2中整理后的两个方程,未知数的最高次数分别是几次?
答案
问题3:都只含有1个未知数.
问题4:都是2次.
问题4:都是2次.
解析
【分析】
解题时先结合题目给出的情境逐步分析：①先处理情境1的单位换算，明确门的宽、高、对角线的数量关系，结合勾股定理列方程并化简；②再结合情境2的两数和的关系，用含x的式子表示另一个数，根据两数积的等量关系列方程化简；③最后观察两个化简后方程的未知数个数、未知数最高次数，对应回答问题3和问题4即可。
【解析】
问题1解答
首先进行单位换算：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。
设门的宽为x尺，已知高比宽多6.8尺，因此高为$(x+6.8)$尺；
长方形门的宽、高和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理可列方程：$x^2 + (x+6.8)^2 = 10^2$；
展开化简方程：
$x^2 + x^2 + 13.6x + 46.24 = 100$
合并同类项、移项得：$2x^2 + 13.6x - 53.76 = 0$（也可化简为$x^2+6.8x-26.88=0$）。
问题2解答
设其中一个数为x，已知两数之和为8，因此另一个数为$(8-x)$；
根据两数积为12，可列方程：$x(8-x)=12$；
展开整理方程：
$8x - x^2 = 12$
移项得：$x^2 -8x +12=0$。
问题3解答
观察问题1、2化简后的方程，两个方程都只含有1个未知数$x$。
问题4解答
两个化简后的方程中，未知数$x$的最高次数均为2次。
【答案】
问题1：$x+6.8$；$x^2+(x+6.8)^2=10^2$；$2x^2+13.6x-53.76=0$（或$x^2+6.8x-26.88=0$）
问题2：$8-x$；$x(8-x)=12$；$x^2-8x+12=0$
问题3：都只含有1个未知数
问题4：都是2次
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题，一元二次方程的概念
【点评】
本题通过两个实际情境，从列方程到化简，逐步引导学生感知一元二次方程的特征，符合概念形成的认知规律，能帮助学生更好地理解一元二次方程的定义。
【难度系数】
0.85
解题时先结合题目给出的情境逐步分析：①先处理情境1的单位换算，明确门的宽、高、对角线的数量关系，结合勾股定理列方程并化简；②再结合情境2的两数和的关系，用含x的式子表示另一个数，根据两数积的等量关系列方程化简；③最后观察两个化简后方程的未知数个数、未知数最高次数，对应回答问题3和问题4即可。
【解析】
问题1解答
首先进行单位换算：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。
设门的宽为x尺，已知高比宽多6.8尺，因此高为$(x+6.8)$尺；
长方形门的宽、高和对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理可列方程：$x^2 + (x+6.8)^2 = 10^2$；
展开化简方程：
$x^2 + x^2 + 13.6x + 46.24 = 100$
合并同类项、移项得：$2x^2 + 13.6x - 53.76 = 0$（也可化简为$x^2+6.8x-26.88=0$）。
问题2解答
设其中一个数为x，已知两数之和为8，因此另一个数为$(8-x)$；
根据两数积为12，可列方程：$x(8-x)=12$；
展开整理方程：
$8x - x^2 = 12$
移项得：$x^2 -8x +12=0$。
问题3解答
观察问题1、2化简后的方程，两个方程都只含有1个未知数$x$。
问题4解答
两个化简后的方程中，未知数$x$的最高次数均为2次。
【答案】
问题1：$x+6.8$；$x^2+(x+6.8)^2=10^2$；$2x^2+13.6x-53.76=0$（或$x^2+6.8x-26.88=0$）
问题2：$8-x$；$x(8-x)=12$；$x^2-8x+12=0$
问题3：都只含有1个未知数
问题4：都是2次
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题，一元二次方程的概念
【点评】
本题通过两个实际情境，从列方程到化简，逐步引导学生感知一元二次方程的特征，符合概念形成的认知规律，能帮助学生更好地理解一元二次方程的定义。
【难度系数】
0.85
|知识梳理|
1.一般地,如果方程中只含有
2.一元二次方程的一般形式是
1.一般地,如果方程中只含有
一
个未知数,且含有未知数的式子都是整式,未知数的最高次数是2
,这样的方程叫作一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是
ax²+bx+c=0
(a≠0),其中ax²
是二次项,a
是二次项系数;bx
是一次项,b
是一次项系数;c是常数项
.答案
1.一 2
2.$ax^2 + bx + c = 0$ $ax^2$ $a$ $bx$ $b$ 常数项
2.$ax^2 + bx + c = 0$ $ax^2$ $a$ $bx$ $b$ 常数项
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的基础概念，解题时需紧扣“一元”“二次”的核心特征以及一般形式的相关定义思考：1. 回忆一元二次方程的定义，明确其判断的三个核心要素：未知数的个数、式子类型、未知数最高次数，对应填空即可；2. 回忆一元二次方程的一般形式，注意二次项系数不为0的前提，再区分二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项的定义，对应填写。
【解析】
1. 根据一元二次方程的定义：只含有1个（即一个）未知数，含未知数的式子都是整式，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程，因此两个空依次填“一”“2”。
2. 一元二次方程整理为按未知数降幂排列的标准形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$，若$a=0$则二次项消失，方程变为一元一次方程，不符合要求）；其中带未知数二次方的项$ax^2$是二次项，它的数字因数$a$是二次项系数；带未知数一次方的项$bx$是一次项，它的数字因数$b$是一次项系数；不含未知数的项$c$叫做常数项。
【答案】
1.一 2
2.$ax^2 + bx + c = 0$ $ax^2$ $a$ $bx$ $b$ 常数项
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对一元二次方程核心概念的掌握情况，相关概念是后续学习一元二次方程的解法、实际应用的基础，需要准确记忆、熟练区分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的基础概念，解题时需紧扣“一元”“二次”的核心特征以及一般形式的相关定义思考：1. 回忆一元二次方程的定义，明确其判断的三个核心要素：未知数的个数、式子类型、未知数最高次数，对应填空即可；2. 回忆一元二次方程的一般形式，注意二次项系数不为0的前提，再区分二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项的定义，对应填写。
【解析】
1. 根据一元二次方程的定义：只含有1个（即一个）未知数，含未知数的式子都是整式，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程，因此两个空依次填“一”“2”。
2. 一元二次方程整理为按未知数降幂排列的标准形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$，若$a=0$则二次项消失，方程变为一元一次方程，不符合要求）；其中带未知数二次方的项$ax^2$是二次项，它的数字因数$a$是二次项系数；带未知数一次方的项$bx$是一次项，它的数字因数$b$是一次项系数；不含未知数的项$c$叫做常数项。
【答案】
1.一 2
2.$ax^2 + bx + c = 0$ $ax^2$ $a$ $bx$ $b$ 常数项
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对一元二次方程核心概念的掌握情况，相关概念是后续学习一元二次方程的解法、实际应用的基础，需要准确记忆、熟练区分。
【难度系数】
0.9
学习任务二 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的
使一元二次方程左右两边相等的
未知数
的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。答案
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的基本定义，解题时可先回忆方程解的通用概念：所有方程的解都是能使方程左右两边相等的未知数的取值，一元二次方程的解（根）也符合这一逻辑，结合教材中对一元二次方程根的定义即可确定空缺内容。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根，因此空缺处应填写“未知数”。
【答案】
未知数
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只需准确记忆教材中的相关定义即可顺利作答，侧重考察基础识记能力。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的基本定义，解题时可先回忆方程解的通用概念：所有方程的解都是能使方程左右两边相等的未知数的取值，一元二次方程的解（根）也符合这一逻辑，结合教材中对一元二次方程根的定义即可确定空缺内容。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根，因此空缺处应填写“未知数”。
【答案】
未知数
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只需准确记忆教材中的相关定义即可顺利作答，侧重考察基础识记能力。
【难度系数】
0.9
